Galois gioca con il cubo di Rubik Aspetti fisici Storia Concetti Teorici Componenti: De Toma Marco Piazzolla Salvatore Raucci Francesco Santo Alessio

Concetti Storici Inventore: Professore Erno Rubik Anno: 1974. Luogo: Ungheria Nome originario: Magic Cube Inizialmente il rompicapo fu progettato a scopi didattici. Infatti solo tra i matematici, interessati ai problemi statistici e teorici che il cubo poneva. Successivamente, tramite la descrizione su un libro, il gioco si diffuse in tutta l’Ungheria e successivamente in tutto il mondo. Dopo 5 anni si erano già venduti 100 milioni di pezzi in tutto il mondo. Attualmente avvengono delle vere e proprie competizioni mondiali nel chi risolve il cubo nel minor tempo possibile.

Il cubo di Rubik Come detto prima il cubo di Rubik è composto da 54 cubetti. Si potrebbe pensare di trovarci di fronte all’insieme di tutte le permutazioni di 54 oggetti e in tal caso avremmo ben 54! elementi, e ci troveremmo di fronte ad un numero impressionante, contenente ben 72 cifre. Il numero uscito però non è quello effettivo, in quanto ci sono diversi vincoli da rispettare: i quadratini al centro non si possono muovere, e gli angoli non possono diventare spigoli e viceversa. Un’altra spiegazione è che se proviamo a smontare e rimontare il cubo non sempre si può risalire alla soluzione in quanto è composto da 12 “mondi paralleli”. Infatti se noi ci troviamo in uno di questi “mondi” è impossibile andare in un altro e solo in uno di questi c’è la soluzione Quindi dopo una serie di calcoli possiamo risalire al numero effettivo delle combinazioni e cioè 43 252 003 274 489 856 000.

Calcolo delle combinazioni Per riuscire a calcolare le combinazioni del gioco dobbiamo prima spiegare più dettagliatamente la composizione del cubo: è composto da 6 quadratini centrali (1 faccetta) che praticamente rimangono fissi dopo qualunque rotazione, 12 cubetti di spigolo (2 faccette) e 8 di angolo (3 faccette) . Possiamo notare che gli angoli possono assumere tre diverse posizioni. Quindi possiamo dire che gli angoli possono assumere 8 configurazioni e che ogni configurazione può avere tre diverse posizioni quindi possiamo dire che le combinazioni degli angoli sono 3^8x8!. Passando agli spigoli in modo analogo notiamo che possono assumere 12 configurazioni diverse e che ognuna può avere essere disposta in due modi diversi e quindi abbaimo che gli spigoli possono avere 2^12x12! Combinazioni. Così in totale abbiamo 3^8x2^12x8!x12! Il numero che esce però non è quello esatto in quanto comprende le combinazioni di tutti e 12 i “mondi paralleli” descritti prima e che quindi basta dividere il risultato per 12 per avere il numero effettivo delle combinazioni.

Concetti teorici Gruppi Permutazioni

Gruppi Un Gruppo A consiste in un insieme con un’operazione binaria sui suoi elementi che soddisfa le seguenti quattro condizioni: L’operazione è chiusa. Cioè se L’operazione è associativa. Cioè se Esiste un elemento neutro. Cioè tale che Esiste l’inverso rispetto a ogni operazione di ogni elemento Cioè tale che Un gruppo A si dice abeliano (o commutativo) se per ogni si ha Da tutte le proprietà descritte sembrerebbe che ogni gruppo sia abeliano. Invece esistono dei tipi di gruppi che non lo sono e vengono chiamati Permutazioni

Le Permutazioni Le permutazioni sono dei tipi di gruppi che non sono abeliani Per rappresentare una permutazione si fa uno schema: Per permutazione si intende il numero di combinazioni possibile tra questi quattro numeri. Per calcolare velocemente il numero delle combinazioni possibile si usa il numero fattoriale(!). Ad esempio in questo caso facciamo 4! e cioè 1*2*3*4 e cioè 24. Per rappresentare in maniera ancora migliore la permutazione si può utilizzare la notazione in cicli

Esempi Abbiamo due permutazioni P e Q appartenenti al gruppo A: Applicando prima la permutazione P e poi il Q abbiamo:

I Cicli Per notazione ciclica intendiamo l’insieme dei numeri tra parentesi in cui ciascuna numero si muove nella posizione successiva di quello che segue, fino ad arrivare all’ultimo che si sposta fino alla prima posizione. I cicli possono avere lunghezze variabili da un minimo di 1 (che possono essere omessi in quanto i numeri non vengono spostati), fino ad un massimo di n che il numero totale dei componenti della permutazione. In conclusione la permutazione d’esempio si può scrivere in notazione ciclica nel seguente modo: Questi cicli si dicono disgiunti, infatti ogni numero appare in un solo ciclo. Esiste una particolare permutazione, quella che non sposta nulla. Questa viene chiamata permutazione identica o identità e viene rappresentata dall’unico ciclo .

Gruppo Simmetrico Dato un insieme A con n elementi indichiamo con Sn l’insieme di tutte le permutazioni sugli elementi di A; su questo insieme Sn consideriamo l’operazione di composizione tra permutazioni così come vista nell’esempio precedente. Quello che otteniamo è un gruppo con n! elementi. Infatti come visto in precedenza l’operazione di composizione è chiusa. Si verifica inoltre che tale operazione è associativa. L’elemento neutro è chiaramente la permutazione identica (quella che non sposta nulla). E’ facile infine dimostrare che è sempre possibile trovare l’inversa di una permutazione. Infatti possiamo ottenere l'inversa di una permutazione scambiando la prima con la seconda riga della permutazione stessa e poi riordinando gli elementi della prima riga. Esempio (troviamo l’inversa di una permutazione) In S4 , scambiando le righe otteniamo Poi riordinando abbiamo Verificare che

Ordine di un elemento di un gruppo Per calcolare l’ordine si calcola di una permutazione la sua forma ciclica. Per esempio con questa permutazione Il suo ciclo è Ora bisogna fare il minimo comune multiplo dell’ampiezza dei cicli, così in questo caso l’ordine della permutazione è 6 e si indica con ord (j)=6. Trovato questo valore bisogna comporre la permutazione per se stessa per quante volte è il numero ottenuto. Alla fine otterremo l’identità.