Geometria Descrittiva è la scienza che permette di rappresentare in modo inequivocabile su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali, attraverso determinate costruzioni geometriche La rappresentazione può essere finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo (oggetto dal vero), e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione di manufatti tridimensionali.

PROIEZIONI ORTOGONALI Metodi di rappresentazione Tridimenisionale 3 D ASSONOMETRIA PROSPETTIVA Bidimenisionale 2 D PROIEZIONI ORTOGONALI o Metodo di Monge

• l’oggetto della rappresentazione Durante le fasi di progettazione e di realizzazione degli oggetti, la rappresentazione grafica riveste un ruolo fondamentale, inizialmente per concretizzare l’idea progettuale e verificarne la fattibilità, in seguito per guidare il processo costruttivo Ogni metodo di proiezione è uno strumento per rappresentare la realtà con oggetti della geometria euclidea, ovvero punti, rette e superfici. Per definire un metodo di proiezione è necessario introdurre alcuni elementi che sono: • l’oggetto della rappresentazione • un centro di proiezione, che corrisponde al nostro occhio, e da cui partono i raggi proiettanti • il piano di proiezione, che corrisponde al foglio di disegno α α S S ∞ S punto proprio, proiezione conica (o centrale) S punto improprio, proiezione parallela (o cilindrica)

un primo piano orizzontale (P.O.) un secondo piano verticale (P.V.) Nelle Proiezioni Ortogonali il centro di proiezione è posto all'infinito, per cui le linee proiettanti sono tra loro parallele. Inoltre le linee proiettanti raggiungono i piani di proiezione, che sono tre come vedremo, in modo ortogonale, cioè formando angoli retti Lo spazio tridimensionale viene diviso mediante tre piani anch'essi ortogonali fra loro: un primo piano orizzontale (P.O.) un secondo piano verticale (P.V.) un terzo piano laterale (P.L.) I tre piani così definiti individuano 4 triedri ma la parte di spazio di nostro interesse è il triedro delimitato dai tre semipiani evidenziato P.V. P.L. P.O. la retta di intersezione tra i piani P.O. e P.V. è detta linea di terra (L.T.)

I semipiani del triedro possono essere tagliati lungo la linea di separazione tra P.O. e P.L. e ruotando disporsi su un unico piano che sarà il foglio su cui disegneremo P.V. P.V. P.L. P.L. P.O. P.O. P.O. P.L. P.V.

Le proiezioni ortogonali possono essere effettuate secondo due “metodi”:  metodo europeo  metodo americano La differenza sostanziale tra i due metodi sta nella posizione dei piani di proiezione e dell’oggetto da proiettare rispetto ai punti di osservazione Sistema europeo Nel metodo europeo l’oggetto è situato tra  l’osservatore e il piano di proiezione. Nel metodo americano è il piano di proiezione ad essere ubicato tra l’osservatore e l’oggetto da proiettare Sistema americano

Le norme internazionali raccomandano di riportare sui disegni il simbolo di tale sistema americano o europeo con le proiezioni del tronco di cono visibili come indicato nella figura. Tale simbolo va posto nel riquadro delle iscrizioni (cartiglio). Qualunque sia il metodo prescelto, è necessario stabilire la vista principale: in linea di massima si assume come tale quella che rappresenta l’oggetto nella sua posizione di utilizzazione oppure quella che mette in evidenza la maggior parte delle caratteristiche del pezzo. Di norma la vista è quella dall’alto o quella frontale, mentre quella laterale si ottiene per costruzione.

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo L’oggetto viene disposto in questo triedro e proiettando i punti dell’oggetto con i raggi visuali fuoriuscenti dai centri di proiezione, che per le proiezioni ortogonali sono disposti a distanza infinita dall’oggetto, fino ad incidere perpendicolarmente ai tre piani vengono definite le tre proiezioni o viste dell’oggetto sui tre piani Proiezione ortogonale di un parallelepipedo B’’= A’’ C’’= D’’ P.V. A D A’’’= D’’’ F’’= E’’ G’’= H’’ C B B’’’= C’’’ P.L. E H E’’’= H’’’ Di solito, 3 proiezioni (prospetto, fianco e pianta) sono sufficienti per dedurre in modo preciso e senza ambiguità la forma e le dimensioni dell’oggetto rappresentato F G F’’’= G’’’ A’= E’ D’= H’ B’= F’ C’= G’ P.O.

Come si procede operativamente Nel foglio da disegno si traccia una linea orizzontale che rappresenta la linea di terra (L.T.) Poi si traccia una linea perpendicolare alla linea di terra, il piano è così suddiviso in quattro quadranti nello spazio in basso a sinistra , che rappresenta il piano orizzontale (P.O.), sarà disegnata la vista dall’alto ovvero la pianta nello spazio in alto a sinistra, che rappresenta il piano verticale (P.V.), sarà disegnata la vista frontale o il prospetto nello spazio in alto a destra, che rappresenta il piano laterale (P.L.) sarà disegnata la vista laterale o il profilo Il riquadro in basso a destra viene utilizzato come piano di appoggio, ma non fa parte dei piani di proiezione. P.V. P.L. L.T. P.O.

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. P.L. Si disegna l’oggetto nella vista dall’alto tracciando tutti i contorni visibili con tratto scuro e continuo, immaginando di guardare l’oggetto dall’alto da una distanza infinita rispettando l’aggetto e la distanza dal P.L.; eventuali spigoli esistenti ma invisibili (perché interni o di una faccia opposta) vanno disegnati con tratto scuro tratteggiato) . L.T. aggetto distanza P.L. distanza dal P.L. aggetto Proiezione ortogonale di un parallelepipedo quota P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo quota P.V. VISTA FRONTALE o PROSPETTO P.L. Per disegnare il prospetto si tracciano da ciascun punto importante ( i quattro vertici) della vista dall’alto i raggi di proiezione, con tratto chiaro continuo, che si estenderanno nel piano verticale (P.V.). Dopo aver fissato la quota, si traccia la linea che rappresenta la base inferiore e poi si riporta l’altezza del solido. Si completa il prospetto tracciando tutti i contorni visibili con tratto scuro e continuo. quota L.T. Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA quota

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. VISTA FRONTALE o PROSPETTO VISTA LATERALE o PROFILO P.L. Per disegnare la vista laterale si tracciano da ciascun punto importante ( i quattro vertici) della vista frontale i raggi di proiezione, con tratto chiaro continuo, che si estenderanno nel piano laterale (P.L.). L.T. Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. VISTA FRONTALE o PROSPETTO VISTA LATERALE o PROFILO P.L. Per disegnare la vista laterale si tracciano da ciascun punto importante ( i quattro vertici) della vista dall’alto i raggi di proiezione, con tratto chiaro continuo, che si estenderanno fino alla perpendicolare alla linea di terra (L.T.). L.T. Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. VISTA FRONTALE o PROSPETTO VISTA LATERALE o PROFILO P.L. Si punta il compasso nell’intersezione della L.T. con la sua perpendicolare e si ribaltano i raggi proiettori provenienti dal P.O. sempre con tratto chiaro continuo. Questa operazione si può fare con la squadretta a 45°. L.T. Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. VISTA FRONTALE o PROSPETTO VISTA LATERALE o PROFILO P.L. Dai punti individuati sulla L.T., inerente al P.L. ,si tracciano le verticali. Si disegna infine la vista laterale all’interno della griglia creata dalle linee di costruzione L.T. Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.V. VISTA DIFRONTE o PROSPETTO VISTA LATERALE o PROFILO P.L. B’’ = A’’ C’’ = D’’ A’’’ = D’’’ B’’’ = C’’’ F’’ = E’’ E’’’ = H’’’ F’’’ = G’’’ G’’ = H’’ L.T. A D A’ = E’ D’ = H’ C B’ H B’ = F’ E C’ = G’ F G Proiezione ortogonale di un parallelepipedo P.O. VISTA DALL’ALTO o PIANTA

Proiezione ortogonale di un cerchio parallelo al P.V. P.L. A’ A’’’ Si inizia a disegnare dalla vista principale che in questo caso è quella del P.V. in quanto in tale piano si vede il cerchio B’ D’ B’’’ = D’’’ C’’’ C’ L.T. A B C D B’’ A’’ = C’’ D’’ P.O.

Proiezione ortogonale di un prisma con la base esagonale parallela al P.O. P.V. P.L. L.T. Si inizia a disegnare dalla vista principale che in questo caso è quella del P.O. in quanto in tale piano si vede l’esagono P.O.

Proiezione ortogonale di un pezzo meccanico P.V. P.L. L.T. Si inizia a disegnare dalla vista principale che in questo caso è quella del P.V. in quanto tale piano contiene più particolari P.O.

Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O. La vera forma e le vere dimensioni dell’esagono si possono ottenere eseguendo un “ribaltamento” sul p.v. del piano π contenente la figura e “ricostruendo” su tale piano ribaltato la vera forma e le vere dimensioni dell’esagono, a partire dalle sue proiezioni ortografiche sui piani principali.

Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O. P.V. P.L. Disegnare l’esagono come se giacesse su un piano parallelo al P.O. – Tracciare la vista sul piano orizzontale e quella sul piano verticale. L.T. F A E B D P.O. C

Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O. P.V. P.L. Si inclina la proiezione dell’esagono dell’angolo stabilito ( per esempio 45°). D’ = E’ C’ = F’ Si ribaltano i vertici dell’esagono. B’ = A’ L.T. F A E B D P.O. C

Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O. P.V. P.L. Proiettare i vertici dell’esagono individuati nel P.V. nel piano orizzontale. D’ = E’ Tracciare i raggi di proiezione fino alla linea perpendicolare alla L.T., estendendoli anche a sinistra in modo da intersecare le proiezioni che giungono dal P.V.– Si individuano così i vertici reali dell’esagono nel P.O. C’ = F’ B’ = A’ L.T. F’’ A’’ E’’ D’’ B’’ P.O. C’’

Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O. P.V. P.L. D’ = E’ E’’ D’’ C’ = F’ C’’’ F’’’ B’ = A’ B’’’ A’’’ L.T. F’’ A’’ E’’ D’’ B’’ P.O. C’’

Gaspard Monge un po’ di storia…. (1746-1818) L’inventore del metodo delle proiezioni ortogonali fu Gaspard Monge, matematico francese nato a Beaune il 9 maggio 1746. Figlio di un venditore ambulante, frequentò una scuola privata cattolica. Conosciuto come ragazzo prodigio, aveva disegnato la pianta della sua città, fu ammesso con riserva per le sue umili origini, nella scuola di formazione per militari a Mézières. La sua invenzione si rivelò ben presto brillante ed eccezionale per quei tempi perché permetteva di definire in poco tempo e con precisione oggetti di grande interesse come le fortificazioni militari.

un po’ di storia…. Nel 1768-1780 Monge fu professore di matematica a Mézières a condizione che i risultati della sua geometria descrittiva rimanessero un segreto militare limitato agli ufficiali superiori Nel 1780 fu nominato a ricoprire la cattedra di matematica all'Università a Parigi. Repubblicano, partecipò attivamente alla rivoluzione ricevendo incarichi di notevole importanza, Ministro della Marina e membro del Comitato della Salute Pubblica A Parigi fu professore alla scuola politecnica, in cui insegnava geometria descrittiva, materia della quale pubblicò un manuale Con la caduta di Napoleone anche la stella di Gaspard Monge si spegne: muore in estrema povertà a Parigi il 28 luglio 1818, bandito dall’accademia e senza mezzi di sussistenza a causa della sua fede napoleonica, viene sepolto in un mausoleo del Père Lachaise a Parigi.