INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ

ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1324 Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»): Quando si parte il giuoco della zara colui che perde si riman dolente ripetendo le volte e tristo impara

ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1324 Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»): Quando termina il gioco della zara, colui che ha perso rimane triste e solo, riprova invano i tiri ed impara suo malgrado

1640 Non riuscivano a comprendere come mai ottenere 10 o 11 fosse più facile che fare 9 o 12 Risposta di Galileo a un quesito postogli da alcuni giocatori, sempre sul gioco della zara Galileo Galilei (1564-1642)

INTERESSE PER I GIOCHI D’AZZARDO Il termine “ALEATORIO” deriva dal latino ALEA = DADO “AZZARDO” deriva dall’arabo ZAR =DADO

1654 carteggio tra Pascal e Fermat Il cavaliere De Méré, fanatico giocatore, pone alcuni quesiti a Pascal Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662)

1700 Grandi passi ad opera di Bernoulli e De Moivre Abraham De Moivre (1667- 1754) Jacques Bernoulli (1654-1705)

1800 Laplace definisce i fondamenti del calcolo delle probabilità

1900 Il concetto di probabilità viene generalizzato. De Finetti, Von Mises, Kolmogorov costruiscono la teoria della probabilità, a partire da diverse definizioni

ANZITUTTO… QUALI SONO “GLI OGGETTI?”

ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO U = spazio degli eventi Insieme dei possibili esiti di un “esperimento” ESEMPIO ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U EVENTO ELEMENTARE = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U CONTENENTE UN SOLO OGGETTO

U = EVENTO CERTO Ø = EVENTO IMPOSSIBILE DUE EVENTI SI DICONO INCOMPATIBILI SE AB = Ø

MA ORA È VENUTO IL MOMENTO DI CHIEDERSI…

COS’È LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO?

“PROBABILITY DOES NOT EXIST” UNA PROVOCAZIONE: “PROBABILITY DOES NOT EXIST” Bruno De Finetti

DEFINIZIONI DI PROBABILITA’ CLASSICA (Laplace) SOGGETTIVA (De Finetti) FREQUENTISTA (Von Mises) ASSIOMATICA (Kolmogorov)

Pierre Simon de Laplace (1749-1827) DEFINIZIONE CLASSICA Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Probabilità = rapporto tra i casi favorevoli al verificarsi dell’evento e i casi possibili

DEFINIZIONE SOGGETTIVA Bruno De Finetti (1906-1985) Probabilità = quanto un soggetto coerente è disposto a scommettere sul verificarsi dell’evento

DEFINIZIONE FREQUENTISTA Ludwig Edler Von Mises (1881-1973) Probabilità =rapporto tra il numero di “successi” dell’evento e il numero di “esperimenti” effettuati

DEFINIZIONE ASSIOMATICA Andreij Nikolaevicz Kolmogorov (1903-1987) Probabilità = un numero reale compreso tra zero e uno, soddisfacente alcuni assiomi

PER RAGIONI DI CARATTERE DIDATTICO, UTILIZZEREMO UN MODELLO “IBRIDO” CHE SI BASA PRINCIPALMENTE SULLA DEFINIZIONE OGGETTIVA E SU QUELLA ASSIOMATICA

ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ la probabilità di un evento E è un numero reale compreso tra 0 e 1 0  p(E)  1 La probabilità dell’evento certo è 1, inoltre, se un evento E ha probabilità 1, allora E è l’evento certo p(E) = 1 E=U

AB=  p(AB)=p(A)+p(B) Se A e B sono due eventi incompatibili, allora la probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi AB=  p(AB)=p(A)+p(B)

TEOREMI p(Ø) = 0 p(AC) = 1 - p(A) AB  p(A)  p(B) p(A - B) = p(A) - p(AB) p(AB) = p(A) + p(B) –p(AB)

PROBABILITÀ CONDIZIONATA Dati due eventi A e B di uno stesso esperimento aleatorio, la probabilità CONDIZIONATA di A rispetto a B P(A|B) è la probabilità che si verifichi A supponendo di sapere che si è verificato B

PROBABILITÀ CONDIZIONATA Se p(A|B) ≠ p(A) si dice che A e B sono DIPENDENTI Se p(A|B) = p(A) si dice che A e B sono INDIPENDENTI

TEOREMI

TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI TEOREMI A1, A2, … An eventi tali che A1A2 … An = U, AiAj =  per ogni ij B evento dello stesso spazio U che si è verificato TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI

FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”) TEOREMI A1, A2, … An eventi tali che A1A2 … An = U, AiAj =  per ogni ij B evento dello stesso spazio U che si è verificato FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”)

TEOREMI DISTRIBUZIONE BINOMIALE (SCHEMA DELLE “PROVE RIPETUTE” DI BERNOULLI) A evento con p(A)=p, B evento contrario con p(B)=q L’ esperimento è ripetuto n volte nelle stesse condizioni. La probabilità che A si verifichi esattamente k volte è: