I controesempi

L’idea di “Scienza” e di “scienziato” che la maggior parte delle persone ha in testa è probabilmente questa In questa accezione, la percezione del matematico come scienziato e la legittimità della collocazione della mate-matica tra le Scienze risulta difficile da cogliere perfino dagli altri scienziati, fisici, chimici etc. 2/12

che essa è “la base di tutto” ovvero “serve”… In effetti spesso anche gli addetti ai lavori non sanno spiegare perché anche la Matematica è una Scienza, al di là di fumosi riconoscimenti che essa è “la base di tutto” ovvero “serve”… argomentazioni che varrebbero parimenti per la scrittura, la stampa, etc. 3/12

Un matematico che si accinge a dimostrare un’affermazione non fa altro che applicare il metodo scientifico di Galileo La prova della correttezza di un’ipotesi formulata, che nelle scienze sperimentali si fa attraverso gli esperimenti, in Matematica giunge attraverso la DIMOSTRAZIONE. La DIMOSTRAZIONE è l’esperimento del Matematico. 4/12 “Un matematico è una macchina che trasforma il caffè in teoremi”. Paul Erdos

Fino a quando non é corredata un’affermazione matematica é da una dimostrazione un’affermazione matematica é UNA CONGETTURA Congettura dei primi gemelli Congetture di Goldbach Ultimo Teorema di Fermat

Congettura dei primi gemelli 3-5 5-7 11-13 17-19 29-31 41-43 59-61 Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.

Congettura forte di Goldbach Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi. Congettura debole di Goldbach Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi Per esempio,   4 = 2 + 2   6 = 3 + 3   8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7

L’ultimo Teorema di Fermat Non esistono soluzioni intere positive all'equazione: an + bn = cn se n > 2. n =2 terne pitagoriche Esempi: ( 3, 4, 5); ( 5, 12, 13); ( 7, 24, 25); ( 8, 15, 17); ( 9, 40, 41) ….

La struttura di un enunciato matematico é sempre rappresentabile come ipotesi tesi A = { elementi che soddisfano P1} A B B = { elementi che soddisfano P2}

Il ruolo del controesempio é analogo a quello della dimostrazione Quello che interessa al matematico é stabilire se un’affermazione é vera o falsa Vera dimostrazione Falsa controesempio Cosa faremo noi? Costruiremo delle schede interattive a risposta multipla incentrate sui controesempi

Il punto x é un controesempio A = { elementi che soddisfano P1} ESEMPIO B = { elementi che soddisfano P2} A B x Cosa dimostra la presenza del punto x? Il punto x é un controesempio per l’affermazione P2  P1 La cosa si fa piu’ interessante quando non c’ e’ nessuna inclusione 1) Che P1  P2 ma P2  P1 2) Che P2  P1 ma P1  P2 3) Che P2  P1 4) Che le affermazioni P1 e P2 non sono confrontabili La quale é quindi FALSA perché esiste il controesempio x

A = { elementi che soddisfano P1} B = { elementi che soddisfano P2} x B A z y Quale degli elementi é un controesempio all’affermazione P1  P2? 1) x 2) y 3)z 4) Tutti e tre

A = { elementi che soddisfano P1} B = { elementi che soddisfano P2} x B A z y L’esistenza di z prova che 1) P1  P2 ma P2  P1 2) P2  P1 ma P1  P2 3) P1  P2 4) Non prova nessuna implicazione

P1 = insegnante in questa stanza P1  P2 P2 = portatori di occhiali “Tutte le insegnanti in questa stanza portano gli occhiali” A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi} B = { elementi che soddisfano P2} =

E viceversa? P1 = insegnante in questa stanza P2  P1 P2 = portatori di occhiali A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi} B = { elementi che soddisfano P2} = “Tutti i portatori di occhiali sono insegnanti e si trovano in questa stanza”

Riassumendo L’esempio … dimostra che 1) Che P1  P2 ma P2  P1 4) Che le affermazioni P1 e P2 non sono confrontabili oppure 4 bis ) non prova nessuna implicazione …. Quale tra i seguenti é un contro-esempio alla (o al viceversa della) affermazione P1  P2? Esempio A Esempio B Esempio C Esempio D oppure 4 bis) nessuno dei precedenti 4 ter) vanno bene tutti e tre ….