Statica delle vele UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Tesi di Laurea Statica delle vele Relatore: Chiar.mo Prof. Maurizio Angelillo Correlatore: Ing. Antonio Fortunato Candidato: Gianluca Gambardella Mat. 465/000431 Anno Accademico 2007 - 2008

Motivazioni Il presente lavoro di tesi costituisce un primissimo passo verso la più completa comprensione del complesso problema di interazione fluido-struttura rappresentato dallo studio delle vele. Qui, infatti, al fine di dare una soddisfacente caratterizzazione del materiale, l’interesse è stato rivolto esclusivamente agli aspetti strutturali e costitutivi del problema che, pertanto, viene trattato in modo disaccoppiato dal flusso introducendo in particolare un’ipotesi semplificativa sulla distribuzione della pressione che agisce sulle vele.

Introduzione / 1 Da un punto di vista strettamente strutturale le vele sono da considerarsi essenzialmente delle membrane elastiche, ossia degli elementi strutturali che, avendo uno spessore piccolo in rapporto alle loro dimensioni globali, possiedono una rigidezza flessionale trascurabile e possono essere modellati come del tutto incapaci di sostenere tensioni di compressione. Di conseguenza, per modellare semplicemente l’elemento strutturale vela è possibile adottare il modello NENC (Normal Elastic No-Compression), che tratta materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a trazione e non resistenti a compressione. Assumendo valida l’ipotesi di piccole deformazioni e considerando il caso piano, il problema di equilibrio per la vela, così come per ogni altro tipo di membrana elastica di tipo NENC, può essere condotto e risolto attraverso la teoria introdotta da Wagner nel 1929 e nota con il nome di “Tension Field Theory” (TFT).

Introduzione / 2 Dall’analisi strutturale delle vele emerge in modo netto il problema del “wrinkling”, ossia il problema della formazione di pieghe, che risulta essere ancor più evidente nelle vele per andature portanti, in quanto spinnaker e gennaker sono vele non inferite. La “Tension Field Theory” permette di ottenere sia la posizione (e l’estensione) delle zone soggette a pieghe sia la direzione dei campi di pieghe. Partendo dai risultati della TFT, diventa necessario un metodo per la ricerca dell’ampiezza e della lunghezza d’onda; tali parametri geometrici, che consentono una descrizione completa delle pieghe, sono legati sia alla deformazione anelastica, che misura l’“accorciamento” in direzione trasversale alla direzione delle pieghe, sia al valore della tensione nella direzione dei raggi di trazione parallela alla direzione delle pieghe.

“wrinkling” for yacht sails Pieghe in uno spinnaker simmetrico VMG (a.) e runner (b.) I

Boundary Value Problem Introduciamo una certa classe di Problemi ai Valori al Contorno (BVP) per particolari materiali unilaterali in domini bidimensionali e sotto l’ipotesi di piccole deformazioni. La soluzione di questi problemi ha una particolare rilevanza sia per le strutture in muratura che per le membrane elastiche se si accetta un modello semplificato che trascuri integralmente la resistenza a trazione (nel caso delle strutture in muratura) o a compressione (nel caso delle membrane elastiche); tali modelli sono conosciuti in letteratura con il nome di “Masonry-Like Theory” (MLT) e di “Tension Field Theory” (TFT). Essi, in particolare, consentono di pervenire alla soluzione dei suddetti problemi fornendo la possibilità di definire dei campi di tensione uniassiale diretti lungo una famiglia ad un solo parametro di raggi, detti raggi di compressione (MLT) o di trazione (TFT).

Ipotesi principali della MLT / 1 Le ipotesi principali della MLT sono analoghe a quella della TFT. piccole deformazioni deformazione infinitesima deformazione totale dominio bidimensionale Il corpo masonry-like occupa la regione regolare dello spazio euclideo bidimensionale. La frontiera è suddivisa in due parti: frontiera vincolata frontiera caricata I

Ipotesi principali della MLT / 2 materiale masonry-like Un materiale masonry-like può essere modellato ricorrendo al modello NENT (Normal Elastic No-Tension), che tratta materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a compressione e non resistenti a trazione. Restrizione sulla tensione Decomposizione della deformazione totale deformazione elastica deformazione anelastica ~ descrive le fratture / pieghe. Restrizione sulla deformazione anelastica

BVP nella “Masonry-Like Theory” Assegnate le forze di volume su , le forze di contatto sulla frontiera caricata ed il campo di spostamento sulla frontiera vincolata , trovare la terna tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni: Equilibrio in Congruenza su Condizioni al contorno Legame tensione-deformazione Restrizioni sulla tensione e conseguente partizione del dominio Restrizioni sulla deformazione anelastica e legge di ortogonalità

Partizione del dominio / MLT regione soggetta ad uno stato di compressione biassiale regione soggetta ad uno stato di compressione uniassiale regione scarica I

Soluzione del BVP / 1 Il problema di equilibrio per materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a compressione e non resistenti a trazione, NENT, può formularsi attraverso un approccio variazionale. In particolare, la “Tension Field Theory” si caratterizza per il fatto di cercare la soluzione di equilibrio nel limitato sottoinsieme di contenente i campi di tensione aventi rango pari ad uno (tensioni uniassiali). Per si ha che , e quindi che , in quanto la regione è soggetta ad uno stato di compressione biassiale rappresentato ovviamente da campi di tensione aventi rango pari a due.

W Soluzione del BVP / 2 Generalmente, il valore della tensione , che minimizza l’Energia Complementare in , rappresenta una soluzione approssimata del problema di equilibrio per materiali NENT; ciò può essere verificato ricavando le corrispondenti deformazioni anelastiche (fratture) attraverso le equazioni di compatibilità e controllando che siano soddisfatte le condizioni al contorno per gli spostamenti associati. I

Formulazione variazionale Gli stati di equilibrio per un corpo masonry-like possono essere trovati minimizzando … … l’Energia Potenziale nell’insieme dei campi di spostamento cinematicamente ammissibili su … l’Energia Complementare nell’insieme dei campi di tensione staticamente ammissibili & bilanciato con I

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 1 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 1 Le facciate degli edifici in muratura spesso possono essere considerate come un insieme di pannelli masonry-like di forma rettangolare. b a Tali pannelli sono liberi da forze di contatto lungo i bordi laterali e sono soggetti ad assegnati spostamenti rigidi delle basi con parametri dello spostamento rigido relativo tra le basi inferiore (a) e superiore (b). I

W Stato tensionale

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 2 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 2 Soluzione approssimata del BVP Ricerca del minimo del funzionale energia complementare nel sottoinsieme Rappresentazione della tensione in direzione delle isostatiche di compressione Rappresentazione della deformazione anelastica in I

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 3 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 3 Nota 1. Per si ha che , e quindi che Nota 2. Nella regione le linee principali della tensione corrispondenti alle isostatiche di compressione, in assenza di forze di volume, sono linee rette, che prendono il nome di raggi di compressione. I raggi di compressione non possono sovrapporsi e, dal momento che i bordi laterali del pannello non sono sottoposti a forze esterne, essi non intersecano mai questi ultimi e, pertanto, passano sempre per le basi, superiore (b) ed inferiore (a), del pannello. raggio di compressione

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 4 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 4 I raggi di compressione, dunque, costituiscono una famiglia ad un solo parametro di segmenti non auto-intersecanti. funzione pendenza dei raggi di compressione Nota 3. L’interfaccia tra le regioni ed è un raggio rettilineo inesteso. Nota 4. La divisione del dominio dipende esplicitamente dal dato ~ parametri dello spostamento rigido relativo tra le basi.

Divisione del dominio / 1 W Divisione del dominio / 1 Restrizioni su Vincoli geometrici raggi inestesi Vincoli cinematici raggi compressi I

Divisione del dominio / 2 W Divisione del dominio / 2 Taglio + Flessione + Elongazione Divisione del dominio in tre casi elementari Taglio Puro Flessione + Accorciamento I

Taglio + Flessione + Elongazione W Taglio + Flessione + Elongazione I

W Taglio Puro I

Flessione + Accorciamento W Flessione + Accorciamento I

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 5 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 5 Nella regione è conveniente introdurre un sistema di coordinate curvilinee , avente parallelo ai raggi di compressione.

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 6 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 6 Nel sistema di riferimento curvilineo la geometria locale e la deformazione locale possono essere rappresentate introducendo: base vettoriale naturale base vettoriale reciproca Jacobiano della trasformazione restrizione su Sistema di riferimento variabile ortogonale

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 7 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 7 TENSIONE E DEFORMAZIONE IN Tensione principale Deformazioni principali per un materiale masonry-like isotropo EQUILIBRIO

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 8 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 8 Energia Complementare Si ricerca il minimo del funzionale energia complementare tra tutte le funzioni che soddisfano le condizioni al contorno Equazione di Eulero associata al problema di minimo È un’equazione differenziale ordinaria del 2° ordine, altamente non lineare, risolvibile con metodo di “shooting”.

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 9 W Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 9 Il minimizzatore di , soluzione dell’Equazione di Eulero, è denotato con . Taglio + Flessione + Elongazione Funzione e stato di tensione in tre casi elementari Taglio Puro Flessione + Accorciamento

Taglio + Flessione + Elongazione W Taglio + Flessione + Elongazione I

W Taglio Puro I

Flessione + Accorciamento W Flessione + Accorciamento I

W Compatibilità Noto il minimizzatore , la componente covariante dello spostamento si può facilmente ottenere integrando l’equazione L’equazione di compatibilità ammette sempre una soluzione in funzione di

Wrinkling / 1 Le membrane elastiche, come – ad esempio – le vele, subiscono deformazioni instabili già per effetto di sforzi di compressione molto piccoli, che generano pieghe ed un effetto di contrazione apparente della superficie media della membrana in direzione ortogonale alle pieghe stesse. Nel caso delle membrane elastiche la parte anelastica della deformazione totale è associata alla formazione di pieghe che consentono “accorciamenti” a costo energetico nullo. La conoscenza del campo di tensione uniassiale (ossia la conoscenza della distribuzione ottimale dei raggi di trazione) e della corrispondente deformazione anelastica è la base attraverso la quale si può ricavare in modo approssimato lo schema delle pieghe nella regione wrinkled della membrana elastica.

Wrinkling nel caso di taglio puro Risultato sperimentale Risultato simulazione numerica I

Wrinkling / 2 Il BVP considerato per le strutture in muratura è rilevante anche per la descrizione dello stato tensionale nelle membrane elastiche. La teoria corrispondente, valida nell’ipotesi di piccole deformazioni e di dominio piano, prende il nome di “Tension Field Theory” (TFT); essa permette di ottenere con una relativa facilità l’estensione delle zone soggette a pieghe e la direzione dei campi di pieghe.

Ipotesi principali della TFT Nuova partizione del dominio Le ipotesi principali della TFT sono esattamente le stesse della MLT, fatta eccezione per il segno delle tensioni e delle deformazioni anelastiche MLT TFT Nuova partizione del dominio

Partizione del dominio / TFT regione soggetta ad uno stato di tensione uniassiale in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione ortogonale alle isostatiche di trazione regione esclusa da pieghe in quanto soggetta ad uno stato di tensione biassiale regione scarica in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione qualsiasi taut wrinkled slack I

Descrizione delle pieghe / 1 Un metodo approssimato che conduce alla determinazione del valore dell’ampiezza e della lunghezza d’onda delle pieghe, in termini di tensione e di deformazione anelastica, è stato proposto recentemente da Wong e Pellegrino. profilo delle pieghe nel piano ortogonale alla superficie media della membrana parametri governanti la descrizione delle pieghe Risultati della TFT: posizione ed estensione delle zone dove possono manifestarsi le pieghe deformazione anelastica che misura l’“accorciamento” in direzione trasversale valore della tensione nella direzione dei raggi di trazione

Descrizione delle pieghe / 2 metà dell’ampiezza un quarto della lunghezza d’onda Approssimando metà onda in direzione trasversale con una circonferenza di raggio

Descrizione delle pieghe / 3 Nella membrana reale, dotata di una qualche rigidezza flessionale, la tensione trasversale alla direzione delle pieghe ha un valore di certo molto piccolo rispetto alla tensione parallela alla direzione delle pieghe , ma non nullo. Si può stimare il valore di ponendolo pari al valore del carico critico di Eulero Equazione di equilibrio nel fuori piano lunghezza della piega ~ raggio di curvatura in direzione

Descrizione delle pieghe / 4 Imponendo l’equilibrio per che, per piccoli valori del rapporto fornisce

Simulazione / Geometria di riferimento Spinnaker simmetrico VMG reale virtuale I

Simulazione / Ipotesi di carico aerodinamico condizione di carico simmetrico (A) si ipotizza che il valore della pressione sullo spinnaker sia uniforme, cioè non dipenda dalla posizione, e pari a 200 pascal condizione di carico asimmetrico (B) si ipotizza che il valore della pressione sullo spinnaker dipenda dalla posizione secondo una distribuzione di tipo gaussiano con un massimo di 300 pascal

Simulazione / Modifiche al codice regione soggetta ad uno stato di tensione uniassiale in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione ortogonale alle isostatiche di trazione regione esclusa da pieghe in quanto soggetta ad uno stato di tensione biassiale regione scarica in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione qualsiasi

Simulazione numero 1 In uno spinnaker reale sono presenti tre rinforzi (ottenuti tramite l’incollaggio di più strati di tessuto sovrapposti) in corrispondenza dei tre angoli; tale presenza è indispensabile perché altrimenti la vela, in quanto membrana elastica unilaterale, non riuscirebbe a trasmettere le azioni esterne ai vincoli puntuali in cui si generano delle forze concentrate. L’obiettivo di questa simulazione è quello di capire quale sia lo spessore dei rinforzi, ovvero il numero di strati di nylon sovrapposti ed incollati, che aumenti il rendimento dello spinnaker, riducendo la regione piegata a favore della regione tesa. Dal momento che la determinazione di tale spessore è un intervento che va condotto in sede di progetto, ho pensato di realizzare questa simulazione facendo lavorare la vela in condizioni ottimali, vale a dire fissando l’angolo di scotta e, quindi, vincolandolo a trovarsi sempre alla stessa altezza dell’angolo di mura.

Simulazione numero 1 / risultati spessore dei rinforzi pari a 2 volte lo spessore del resto della vela (a.) spessore dei rinforzi pari a 10 volte lo spessore del resto della vela (b.) carico simmetrico carico asimmetrico Simulazione numero 2