CONVEZIONE NATURALE

CONVEZIONE NATURALE Si origina quando il moto del fluido è causato da gradienti di densità. Le velocità sono di norma minori rispetto alla convezione forzata. I moti atmosferici, oceanici e quelli interni alla crosta terrestre sono fenomeni di convezione naturale. L’approccio sperimentale è preponderante rispetto a quello teorico.

CONVEZIONE NATURALE EQUAZIONI FONDAMENTALI Hp: proprietà fisiche del fluido costanti ad eccezione della densità (BOUSSINESQUE) approssimazione di strato limite: quantità di moto lungo x quantità di moto lungo y ne consegue che il gradiente di pressione lungo y è indipendente da y e quindi è uguale fuori e dentro lo strato limite; Nella zona in cui la velocità è nulla (u = v = 0) si ha:

Le equazioni non sono più disaccoppiate CONVEZIONE NATURALE EQUAZIONI FONDAMENTALI Sostituendo nell’equazione della q.d.m. : Definendo poi il coefficiente volumetrico di dilatazione termica: ed approssimandolo a: si ottiene: Le altre equazioni dello strato limite sono: (energia) (continuità) Le equazioni non sono più disaccoppiate

CONVEZIONE NATURALE ADIMENSIONALIZZAZIONE Definendo: si ottiene: con Il gruppo si può scrivere come: Dove il numero di Grashof Gr è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose ed è definito dalla:

CONVEZIONE NATURALE ADIMENSIONALIZZAZIONE Ipotizzando la lastra riscaldata, applicando il teorema di Bernoulli tra il bordo inferiore ed un punto x: E, tenendo conto della relazione approssimata tra r e T, si può definire la velocità caratteristica della convezione naturale: Ed introducendola nell’espressione del numero di Grashof si ottiene: Assumendo u0 = uc , le equazioni diventano: con Nu funzione sia di Gr che di Pr

CONVEZIONE NATURALE ADIMENSIONALIZZAZIONE Si definisce il numero di Rayleigh come: Quando, oltre alla convezione naturale, è imposta anche una convezione forzata, l’importanza relativa è espressa dal rapporto: se Gr >> Re2 è prevalente la convezione naturale se Gr  Re2 si ha convezione mista se Gr << Re2 si ha convezione forzata

CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Si utilizzano le equazioni dello strato limite, con le condizioni al contorno seguenti: x y per y = 0: u = 0, v = 0, T = Tp per y = : L’equazione della quantità di moto, integrata sullo strato limite, è: che, con le condizioni al contorno, diventa:

CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Integrando l’equazione dell’energia sullo strato limite termico: che, con le condizioni al contorno, diventa: Per poter procedere con l’integrazione delle equazioni, si introduce un’ulteriore ipotesi sull’andamento dei profili di velocità e temperatura: Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del moto si ottiene:

CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Ipotizzando che u0 e d dipendano da x secondo le relazioni seguenti: si ha: Affinchè le due equazioni siano indipendenti da x, gli esponenti devono essere uguali: quindi si possono ricavare le costanti C1 e C2:

CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Lo spessore dello strato limite diventa dunque: Si ricava così la velocità di riferimento: Noto d, si può ricavare T dalla definizione del profilo e, conseguentemente, anche Nu: con Pertanto:

CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Integrando sulla lunghezza, si ottiene il valore medio del coefficiente di scambio: Allo stesso modo si ottiene il valore medio del numero di Nusselt: La maggior parte dei problemi pratici è costituita da geometrie di un grado di complessità tale da essere necessario il ricorso a correlazioni sperimentali, espresse nella forma: con C ed n che dipendono dalla geometria e dalle condizioni di moto

CONVEZIONE NATURALE ESEMPIO CILINDRO RISCALDATO Per

CONVEZIONE NATURALE SPAZI CONFINATI CAVITA’ RETTANGOLARI T1 > T2 In assenza di convezione (Ra < 103) si ha: In presenza di convezione vale la: Il coefficiente h viene determinato attraverso correlazioni sperimentali. Per cavità anulari e canali verticali non limitati superiormente valgono le stesse considerazioni