UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 5 novembre 2013 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

TREDICINO GATTO ARLECCHINO Di Clara Colombo Bozzolo Poligono concavo di 13 lati da dividere in triangoli i cui vertici siano nodi del reticolo.(non più di 15) Quanti triangoli puoi disegnare al minimo? Che tipi di triangoli hai disegnato? Ci sono tutti i tipi di triangoli? E H F G C D I L B M N A O Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

TREDICINO GATTO ARLECCHINO Di Clara Colombo Bozzolo F G C D I L B M N A O 8 triangoli Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

TREDICINO GATTO ARLECCHINO Quando le conoscenze degli alunni lo hanno permesso si è ripreso il problema di "Tredicino gatto arlecchino" e dopo aver fatto copiare la sua figura su carta centimetrata si sono fatti disegnare su tale carta anche i poligoni, sia separatamente sia dentro la figura del gatto. Si è quindi proceduto come indicato nel seguito: l'insegnante ha preparato la tabella che presentiamo, con le figure in scala ridotta (i quadretti avevano il lato lungo 0,5cm), e ha invitato i ragazzi a completarla Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Fig.5 Poligono Nome-Proprietà Triangolo ottusangolo scaleno misure dei lati e del perimetro in cm misura dell' area in cm2 numero degli assi di simmetria Triangolo ottusangolo scaleno ha un angolo ottuso e due acuti ha tre lati tutti di lunghezza diversa AB = 4 BC 4,5 AC 7,4 4+4,5+7,4 15,9 8  Quadrato ha 4 angoli retti (90°) ha quattro lati  uguali è un poligono regolare è un parallelogramma EF 2,8 2,8x4 11,2  8 7,84     4 A’ C A B C’ F G E H Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

RIPASSIAMO LE FORMULE A tempo opportuno, quale ripasso delle formule relative alle aree dei poligoni si sono ripresentati i singoli poligoni disegnati in scala 1/2, e organizzati come nella figura che segue. IMMAGINE POLIGONO NOME Misura dell’area in cm2 Trapezio scaleno rettangolo A = [(b1 + b2) x h] : 2 A = [(3 + 2) x 2] : 2=5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Calcolo l’area in due modo diversi IMMAGINE POLIGONO NOME Misura dell’area in cm2 Quadrilatero concavo A1 = (b1 x h1) : 2= (2 x 2) : 2= 2 A2 = (b2 x h2) : 2= (1 x 1) : 2= 0,50 Atot = A1 + A2= 2 + 0,50= 2,50 A = [(b1 + b2) x h] : 2 Trapezio scaleno A = [(4 + 4,5) x 1] : 2=4,25 Calcolo l’area in due modo diversi Rombo A = (d1 x d2) : 2= (4 x 2) : 2= 4 A = b x h 2,2 x 1,8 3,96 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo Ricordiamo che si dice corda di un poligono (in generale di una figura piana) ogni segmento che ha per estremi due punti del contorno e che non giace sul contorno stesso. Materiale necessario: Dieci rettangoli di carta colorata per ogni alunno (già ritagliati o da ritagliare); le lunghezze dei lati possono essere a piacere. Noi abbiamo lavorato sui rettangoli di lati 4cm e 7cm. Righello, forbici e scotch. Fogli sciolti o di quaderno sui quali disporre le figure ottenute. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo Testo del problema Su uno dei dieci rettangoli che ti sono stati dati traccia, usando il righello, una corda in modo da dividere il rettangolo in due quadrilateri congruenti non rettangoli Che tipo di quadrilateri ottieni?.................................................. Disegna la stessa corda su ognuno degli altri nove rettangoli. Contrassegna le due parti di un medesimo rettangolo con la stessa lettera Ritaglia con molta precisione i dieci rettangoli. Unisci a due a due ( usando lo scotch ) i quadrilateri ottenuti da ogni rettangolo, in modo che abbiano sempre in comune solo un lato della stessa lunghezza e in modo da ottenere un certo numero di poligoni uno diverso dall’altro (certamente otterrai anche il rettangolo di partenza) Sai prevedere quanti poligoni di forma diversa puoi ottenere?……………… Rispondi prima di metterti a lavorare e giustifica la tua risposta Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo Ora mettiti a lavorare e verifica praticamente se il numero delle figure ottenuto è uguale al numero che avevi previsto. Incolla sulla sinistra dei fogli che ti sono stati dati i poligoni ottenuti, uno sotto l’altro. Metti la colla solo a metà della figura. Contrassegna ogni poligono ottenuto con un numero. Scrivi alla destra di ogni poligono nome, cognome e indirizzo preciso!!! Ad es. per il rettangolo potrai scrivere: quadrilatero convesso, trapezio, parallelogramma, rettangolo. Quali dei poligoni trovati hanno il centro di simmetria? Indica e segna tale centro di simmetria Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo Misura con il goniometro al massimo l’ampiezza di due angoli: per mezzo della loro ampiezza trova quella degli angoli di tutti i poligoni ottenuti. In realtà basterebbe misurare l’ampiezza di un solo angolo? Perché?...................... Quali delle figure trovate ha la misura del il perimetro minore?........... Quale maggiore?......... Perché?.......................... I lati di ogni rettangolo sono lunghi rispettivamente 4cm e 7cm. Misura, con l’approssimazione al millimetro, la lunghezza degli altri lati che ti servono per calcolare il perimetro di ciascuna figura. Prima di iniziare il lavoro rispondi alla seguente domanda: vi sono poligoni che sono sicuramente isoperimetrici. Quali?......................... Sai trovare la misura, in centimetri quadrati, dell’area di ciascun poligono? Rifletti e scrivi le tue osservazioni………………………………….. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO Se due lati consecutivi del trapezio rettangolo sono uguali, per esempio il lato obliquo uguale alla base maggiore, allora si ottengono altri due poligoni diversi dagli otto precedenti. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo • Classifica i poligoni ottenuti secondo i seguenti criteri : - essere convesso ( c ) - avere almeno un asse di simmetria ( s ) e rappresenta la classificazione ottenuta usando il diagramma che preferisci (Eulero-Venn, Carroll, Albero) Nel diagramma indica ogni poligono con il numero che gli hai attribuito. DIAGRAMMA DI EULERO-VENN P 3. 5. 1. 4. 2. 8. 7. c s 6. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo DIAGRAMMA DI CARROLL c Nc s Ns P 3. 5. 1. 4. 6. 2. 8. 7. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I RETTANGOLI SI TRASFORMANO di Clara Colombo Bozzolo DIAGRAMMA AD ALBERO P C NC S NS 3 5 1 4 6 2 8 7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.187) Osserva il disegno a b c d e f Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Pierino, Carletto e Marina stanno discutendo sui disegni della scheda Il triangolo e nasconde un quadrilatero. Pierino dice che si tratta di un romboide, Carletto è convinto che si tratti di un rombo. Chi ha ragione?............................................................... Perchè?............... Il quadrilatero è un romboide, avendo i lati opposti paralleli e i lati consecutivi non congruenti. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Sotto quale triangolo potrebbe essere nascosto un quadrato?................................ Giustifica la tua scelta.................................................................................... Un quadrato potrebbe essere nascosto sotto il triangolo d, in quanto è l'unico caso in cui nella parte visibile del quadrilatero si rilevano tre angoli retti e due lati consecutivi congruenti. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoliprepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Marina dice che sotto il triangolo b c’è un esagono. È possibile?............................ Completa il disegno. È possibile che il triangolo b nasconda un esagono, che deve essere necessariamente concavo Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Sotto il triangolo c è nascosto un quadrilatero. Pierino deve elencarne le proprietà, ma non ricorda neppure il nome di tale figura. Aiutalo tu completando, prima, il disegno. Il quadrilatero è un rombo Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Pierino dice che sotto il triangolo f si nasconde un parallelogramma. Carletto questa volta è d’accordo. Sei d’accordo anche tu?.............................................. Perché?........................................................................... Il quadrilatero non può essere un parallelogramma in quanto ha una sola coppia di lati paralleli. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

I triangoli prepotenti (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.188) Secondo Marina il quadrilatero nascosto sotto il triangolo a può avere tutti gli angoli retti, ma non è un quadrato. E’ vero?.................................................. Qual è il nome del quadrilatero?........................................................................ Nel quadrilatero sotto il triangolo a sono già visibili tre angoli retti, quindi anche il quarto angolo deve essere retto; inoltre due lati consecutivi non sono congruenti, pertanto si tratta di un rettangolo. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Un tetto speciale (dalla rivista Math Ecole n°173 – agosto 1996) Vedi sei tegole a forma di triangolo equilatero Una nera N Una bianca B Una grigia G Una a righe R Una a quadretti Q Una a puntini P Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Un tetto speciale Si dispongono, a una a una, queste sei tegole su un tetto triangolare. Ciascuna tegola ricopre in parte quelle su cui viene posata. Vedi com’è il tetto quando tutte le tegole sono state messe a posto. Indica in quale ordine si sono posate le sei tegole, dalla prima all’ultima. Spiega come hai fatto per trovarlo Soluzione R B N G P Q Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

UN CICLAMINO SPECIALE Guarda bene il disegno. di Clara Colombo Bozzolo Guarda bene il disegno. I petali del fiore sono tre … Mentre la foglia è un poligono …. Ripassa con il pennarello il contorno del fiore che poligono hai ottenuto?... Le due parti dello stelo che si vedono che linee sono?........... Vedi, nel disegno, un’altra linea dello stesso tipo?.... Colorala di rosso Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Disegna i tre petali e scrivi il nome di ogni figura Calcola l’area di ciascun quadrilatero in cm2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

a l’ area è ……… cm2 b L’area è………. cm2 c L’area è………cm2 8 8 8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013 2

1. Calcola l’area della foglia in cm2 Dalle risposte precedenti puoi dedurre che l’area del fiore in cm2 è……….. 1. Calcola l’area della foglia in cm2 2. E’ più esteso il fiore o la foglia? . Usando, solo se necessario anche il righello, calcola il perimetro del fiore e quello della foglia in centimetri (lati-quadretto) approssimando le misure al millimetro. 4. Nel fiore un petalo ha l’asse di simmetria e un altro petalo ha il centro di simmetria. Metti in evidenzia entrambi con un colore Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

Disegna ogni petalo dimezzando le lunghezze dei lati e controlla che l’area della nuova figura sia la quarta parte di quella di partenza. a Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

b Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

c Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013