Equazioni

Identità ed equazioni Consideriamo la frase: “un numero più se stesso è uguale al suo doppio” e traduciamola in termini matematici indicando “un numero” con la lettera x: x + x = 2x Proviamo a verificarne la validità, sostituendo alla lettera x dei numeri a piacere: per x = 4, 4 + 4 = 2 x 4, 8 = 8 per x = 10, 10 + 10 = 2 x 10, 20 = 20 per Continuando con altri valori di x, constateremo che l’uguaglianza x + x = 2x è sempre valida. Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità. Un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alla lettera o alle lettere che vi figurano si chiama identità.

Identità ed equazioni per x = 3, 3 x 3 + 2 = 3 + 6, 9 + 2 = 9 per x = -5, 3 x (-5) + 2 = -5 + 6, -15 + 2 = 1 per x = 2, 3 x 2 + 2 = 2 + 6, 6 + 2 = 8 8 = 8 L’uguaglianza 3x + 2 = x + 6 è vera solo per x = 2. Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione. Consideriamo adesso la frase: “il triplo di un numero è uguale al numero stesso più 10” e traduciamola in termini matematici indicando ancora “un numero” con la lettera x: 3x + 2 = x + 6 Un ‘uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera o alle lettere che vi figurano si chiama equazione.

Le parole della matematica Le due espressioni letterali che formano l’uguaglianza si dicono rispettivamente 1° membro e 2° membro dell’equazione: 3x + 2 = x + 6 1° membro 2° membro Le lettere (o la lettera) che compaiono nell’espressione sono le (o la) incognite dell’equazione: 3x + 2 = x + 6 incognita

Le parole della matematica Tutti i termini che non contengono le incognite si dicono termini noti: 3x + 2 = x + 6 termini noti In base al numero di lettere diverse che vi compaiono, un’equazione si dice a una, a due, a tre, … incognite: +4x +5 = 2x -7 equazione a una incognita -7x + 9y = 27 equazione a due incognite Il grado più elevato dei vari monomi che costituiscono l’equazione si chiama grado dell’equazione; un’equazione può quindi essere di 1°, 2°, 3° … grado. 4x + 5 = 2x -7 equazione di 1° grado 3x² + 7 = 4x -9 equazione di 2° grado

Equazioni intere e fratte I particolari valori delle incognite che rendono vera l’equazione si dicono soluzioni o radici dell’equazione. Risolvere un’equazione significa calcolare tutte le sue soluzioni o radici. Un’equazione si dice intera se l’incognita non figura al denominatore, di dice frazionaria o fratta in caso contrario. equazioni intere equazione frazionaria

I principi di equivalenza Consideriamo due equazioni: 6x + 4 = 28 e 10x = 6x + 16 Entrambe ammettono come unica soluzione x = 4 Esse si dicono equazioni equivalenti; diciamo che: Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per risolvere qualsiasi equazione è opportuno trasformarla in una equivalente ma di forma più semplice. Osserviamo come fare esaminando i due principi di equivalenza delle equazioni.

Primo principio di equivalenza Consideriamo l’equazione 2x + 2 = 12, la cui soluzione è x = 5 e addizioniamo a entrambi i membri un numero qualsiasi, per esempio il numero 3, otteniamo: 2x + 2 + 3 = 12 + 3 ovvero 2x + 5 = 15 La cui soluzione è ancora x = 5. Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella data. Possiamo enunciare il 1° principio di equivalenza che dice: Addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Primo principio di equivalenza Applicazione del 1° principio di equivalenza Consideriamo l’equazione 5x + 7 = 27 e sottraiamo a entrambi i membri il numero 7; otteniamo: 5x + 7 – 7 = 27 – 7 ovvero 5x = 27 – 7 Osserviamo che l’ applicazione del 1° principio di equivalenza si riduce a spostare il termine noto dal primo membro al secondo membro dove lo ritroviamo cambiato di segno. Possiamo quindi affermare che: In ogni equazione un termine qualsiasi può essere spostato da un membro all’altro purché lo si cambi di segno (legge del trasporto).

Primo principio di equivalenza Applicazione del 1° principio di equivalenza Consideriamo l’equazione 3x – 5 = 2x + 10 – 5 e applichiamo quanto detto prima spostando il termine – 5 dal primo al secondo membro cambiandolo di segno, otteniamo: 3x = 2x + 10 – 5 + 5 ovvero 3x = 2x + 10 Se confrontiamo le due equazioni equivalenti ci accorgiamo che abbiamo eliminato il termine – 5 che era presente in entrambi i membri. Possiamo affermare che: Se in entrambi i membri di un’equazione figurano due termini uguali, essi possono essere eliminati.

Secondo principio di equivalenza Consideriamo l’equazione – 3x + 2 = - 22, la cui soluzione è x = 8, e moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso numero, per esempio 2; otteniamo: 2 ∙ (-3x + 2) = 2 ∙ (-22) ovvero -6x +4 = - 44 La cui soluzione, come potete verificare, è ancora x = 8. Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella data. Possiamo affermare che: Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Secondo principio di equivalenza Applicazione del 2° principio di equivalenza Consideriamo l’equazione 5x – 4 = 2 e applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando per - 1 ; otteniamo: -1∙ (5x – 4) = - 1 ∙ 2 ovvero -2x + 4 = -2 Confrontando le due equazioni equivalenti, noteremo che si passa dalla prima alla seconda cambiando di segno tutti i termini dell’equazione. Possiamo allora affermare che: Cambiando il segno di ciascun termine di un’equazione se ne ottiene una equivalente a quella data.

Secondo principio di equivalenza Applicazione del 2° principio di equivalenza Consideriamo l’equazione: e applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando i due membri dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori, cioè per m.c.m.(4; 3; 2) = 12 otteniamo: ovvero 9x -8 = 12x – 30 che è un’equazione equivalente a quella data con coefficienti interi. Un’equazione a coefficienti frazionari si può ridurre a un’equazione a coefficienti interi a essa equivalente moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.

Risoluzione di un'equazione di 1° grado Osserviamo le seguenti equazioni: 5x = 15 -3x = 10 2x = - 14 Esse presentano la stessa caratteristica: i due membri sono rispettivamente formati da un unico termine in x il primo e da un unico termine noto il secondo. Un’equazione di questo tipo si dice ridotta in forma normale e la si indica con la scrittura: ax = b con a e b numeri reali. La soluzione dell’equazione è Possiamo affermare che: Per risolvere un’equazione ridotta in forma normale basta dividere il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

Risoluzione di un'equazione di 1° grado Per risolvere un’equazione che non sia ridotta nella sua forma normale, occorre innanzi tutto ridurla in tale forma e poi applicare la regola appena vista. Per ridurre una qualsiasi equazione in forma normale, e quindi risolverla, si applicano i principi di equivalenza studiati. Esempio: -8 +3x +14 = 7x -10 applichiamo la legge del trasporto, scriviamo al primo membro tutti i termini contenenti l’incognita e al secondo membro tutti i termini noti: 3x -7x = 8 -14 -10 eseguiamo le addizioni algebriche che figurano ai due membri: -4x = -16 Abbiamo trasformato la nostra equazione in forma normale, per cui:

Risoluzione di un'equazione di 1° grado Per risolvere una qualsiasi equazione di 1° grado a un’incognita seguiamo lo schema: si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale; se l’equazione ha coefficienti e/o termini noti frazionari, si moltiplicano tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori; si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presente la legge del trasporto; si eseguono le addizioni algebriche ottenute nei due membri in modo tale da ottenere l’equazione in forma normale: si determina la soluzione:

Equazioni determinate 1° caso determinata

Equazioni impossibile 2° caso Poiché sappiamo che non esiste alcun numero che moltiplicato per zero ci dà un risultato diverso da zero, diremo che l’equazione non ha soluzione. Essa si dice: impossibile

Equazioni indeterminata 3° caso Sappiamo che qualsiasi numero ,moltiplicato per zero dà zero, diremo che l’equazione ammette come soluzione un qualsiasi numero, ha cioè infinite soluzioni. Essa di dice: indeterminata

Fine