Regressione Lineare parte 1 Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Spesso, considerando congiuntamente due caratteristica (X,Y) di una medesima realtà statistica, risulta interessante ricercare un legame funzionale fra le due quantità del tipo Y=f(X)

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Il metodo della Regressione Lineare (o metodo di stima ai Minimi Quadrati) si occupa di individuare, all’interno di un certo ambito di funzioni, una relazione fra le due quantità.

Siano noti m punti di coordinate Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Ipotesi: Siano noti m punti di coordinate Sia data una base di funzioni che generi uno spazio vettoriale di dimensione n La relazione funzionale fra x e y sia una combinazione lineare delle n funzioni di base

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare criterio: Fra tutte le funzione generate dalla base viene scelta quella che “meglio” descrive la relazione funzionale fra le due grandezze Il criterio è dunque quello di scegliere la funzione che minimizza la somma delle distanze di tutti i punti dal modello

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare soluzione: Si può immaginare che la funzione e=errore sia una funzione degli n parametri a da minimizzare e dunque i punti candidati a risultare minimi di tale funzione sono quello di stazionarietà, ovvero che soddisfano le seguenti n condizioni:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare La scelta di operare la selezione della funzione che lega X a Y all’interno delle funzioni generate come combinazione lineare delle n funzioni di base conduce il problema appena descritto a prevedere una ed una sola soluzione che può essere determinata risolvendo il seguente sistema: con: Si può dimostrare che la matrice del sistema ha determinante non nullo quindi il sistema ammette una sola soluzione

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Prodotto scalare: Nello spazio vettoriale generato dalla base di vettori (funzioni) j(x) è possibile considerare un prodotto scalare con la seguente definizione: e quindi gli elementi della matrice A e del vettore B possono essere visti nel seguente modo:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Ne consegue che se le funzioni di base j(x) fossero scelte in modo opportuno la matrice A sarebbe una matrice “vuota” (sparsa) e la soluzione del sistema più semplice dal punto di vista computazionale. In particolare se A fosse diagonale il sistema lineare si ridurrebbe ad una sequenza di n equazioni disaccoppiate, ciascuna con una sola variabile. E quindi sarebbe opportuno scegliere le funzioni di base j(x) fra loro ortogonali, cioè:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Ortogonalizzazione: Come è noto è possibile ortogonalizzare la base di uno spazio vettoriale utilizzando l’algoritmo di Gram-Schmidt. Quindi a partire dalla base di funzioni j(x) si ottiene una nuova base per il medesimo spazio vettoriale di funzioni j’(x) fra loro ortogonali

Mentre la soluzione del sistema porta al seguente risultato: Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare E’ bene osservare che il cambio di base in cui esprimere la funzione da ricercare, quest’ultima non cambia. Dunque la funzione che minimizza la somma delle distanze al quadrato punto osservato-modello diventa: Mentre la soluzione del sistema porta al seguente risultato:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Esempio: retta di regressione Un caso molto comune e diffuso è quello di ricercare un legame fra le quantità X e Y di tipo lineare, ovvero si vuole ricercare la retta del piano che meglio descrive il legame fra le due grandezze. Le funzioni di base da utilizzare sono dunque: e dunque:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare E dunque i parametri del modello diventano:

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Retta ai minimi quadrati: esempio numerico Si considerano i seguenti 10 punti di coordinate X,Y x y 0.8 21 2.5 36 3.8 53 5.3 48 6.8 61 8.2 78 10.3 77 12.6 75 14.7 99 18.3 104 Si Ipotizza una relazione lineare fra Y ed X, ovvero Y=m X + q

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare E dunque i parametri del modello ortogonalizzato diventano: e quindi ovvero

Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare Il modello calcolato in corrispondenza dei punti assegnati fornisce i seguenti valori x y y(x) 0.8 21 31.30 2.5 36 38.95 3.8 53 44.80 5.3 48 51.56 6.8 61 58.31 8.2 78 64.61 10.3 77 74.07 12.6 75 84.42 14.7 99 93.88 18.3 104 110.09