LE PROPORZIONI

Torta Margherita Ingredienti per 6 persone 4 uova 2 kg di farina 400 g di zucchero 6 noci di burro Preparazione: Separare i tuorli dalle chiare, unire i tuorli alla farina….

Ma se dobbiamo preparare una cena per 9 persone? Quante uova? Quanti chili di farina? Quanto burro? Per questo (e non solo) ci sono le proporzioni

La parola proporzione è nel linguaggio comune …la crescita demografica del paese è stata proporzionale alla crescita economica… Quella persona è proporzionata! Luigi ha avuto una reazione sproporzionata

Per essere precisi… Avremmo dovuto scrivere: Nell’esempio: La crescita demografica del paese è stata proporzionale alla crescita economica Avremmo dovuto scrivere: La crescita demografica del paese è stata direttamente proporzionale alla crescita economica

Definizione (un po’ imprecisa) di grandezze direttamente proporzionali Due grandezze sono direttamente proporzionali se all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra E che vuol dire?

In matematica possiamo e dobbiamo essere più precisi! Per farlo abbiamo bisogno della seguente: Definizione di vettore: un vettore è un insieme ordinato di numeri. Esempi: (3, 7, 22) è un vettore composto da 3 numeri (5, 182) è un vettore composto da 2 numeri. Ordinato significa che se cambio l’ordine dei numeri ottengo un vettore diverso: quindi (3, 5) è un vettore diverso da (5,3).

Adesso possiamo dare una definizione precisa: Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia. Esempio I vettori (15,21) e (5,7) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”: 15 5 15:5=3 21 7 21:7=3 Il rapporto è sempre 3 (quindi non cambia) quindi i 2 vettori sono direttamente proporzionali

Adesso possiamo dare una definizione precisa: Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia. Esempio I vettori (8,6) e (4,2) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”: 8 4 8:4=2 6 2 6:2=3 Il rapporto è prima 2 poi 3 (quindi cambia). Quindi i 2 vettori non sono direttamente proporzionali

Riprendiamo l’esempio dei vettori (15,21) e (5,7) Come si è visto sono direttamente proporzionali perché: 15:5=21:7 Che si legge “quindici diviso cinque uguale ventuno diviso sette” … ma se leggiamo il simbolo : con “sta” e il simbolo = con “come”, l’espressione si legge 15 sta a 5 come 21 sta a 7

Dal momento che 15:5=21:7 è un’uguaglianza vera, si dice che tale espressione è una proporzione

Un po’ di nomi… 15:5=21:7 Medi Estremi Primi termini Secondi termini Quindi, in questo esempio: 15 è il primo estremo, 5 il primo medio, 21 è il secondo medio e 7 è il secondo estremo

Proprietà fondamentale delle proporzioni In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione). Ciò conferma che: 15:5=21:7 È una proporzione perché: Prodotto degli estremi: 15x7=105 sono uguali Prodotto dei medi: 5x21=105

Proprietà fondamentale delle proporzioni In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione). Mentre: 3:7=4:9 Non è una proporzione perché: Prodotto degli estremi: 3x9=27 non sono uguali Prodotto dei medi: 7x4=28

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni… Scambiando i medi: 15: 5 = 21 :7

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni… Scambiando gli estremi: 15 :5 = 21: 7

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni… Scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini: : 15 : 5 = 21 7

Questo basta per risolvere il problema della ricetta? No, ma…. Quasi. Prima bisogna affrontare il problema della determinazione del quarto proporzionale Esso consiste, una volta assegnati 3 numeri, nel determinarne un quarto in modo che i quattro numeri formino una proporzione

Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione: sia una proporzione Prodotto degli estremi: 8∙3=24. Prodotto dei medi: x ∙6 Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi: x ∙6 deve essere uguale a 24. Quindi: x=24:6 cioè x=4

Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione: Sia una proporzione Prodotto dei medi: 12∙25=300 Prodotto degli estremi: 20∙x Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi: 20 ∙x deve essere uguale a 300. Quindi: x=300:20 cioè x=15

Ricapitolando… Se la x è un medio per determinarla bisogna fare il prodotto degli estremi e poi dividere per l’altro Medio. Se la x è un estremo per determinarla bisogna fare il prodotto dei medi e poi dividere per l’altro estremo. Torniamo adesso alla nostra ricetta…..

Ricordiamo: 4 uova per 6 persone, quante uova per 9 persone? Intanto chiamiamo con la x il numero di uova per 9 persone. E costruiamo la seguente tabella: Uova Persone 4 6 x 9 Perché x sono le uova Perché 4 uova sono per 6 per 9 persone, e quindi x e 9 Persone e quindi vanno vanno nella stessa riga Nella stessa riga Leggendo da sinistra a destra, affinché le quantità siano direttamente Proporzionali deve risultare: 4:6=x:9

4:6=x:9 Che sappiamo tranquillamente risolvere: x= 4∙9:6 = 36:6 = 6. Quindi per 9 persone ci vogliono 6 uova. Per esercizio determina anche i chili di farina e le noci di burro necessarie per 9 persone.