Lezione 7: Esempi di analisi dei sistemi non lineari Ing. Raffaele Carli (email: r.carli@poliba.it) Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 09 dicembre 2013

Sommario Esempi di linearizzazione di sistemi non lineari: Sistema I ordine tempo-continuo Sistema idraulico ad un serbatoio Sistema II ordine tempo-continuo Pendolo Sistema massa – smorzatore - molla NL (oscillatore di Van der Pol)

Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio Richiami teorici Equazione di stato ( dove x(t) : livello liquido nel serbatoio) Punti di equilibrio 𝐽 𝑥 𝑒 =− 𝑎 2∙ 𝑥 𝑒

Esempio 1 – Sistema idraulico ad un serbatoio Movimento con Simulink

Esempio 1 – Risultati Caso 1 punto di equilibrio xe = 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2 punto di equilibrio xe = 1

Esempio 1 – Linearizzazione Sistema idraulico ad un serbatoio Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio xe = 1

Esempio 3 – Risultati linearizzazione Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2

Esempio 1 – Confronti Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

Esempio 1 – Confronto risultati Caso 1 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 2

Esempio 1 – Confronto risultati Caso 2 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 5

Esempio 1 – Confronto risultati Caso 3 a = 1 , b = 1 , ue = 1 x0 = 10

Esempio 2 – Pendolo Pendolo Richiami teorici Equazioni di stato Punti di equilibrio xe 𝐽 𝑥 𝑒 = 0 1 − 𝑔 𝐿 ∙cos⁡( 𝑥 𝑒1 ) − 𝐵 𝑚∙𝐿 𝑥 𝑒1 =𝑘𝜋 𝑥 𝑒2 =0

Esempio 2 – Risoluzione I Pendolo Traiettoria con pplane

Esempio 2 – Risultati Pendolo Traiettorie con pplane

Esempio 2 – Risultati Pendolo Movimento con pplane g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

Esempio 2 – Risoluzione II Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione II Pendolo Movimento e traiettoria con Simulink

Esempio 2 – Risultati Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

Esempio 2 – Linearizzazione Pendolo Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio [0; 0]

Esempio 2 – Risultati linearizzazione Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0 xe1=0 , xe2=0

Esempio 2 – Risultati Caso 2 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01 = 0.2 , x02 = 0 xe1 = π , xe2 = 0

Esempio 2 – Confronti Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato

Esempio 2 – Confronto risultati Caso 1 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.2 , x02=0

Esempio 2 – Confronto risultati Caso 2 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=0.5 , x02=0

Esempio 2 – Confronto risultati Caso 3 g = 9.81 , L = 2 , B = 1 , m = 1 , ti = 0 , tf = 30 x01=1.5 , x02=0

Esempio 3 – Oscillatore di Van del Pol Richiami teorici Equazioni di stato Punti di equilibrio xe 𝑥 𝑒1 =0 𝑥 𝑒2 =0

Esempio 32 – Risoluzione I Oscillatore di Van del Pol Traiettoria con pplane

Esempio 2 – Risultati Oscillatore di Van del Pol Traiettorie con pplane

Continua…

Laboratorio di Analisi dei sistemi Grazie per l’attenzione! Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione email: r.carli@poliba.it