IL PROBLEMA DEL CONTROLLO Cosa si intende per: CONTROLLARE UN SISTEMA (un Impianto o un Processo) Controllare un sistema “S” significa imporre all’uscita y(t) di tale sistema un andamento più simile possibile ad uno desiderato ydes(t).

INTRODUZIONE In genere in un sistema S da controllare (chiamato anche: impianto o processo) possiamo distinguere: - gli ingressi manipolabili x(t) - gli ingressi non manipolabili z(t) - l’uscita y(t) Se voglio controllare un sistema devo riuscire ad individuare per ogni uscita desiderata ydes(t) un ingresso x(t) tale che l’uscita y(t) assuma un valore più vicino possibile a quella desiderata ydes(t).

In pratica Controllare un sistema significa: riuscire a realizzare un “meccanismo” tale che per ogni ydes(t) genera automaticamente un ingresso di controllo x(t) il quale produce un’uscita y(t) che si avvicina il più possibile alla ydes(t) Tale “meccanismo” che produce il particolare ingresso di controllo si chiama “controllore” e deve essere un dispositivo automatico

Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s) L’ingresso di controllo deve tenere conto delle caratteristiche dinamiche del sistema, delle sue variazioni nei parametri fondamentali e deve opporsi agli effetti del disturbo In genere l’uscita y(t) dipende dall’ingresso manipolabile x(t) e dal disturbo z(t) per cui passando a Laplace tale dipendenza si può scrivere Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s) NB:La dimostrazione del motivo per cui l’uscita può essere espressa secondo tale semplice formula è difficile e necessita la conoscenza delle equazioni differenziali (meglio lasciare perdere).

Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s) Se indico con YD(s) la trasformata dell’uscita desiderata potrei risolvere il problema risolvendo l’equazione: Y(s) = G(s) X(s) + Gz(s) Z(s) Sostituendo YD (s) al posto di Y(s) ricavo il valore dell’ingresso di controllo X(s): Il valore dell’ingresso x(t) cercato corrisponde all’antritrasformata di X(s):

IL SISTEMA DI CONTROLLO IN CATENA APERTA E’ POCO ROBUSTO Per trovare tale ingresso non bisogna valutare nulla dell’uscita (controllo ad anello aperto) ma presenta i seguenti problemi Devo avere una conoscenza perfetta del modello del sistema G(s) da controllare e tale sistema non deve variare nel tempo Devo avere una conoscenza perfetta dei disturbi e di come i disturbi agiscono sul sistema per valutare Z(s) e Gz(s) IL SISTEMA DI CONTROLLO IN CATENA APERTA E’ POCO ROBUSTO

Esempio pratico: controllo di velocità di un motore Cm Cr B ω Cm = coppia motrice del motore Cr = coppia resistente (salita) B = coppia attrito (asfalto o vento) ω = velocità di rotazione dell’albero

Cm è l’ingresso del sistema Infatti se voglio controllare la velocità di rotazione dell’albero posso agire sulla farfalla del carburatore e generare una coppia Cm proporzionale all’angolo α della farfalla: Cm= p α ω è l’uscita del sistema La relazione che lega le grandezze è: Cm= B ω + Cr Controllare tale motore significa avere ω = ωdes

Il controllo a catena aperta viene fatto nella seguente maniera: stimo l’attrito B* e la coppia resistente Cr*. costruisco la Cm con tali valori trovo Cm= B* ωd + Cr* Sostituisco tale valore di Cm nella formula generale Cm= B ω + Cr ottengo B* ωd + Cr* = B ω + Cr Ricavo ω

Tale sistema di controllo non è applicabile B ω = B* ωd + Cr* - Cr solo se Cioè devo avere una conoscenza perfetta dell’attrito B e della coppia resistente Cr Tale sistema di controllo non è applicabile

La tecnica di controllo più efficace è la seguente Misuro la velocità ω con un tachimetro e in base alla differenza tra il valore desiderato e quello stimato applico una coppia motrice proporzionale alla differenza tra la velocità desiderata e quella misurata Cm = K ( ωd - ωmis ) Sostituendo nella relazione generale Cm= B ω + Cr

Il misuratore di velocità commetterà un errore e quindi K ( ωdes - ωmis ) = B ω + Cr Il misuratore di velocità commetterà un errore e quindi ωmis = ω - Δ ω K ( ωdes - ω + Δ ω ) = B ω + Cr Ricavo ω K ωdes + K Δ ω - Cr = K ω + B ω K ωdes + K Δ ω - Cr = ω (K + B ) ω (K + B ) = K (ωdes + Δ ω) - Cr

Se K ha un valore elevato: Quindi se K è elevato ω = ωdes + Δ ω Ma se lo strumento di misura è buono Δ ω = 0 ω = ωdes

L’ipotesi di controllo precedente è stata ottenuta senza richiedere nessuna particolare conoscenza del sistema e del disturbo. Necessita però una conoscenza perfetta dell’uscita ottenuta tramite il misuratore e per questo viene chiamata A CATENA CHIUSA In base a quanto scritto in precedenza il sistema va pilotato con una coppia Cm proporzionale alla differenza tra uscita desiderata e misurata Cm = K ( ωd - ωmis )

L’ingresso al sistema deve essere ottenuto amplificando (con amplificazione K elevata) il segnale d’errore ( ωd - ωmis ) ωd ωd-ωmis ω K sistema - misuratore ωmis Occorre precisare che: tutti le grandezze in gioco (tranne l’uscita) vengono trasformate in segnali elettrici e quindi K è un amplificatore elettronico e il misuratore è un trasduttore.

H(s) è la f.d.t. del trasduttore In generale abbiamo E(s) Y(s) G(s) - R(s) H(s) G(s) è la f.d.t. del sistema con il controllore (il controllore è spesso ma non sempre un amplificatore) H(s) è la f.d.t. del trasduttore R(s) è la trasformata di Laplace dell’ingresso desiderato (di riferimento)

Da ora in poi parleremo dei sistemi di controllo che soddisfano alla legge E ci riferiremo al seguente schema che riesce a soddisfare alla precedente specifiche di controllo R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc

Analizziamo con il metodo degli schemi a blocchi R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc Ottengo per K elevato Cioè quello richiesto

Vediamo quali sono le caratteristiche (vantaggi) della retroazione La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema (diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s)) L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce rapporto segnale rumore) La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema) Diminuisce l’errore a regime

Analizziamo il primo vantaggio La relazione tra ingresso ed uscita dipende meno dalle variazioni dei parametri del sistema (diminuisce la sensibilità dell’uscita alle variazioni parametriche di G(s))

La relazione tra ingresso ed uscita W(s) è G’(s) G’’(s) W(s) Cioè il diagramma di Bode di W(s) cioè del sistema reazionato rimane pressochè lo stesso anche se G(s) varia da G’(s) a G’’(s)

In realtà la formula seguente è solo un’approssimazione e anche W(s) varierà G’(s) G’’(s) W’(s) W’’(s) Il diagramma di Bode di W(s) varierà comunque molto meno di G(s)

La “sensibilità parametrica” S è varia con la pulsazione G’(s) G’’(s) W’(s) W’’(s) Il rapporto tra la variazione relativa di W(s) e la variazione relativa di G(s) viene chiamata “sensibilità parametrica” La “sensibilità parametrica” S è varia con la pulsazione

G(s) G’(s) G’’(s) W’(s) W’’(s) La “sensibilità parametrica” S vale in generale (si può dimostrare con alcuni passaggi matematici)

Esempio numerico di “sensibilità parametrica” S S = 0,001 mi dice che se G(s) si modifica dello 20% per una certa frequenza allora W(s) si modifica in un rapporto 0,001 più basso e cioè dello 0,02% generalmente S viene espresso in db e cioè 20log(S) in tale caso S = 20 log(0,001) =-60db

Analizziamo il secondo vantaggio della retroazione L’uscita dipende meno dai disturbi (diminuisce il rapporto segnale rumore)

Si abbia un disturbo dopo l’amplificatore (ricordare che gli amplificatori nei controlli non devono introdurre rumore e cioè devono essere ben fatti) D(s) + R(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc

Calcoliamo il valore dell’uscita dovuta al solo rumore D(s) + Yd(s) K G(s) - 1 Kc se K è elevato Quindi anche Yd(s) = 0

E’ un’approssimazione Ovviamente la formula se K è elevato E’ un’approssimazione La funzione di trasferimento WD(s), cioè il rapporto tra il segnale d’uscita dovuto al solo rumore ed il rumore stesso, è quel parametro che viene definito “rapporto segnale rumore” N. Esso è piccolo, ma non nullo, se è elevato

Valutiamo il rapporto tra segnale e rumore per ogni pulsazione senza l’approssimazione precedente

Esempio numerico di “rapporto segnale rumore” N SN(ω)=0,001 mi dice che se ad una certa frequenza il rumore vale 40mV allora l’uscita è più piccola di 0,001 e cioè vale 0,04mV generalmente SN(ω) viene espresso in db e cioè 20log(N) in tale caso SN(ω) = 20 log(0,001) =-60db

Analizziamo il terzo vantaggio della retroazione La banda passante si allarga (maggiore prontezza del sistema)

L’effetto sulla banda passante viene riportato nel seguente grafico KG(s) G(s) W(s) 20 db Kc BG BW Se KG(s) ha modulo elevato (>20db) W(s) vale circa KC (costante)

L’allargamento della banda passante porta il vantaggio che il sistema diventa più pronto. G(s) W(s) 20 db Kc BG BW Infatti BG e BW sono legati alla costante di tempo di salita dell’uscita ad un ingresso a gradino BW > BG dice che il sistema W è più pronto di G

In pratica : in un sistema non retroazionato il regime viene raggiunto dopo perché BG> BW Con la retroazione quindi diminuisce il tempo iniziale in cui segnale di uscita y(t) è molto diverso da quello desiderato yd(t). Infatti in seguito a variazioni d’ingresso a gradino non possiamo pretendere che anche l’uscita risponda prontamente con variazione brusca verticale

Come già detto una banda passante più larga implica una maggiore prontezza del sistema. La differenza che si ha tra riferimento ed uscita dopo l’applicazione di variazioni brusche in ingresso quindi viene ridotta al minimo con la retroazione Una pseudo-dimostrazione matematica di quanto detto è nella pag. seguente

Calcoliamo la banda passante e la risposta al gradino in un sistema con un solo polo (tipo filtro passa basso RC) La risposta al gradino di questo sistema si calcola trovando l’antitrasformata di laplace di

R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc Mettendo il sistema in retroazione con K=10 e Kc=1 R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc La f.d.t. del sistema vale: Cioè la costante di tempo è circa 10 volte più piccola

Analizziamo il quarto vantaggio Diminuisce l’errore a regime

Possiamo dimostrare che con la retroazione diminuisce l’errore a regime, cioè l’errore che si ha dopo un tempo molto lungo dall’applicazione del segnale di riferimento

Se il controllo fosse senza errori si avrebbe: R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc Se il controllo fosse senza errori si avrebbe: Yd (s) = Kc R(s) invece si ha Y(s) = W(s) R(s) con

L’errore indesiderato sarà la differenza E(s) = Yd(s) - Y(s) Sostituendo Eseguendo i calcoli e semplificando ottengo

L’errore a regime si ottiene antitrasformando E(s) E dopo aver trovato e(t) si fa il limite per t-> Esiste un teorema chiamato teorema del valore finale che ci permette di trovale il valore a regime di una funzione per t->infinito eseguendo un limite per s->0 della sua trasformata di Laplace moltiplicata per s Applichiamo quindi il teorema del valore finale per trovale l’errore a regime

Le caratteristiche che ci servono per calcolare tale limite sono: Per trovare il valore del limite per s-> 0 di E(s) non è necessario conoscere in maniera precisa G(s) e di R(s) ma solo il valore che assumono per s->0 Le caratteristiche che ci servono per calcolare tale limite sono: Il tipo di ingresso R(s) Il tipo di sistema G(s)

Analizziamo il tipo di ingresso R(s) L’ingresso può essere: un gradino alto Ro una rampa di pendenza Ro una rampa parabolica Ro Gli ingressi elencati in precedenza sono quelli tipici e si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine del polo in zero nella loro trasformata di Laplace.

Per tipo di sistema si intende il numero di poli in zero Il tipo di sistema G(s) Per tipo di sistema si intende il numero di poli in zero ed in particolare si può avere: (sistema di tipo 0) nessun polo in zero (sistema di tipo 1) un polo semplice in zero (sistema di tipo 2) un polo doppio in zero I tipi di sistema elencati in precedenza sono quelli che tratteremo. Essi si differenziano l’uno dall’altro dall’ordine del polo in zero

Il tipo di sistema viene valutato dopo avere espresso G(s) nella forma di bode Se l’esponente i di s vale 0 (cioè non ci sono poli sull’origine) allora il sistema e di TIPO 0 e K viene chiamata costante di posizione e indicata con KP

Se l’esponente i di s vale 1 (cioè c’è un polo semplice sull’origine) allora il sistema e di TIPO 1 e K viene indicata con KV e chiamato costante di velocità Se l’esponente i vale 2 (cioè c’è un polo doppio sull’origine) allora il sistema e di TIPO 2 e K viene indicata con KA e chiamato costante di accelerazione

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a gradino usando il teorema del valore finale Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale ed inoltre G(0)=KP quindi il risultato (l’errore a regime) è

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa usando il teorema del valore finale Il polo doppio che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e quindi il risultato è INFINITO Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa uguale all’ingresso

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo zero con ingresso a rampa parabolica usando il teorema del valore finale Il polo triplo che possiede R(s) non si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e quindi il risultato è INFINITO Cioè l’errore a regime aumenta sempre più e l’uscita non può assumere un valore a rampa parabolica uguale all’ingresso

Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a gradino usando il teorema del valore finale Il polo che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale ma abbiamo che G(s) a denominatore diverge e quindi il risultato è zero Cioè l’errore a regime diventa zero e l’uscita assume un valore a rampa uguale all’ingresso

L’errore all’ingresso a rampa parabolica è infinito Calcoliamo ora l’errore a regime in un sistema di tipo uno con ingresso a rampa Il polo doppio che possiede R(s) si annulla con la s a moltiplicare presente per il teorema del valore finale e con il polo semplice di G(s) … dopo alcuni passaggi (sapendo che KV è la costante di Bode di G(s) di tipo1) L’errore all’ingresso a rampa parabolica è infinito

KA è la costante di Bode della funzione G(s) di tipo 2 L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a gradino e rampa vale zero L’errore a regime in un sistema di tipo due con ingresso a rampa parabolica vale KA è la costante di Bode della funzione G(s) di tipo 2

Le caratteristiche importanti di G(s) sono riportate nella seguente tabella

Il valore dell’errore a regime è riassunto nella seguente tabella

STABILITA’ DEL SISTEMA Una fondamentale caratteristica che deve avere il sistema controllato, tanto importante che se questa non è presente le altre diventano inutili è la STABILITA’ DEL SISTEMA Un sistema non può funzionare se non è stabile. Un sistema si dice “asintoticamente stabile” se in assenza di ingresso l’uscita ritorna a essere nulla dopo una perturbazione in ingresso anche molto forte ma di durata limitata

S Il sistema precedente è stabile se l’uscita torna a zero dopo l’applicazione di un qualsiasi ingresso impulsivo.

La stabilità come espressa in precedenza viene chiamata “asintotica”. Un sistema è asintoticamente stabile se: LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA NON POSSIEDE POLI CON PARTE REALE POSITIVA O NULLA

La dimostrazione dell’enunciato precedente deriva dal fatto che, se applico in ingresso un impulso allora la trasformata di laplace dell’uscita vale Ma se Cioè la funzione di trasferimento G(s) di un sistema coincide con la risposta all’impulso Ma se antitrasformo una funzione in s con poli negativi ottengo esponenziali con esponente negativo e cioè che tendono a zero

In conclusione per controllare la stabilità devo trovare i poli di G(s) e vedere se questi poli sono tutti negativi Per il sistema controllato lo stesso discorso va fatto sulla funzione W(s). Per controllare la stabilità devo trovare i poli di W(s) e vedere se questi poli sono tutti negativi E(s) Y(s) G(s) - R(s) H(s)

Devo controlare il denominatore e vedere se Y(s) G(s) - R(s) H(s) Devo controlare il denominatore e vedere se

Tali metodi sono Routh Urwitz Non consideriamo nessuno dei molti criteri matematici per vedere se esistono radici con parte reale negativa nell’equazione Tali metodi sono Routh Urwitz Prendiamo in considerazione il solo metodo grafico semplice dedotto dai grafici di Bode.

Prendiamo il sistema G(s) controllato R(s) E(s) Y(s) K G(s) - 1 Kc Calcoliamo il guadagno d’anello così definito:

Disegniamo i diagrammi di Bode di F(s) 0db -180°

0db -180° Il margine d’ampiezza è il valore in db di F(s) quando la fase vale 180° Il margine di fase è la distanza in gradi della fase di F(s) quando l’ampiezza è 0db

Valori tipici dei margini di ampiezza e di fase sono ad esempio: Si può dimostrare che il sistema controllato è stabile se il margine d’ampiezza è negativo e il margine di fase è positivo Valori tipici dei margini di ampiezza e di fase sono ad esempio: Con tali valori il sistema è abbastanza stabile, con valori più bassi si ha rischio di instabilità.

Proviamo a vedere cosa succede se aumenta il guadagno K: 0db -180° IL MARGINE D’AMPIEZZA SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE

Non è facile vedere cosa succede se aumento i poli sull’origine, ma si intuisce che questa volta si alza abbassa il diagramma delle fasi 0db -180° IL MARGINE DI FASE SI RIDUCE FINO A CAMBIARE SEGNO CIOE’ IL SISTEMA DIVENTA INSTABILE