LE MACRO

In tutti i software di geometria dinamica è presente la macro costruzione di una conica per 5 punti dati nel piano, in quanto si tratta di una costruzione di base nella teoria delle coniche. Nel caso di situazioni particolari possono naturalmente bastare meno punti. Le macro consentono di ottenere una serie di operazioni con l'invio di un solo comando. A seguire vi sono le spiegazioni dei passaggi che occorrono prima di creare delle specifiche macro come: ●parabola per tre punti ●circonferenza dati tre punti ●ellisse dati due punti ●iperbole dati due punti ●parabola dato vertice e un punto.

1.1 PARABOLA PER TRE PUNTI L'idea della costruzione si basa sulla seguente proprietà di simmetria delle parabole: “il luogo dei punti medi di corde di una parabola, tutte parallele ad una stessa retta r, appartengono ad una parallela all'asse della parabola, detta diametro coniugato della direzione r”. Partendo da tre punti, A,B,C individueremo altri due punti A′ e C′ della parabola, per poi costruire la parabola come conica per 5 punti.

Segniamo tre punti A, B e C a caso, nel piano

Tracciamo il segmento BC

Tracciamo la retta s passante per A e parallela al segmento BC

Costruiamo il punto medio, M, del segmento BC

Fissiamo il punto di intersezione D, tra s ed r

Costruiamo A’, il simmetrico di A, per il punto D

Costruiamo il punto medio, M’, del segmento AB

Per M’ tiriamo la parallela, r’, all'asse della parabola

Tracciamo la retta perpendicolare ad s e passante per C

Segniamo il punto T, di intersezione tra s’ ed r’

Costruiamo C’, il simmetrico di C, per il punto T

Tracciamo la parabola, passante per A, B, C, A’ e C’

1.2 CIRCONFERENZA DATI TRE PUNTI Partendo dalla definizione: “la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro” abbiamo realizzato la macro della costruzione della circonferenza dati tre punti.

Segniamo tre punti A, B e D a caso, nel piano

Tracciamo i segmenti AB e BD

Individuiamo i punti medi dei segmenti AB e BD e tracciamo le perpendicolari passanti per i punti medi M ed M’; individuiamo quindi il punto di intersezioni tra queste due rette: C

Tracciamo la circonferenza con centro C e raggio AC≡BC≡DC

1.3 ELLISSE PER DUE PUNTI Data la definizione di ellisse come “il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi “ e sapendo che, nel caso in cui i fuochi si trovino nell’asse x, ogni punto appartenente ad essa è simmetrico all’asse x e all’asse y, abbiamo così realizzato la macro per la costruzione dell’ellisse dati due punti.

Segniamo due punti A e B, a caso, nel piano

Tracciamo i simmetrici di questi rispetto all’asse x e all’asse y, ottenendo così 8 punti

Tracciamo l’ellisse passante per A, B, A1, B1, A2, B2, A3, B3.

1.4 IPERBOLE PER DUE PUNTI Sapendo che l'iperbole è: “il luogo geometrico dei punti del piano per cui e' costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi” abbiamo realizzato la macro per la costruzione dell’iperbole dati due punti, utilizzando le simmetrie studiate.

Segniamo due punti A e B, a caso, nel piano

Calcoliamo i simmetrici dei punti A e B rispetto all’asse x e all’asse y, ottenendo così 8 punti

Uniamo gli 8 punti ottenuti, formando così un iperbole con asse di simmetria parallelo all’asse x

Tracciamo altri due punti C e D

Calcoliamo i simmetrici dei punti C e D rispetto all’asse x e y, ottenendo così altri otto punti

Uniamo gli ultimi otto punti ottenuti, formando così un iperbole con asse di simmetria parallelo all’asse y

1.5 PARABOLA DATO VERTICE E UN PUNTO Sapendo che la parabola è: “il luogo geometrico dei punti equidistante dal fuoco e dalla direttrice” e conoscendo le proprietà di simmetria di questa figura abbiamo realizzato la macro per la costruzione della parabola dati vertice e un punto.

Segniamo due punti V e B, V rappresenta il vertice mentre B rappresenta un punto appartenente alla parabola

Tracciamo la retta a passante per V e parallela all’asse y, che rappresenta l’asse di simmetria della parabola

Tracciamo il simmetrico di B rispetto alla retta a

Uniamo i punti, definendo così i segmenti B’V e BV

Costruiamo i punti medi C, del segmento B’V e D del segmento BV

Tracciamo le rette e ed f passanti per C e D e parallele alla retta a

Tracciamo la retta g passante per B’ e parallela al segmento BV

Individuiamo il punto E di intersezione tra le rette f e g

Calcoliamo B’’, il simmetrico di B’ rispetto al punto E

Tracciamo la retta h passante per B e parallela al segmento B’V

Individuiamo il punto F di intersezione tra e ed h

Calcoliamo B’1, il simmetrico di B rispetto al punto F

Tracciamo la parabola passante per i punti B’1, B’, V, B, B’’

strumenti>crea nuovo strumento Per ognuna di queste costruzioni, abbiamo poi realizzato le macro cliccando su: strumenti>crea nuovo strumento E ponendo come oggetto finale la conica stabilita, e come oggetti iniziali i punti dati. Ottenendo così degli appositi pulsanti che possono essere usati per realizzare rapidamente le costruzioni precedentemente eseguite semplicemente selezionando gli oggetti iniziali (punti) e specificando l’oggetto finale che si vuole ottenere (conica).