Complessità del problema Se non facciamo ipotesi sul tipo degli elementi della sequenza le uniche operazioni permesse sono confronti e assegnazioni. Problema dell’ordinamento Input: sequenza a 1,a 2,...,a n di elementi su cui è definito un ordine Output: a' 1,a' 2,...,a' n permutazione di a 1,a 2,...,a n tale che a' 1 ≤ a' 2 ≤... ≤ a' n

Siccome siamo interessati ad un limite inferiore possiamo contare solo alcune delle operazioni. Se un certo limite inferiore vale per il tempo richiesto per eseguire tali operazioni a maggior ragione varrà per il tempo calcolo totale. Noi conteremo solo i confronti e dimostreremo che nel caso pessimo il numero di confronti è Ω(n log n). Per fare questo è utile rappresentare la struttura di un algoritmo mediante un albero delle decisioni.

1:2 2:3 1:32:3 1:3 > ≤ ≤ > Esempio. Albero delle decisioni di Insertion-Sort con un array di 3 elementi. ≤ > ≤ > ≤> Insertion-Sort(A) n = A.length for j = 2 to n i = j – 1 while i ≥ 1 and A[i]>A[i+1] scambia A[i] con A[i+1] i = i – 1

Se l’algoritmo è corretto le foglie devono essere etichettate con ogni permutazione possibile dell’input. Perché? 1:2 a,b,c (1,2,3) a,c,b (1,2,3) c,b,a (1,2,3) > ≤ b,c,a (1,2,3) b,a,c (1,2,3) ≤ > c,a,b (1,2,3) Esempio. Albero delle decisioni di Insertion-Sort con un array di 3 elementi. 2:3 a,b,c ≤ > 1:3 b,a,c ≤ > 2:3 b,c,a ≤ > 1:3 a,c,b

Le permutazioni di 1,2,...,n sono n! e quindi l’albero delle decisioni deve avere almeno n! foglie. Dunque nel caso pessimo l’algoritmo deve eseguire almeno log 2 (n!) confronti. Ma un albero binario con N foglie deve avere altezza almeno pari a log 2 (N). Esercizio: Dimostrarlo per induzione su N.

e quindi per ogni algoritmo generale di ordinamento. Ma Possiamo concludere che Ω(n log n) è un limite inferiore per la complessità del problema dell’ordinamento.

L’algoritmo di ordinamento Heapsort risolve il problema dell’ordinamento con complessità massima Dunque O(n log n) è limite superiore per la complessità del problema dell’ordinamento. Siccome limite superiore e inferiore coincidono  (n log n) è limite stretto per il problema dell’ordinamento.

Considerazione sul limite inferiore Ω(n log n) per l’ordinamento ATTENZIONE: Il limite inferiore Ω(n log n) da noi dimostrato vale solo per algoritmi di ordinamento generali, ossia algoritmi che non fanno alcuna ipotesi sul tipo degli elementi da ordinare: le uniche operazioni ammesse su tali elementi sono confronti e assegnazioni.

Il limite inferiore Ω(n log n) vale anche per ordinare numeri reali sui quali, oltre a confronti ed assegnazioni, si possono usare anche le quattro operazioni aritmetiche. In questo caso la dimostrazione del limite inferiore è molto più difficile e si basa su alcuni risultati di geometria algebrica. La dimostrazione si può trovare nel testo di Geometria Computazionale di F. Preparata.