Dr. Marta Giorgetti Esercizi Calcolo combinatorio, spazio degli eventi, probabilità, indipendenza, teorema di Bayes

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 1: testo Un esperimento consiste nel lancio di due monete. Descrivete: 1) lo spazio degli eventi elementari Ω associato all'esperimento; 2) la classe degli eventi A; 3) l'evento E=``si ottiene almeno una volta testa''; 4) rappresentare Ω ed E con un diagramma di Venn.

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 1 1) Lo spazio Ω è composto dagli eventi elementari : ω_1={(T,T)}= testa in entrambi i lanci ω_2={(T,C)}= testa nel primo lancio, croce nel secondo ω3={(C,T)}= croce nel primo lancio, testa nel secondo ω_4={(C,C)}= croce in entrambi i lanci

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 2 2) Poiché Ω è finito, la classe degli eventi può essere la classe di tutti i sottoinsiemi di Ω; quindi A comprende tutti i sottoinsiemi di Ω formati da un solo elemento, tutti i sottoinsiemi di due elementi, tutti quelli di tre, l'insieme Ω (evento certo), e l'insieme (evento impossibile). Provate a scriverlo !

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 3 e 4 3) Abbiamo che E={ω_1, ω _2, ω _3}. 4)

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 2: testo e soluzione Presso la cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Qual è la probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? SOLUZIONE A=``il primo boero contiene il buono'', B=``il secondo boero contiene il buono''. La probabilità cercata è P(AB), cioè la probabilità che entrambi i boeri contengano il buono: P(A B)=P(A)P(B|A)=2/30*1/29=0.0023

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 3: testo Si consideri un mazzo di 26 carte costituito dalle 13 carte di cuori e dalle 13 di fiori. Si scelgono a caso 5 carte senza reimmissione: 1. calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte di cuori; 2. calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte dello stesso seme. 3. calcolare la probabilità che 3 carte siano di un seme e 2 dell'altro

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 3: soluzione 1.Il mazzo è diviso per semi, con 13 carte per seme; si pescano 5 carte da 26, quindi: 2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza cè? 3.di nuovo, i semi non sono fissati...

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 4: testo Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane. 1. Qual è la probabilità che la seconda carta pescata sia di bastoni? 2. Qual è la probabilità che la prima carta pescata fosse di bastoni se è di bastoni la seconda?

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 4: soluzione Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata è di bastoni'', con i=1,2. Si calcola facilmente la probabilità che la prima carta pescata sia di bastoni: P(B_1)=10/40=0.25 Non sappiamo subito, al contrario, calcolare la probabilità che la seconda sia di bastoni: in prima battuta risponderemmo infatti dipende: dipende dal risultato della prima estrazione. Se la prima carta è di bastoni, allora la probabilità che lo sia anche la seconda èP(B_2|B_1)=9/39 e, allo stesso modo P(B_2|B_1 c )=10/39. Possiamo allora calcolare la probabilità richiesta con la legge delle probabilità totali, ottenendo 2)

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 5: testo e soluzione E noto che i gemelli possono essere dei veri gemelli, e in questo caso sono dello stesso sesso, o degli pseudo-gemelli, e in tal caso è 1/2 la probabilità che siano dello stesso sesso. Sia p la probabilità che due gemelli siano veri gemelli. Determinare 1. la probabilità che due gemelli siano veri gemelli sapendo che sono dello stesso sesso; 2. probabilità che due gemelli siano di sesso diverso? SVOLGIMENTO Siano gli eventi V=``i due gemelli sono veri gemelli S=``i due gemelli sono dello stesso sesso' 1) 2)

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 6: testo e soluzione Si effettuano due estrazioni con reimmissione da un'urna che contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Siano A_1=``la prima pallina estratta è pari'', A_2=``la seconda pallina estratta è pari'', B=``una sola pallina estratta è pari''. Gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti. E gli eventi A_2, B? E A_1, B? I tre eventi A_1, A_2, B sono indipendenti? SVOLGIMENTO Le possibili coppie di risultati delle due estrazioni dall'urna sono Poiché le estrazioni sono effettuate con reimmissione e nell'urna vi è un ugual numero di pari e dispari (50) allora tutte le coppie hanno uguale probabilità uguale ad 1/4. Inoltre:

Dr. Marta Giorgetti Esercizio 6: soluzione Ma pertanto gli eventi A_1, A_2, B sono indipendenti a coppie ma non ndipendenti

Dr. Marta Giorgetti Esercizi da risolvere 1.E più probabile ottenere un "6" in tre lanci di un dado equilibrato oppure due "6" in sei lanci? [Sol: un 6 in 3 lanci] 2. Sia M l'evento "il paziente è ammalato", + e - gli eventi "il test è positivo", "il test è negativo". Siano inoltre P(M)=0.01, P(+|M)=0.99, P(-|Mc)=0.04. Determinare P(M|+). [Sol: 0.2] 3. L'urna I contiene due palline bianche e una nera; l'urna II contiene una pallina bianche e cinque nere. Una pallina viene estratta dall'urna I e, senza guardarla, posta nell'urna II. Una pallina viene estratta dell'urna II ed è bianca. Qual è la probabilità chela pallina trasferita sia stata bianca? [Sol: 4/5]