4. Il Campo Elettrico Riesaminiamo la legge di Coulomb: Problema Due cariche elettriche q1, q2, poste a distanza R interagiscono con una forza F (attrattiva o repulsiva) data dalla formula: + R q1 F21 F12 q2 Problema Come fa ciascuna carica a sapere della presenza dell’altra? In quale modo l’informazione della presenza della carica 1 raggiunge la carica 2 e viceversa? E’ certamente un bel problema. Per spiegarlo possiamo ipotizzare due modelli: Prof Biasco 2006 1

Il Campo elettrico - Elettrostatica Azione a DISTANZA La carica q1 agisce direttamente sulla carica q2 (e viceversa) mediante un’azione a distanza diretta e istantanea CARICA 1 CARICA 2 Modello del CAMPO DI FORZA La carica q1 modifica le proprietà dello spazio circostante (tutto lo spazio) generando un campo di forza di natura elettrica CAMPO ELETTRICO. La carica q2 percepisce che le proprietà del punto in cui si trova sono cambiate rispetto allo spazio vuoto e quindi manifesta una forza d’interazione. Analogamente succede per la carica q2. Prof Biasco 2006 2

Il Campo elettrico - Elettrostatica Allora le cariche elettriche non interagiscono direttamente, ma la loro interazione viene mediata dal capo elettrico CARICA 1 Campo 1 CARICA 2 F q1 q2 Prof Biasco 2006 3

Il Campo elettrico - Elettrostatica Analogamente la CARICA 2 Campo 2 CARICA 1 F F q1 q2 4

Il Campo elettrico - Elettrostatica Misura del campo Elettrico Per misurare il campo elettrico generato da una carica q1 o da più cariche, in un punto P dello spazio, possiamo procedere così: Prendiamo un carica q Esplorativa o Di Prova e mettiamola nel punto P in cui vogliamo misurare il campo, P q1 q 5

Il Campo elettrico - Elettrostatica Puntiforme Carica Esplorativa q == Infinitesima Positiva misuriamo la forza F che agisce sulla carica di prova. Il Vettore campo elettrico E si ottiene dividendo la forza F misurata per il valore della carica q. Meglio, il campo elettrico sarà: 6

Il Campo elettrico - Elettrostatica Definizione Il vettore Campo Elettrico E in un punto P è il vettore che si ottiene dividendo la forza F che agisce sulla carica di prova q posta in P e la carica stessa. Rappresenta la forza che agisce sull’unità di carica. Il vettore E ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza F se la carica di prova è positiva. Applicazione Calcoliamo il Campo Elettrico E generato da una carica puntiforme Q in un punto P generico P Q 7

Il Campo elettrico - Elettrostatica Poniamo la carica di prova in P, misuriamo la forza F su q Q P F E calcoliamo il campo elettrico in P: 8

Il Campo elettrico - Elettrostatica E calcoliamo il campo elettrico in P: Oss.1 Il campo elettrico dunque diventa una proprietà dello spazio, dipende solo dalle cariche generatrici e non dipende dalla carica di prova. 9

Il Campo elettrico - Elettrostatica Oss 2 La conoscenza del campo elettrico E permette di calcolare la forza che agisce su una qualunque carica Q posta nel campo (qualunque sia la forma del campo e qualunque siano le cariche che lo hanno generato). Esercizio 1 La carica di prova q = 5 10-9 C posta in un campo elettrico è soggetta all’azione di una forza F = 2 10-4 N. Calcolare l’intensità del campo elettrico E. Esercizio 2 Un elettrone carica -e = -1,6 10-19 C è posto in un campo elettrico E = 4 104 N/C. Calcolare la forza che agisce sull’elettrone. 10

Campo elettrico generato da più cariche - Elettrostatica Principio di Sovrapposizione: Il Campo elettrico generato da una distribuzione di più cariche è la somma vettoriale dei campi elettrici generati da ciascuna carica presa singolarmente. 11

Campo elettrico generato da più cariche - Elettrostatica 12

Campo elettrico generato da più cariche - Elettrostatica Oss. Se la distribuzione di cariche è continua, basta suddividerla in piccoli elementini di carica che si possano considerare puntiformi, determinare il campo generato da ciascuno di essi, sommare vettorialmente tutti i campi ottenuti. 3 Campo Elettrico 3 13

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Il concetto di campo diventa particolarmente interessante quando viene rappresentato graficamente. 1° Modo - Vettori Campo Consiste nel disegnare il vettore campo elettrico in un certo numero di punti dello spazio attorno alla distribuzione di carica. Esempio Rappresentazione del campo generato da una Carica Puntiforme Positiva P E 14

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Disegniamo il vettore campo E1 in un certo numero di punti a distanza r dalla carica 15

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Poi il vettore campo E2 in un certo numero di punti a distanza 2r dalla carica E2 = E1/4 16

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Poi il vettore campo E3 in un certo numero di punti a distanza 3r dalla carica E3 = E1/9 4 Vettori Campo I vettori del campo elettrico sono radiali e orientati verso l’esterno: campo elettrico uscente. 17

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Esempio Rappresentazione del campo generato da una Carica Puntiforme Negativa mediante i vettori campo. I vettori del campo elettrico sono radiali e orientati verso l’interno: campo elettrico entrante. 18

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico 2° Modo - Rappresentazione mediante le linee di forza. Il metodo, introdotto da Faraday, consiste nel rappresentare il campo disegnando le traiettorie che una carica di prova descriverebbe muovendosi (in condizioni quasi statiche) sotto l’azione del campo Consideriamo il caso di una Carica Puntiforme Positiva: poniamo una carica di prova positiva in diversi punti attorno alla carica ed esaminiamone la traiettoria avendo cura di non far acquistare velocità alla carica di prova 19

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Le traiettorie sono semirette uscenti dalla carica Q che si allontanano a distanza infinita 20

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Il campo di forza è un campo radiale rappresentato dalle semirette uscenti dalla carica +Q e orientate verso l’esterno: campo uscente. 6 Linee forza 21

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Consideriamo il caso di una Carica Puntiforme Negativa: anche in questo caso poniamo una carica di prova positiva q in diversi punti attorno alla carica ed esaminiamone la traiettoria avendo cura di non far acquistare velocità alla carica di prova q 22

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Il campo di forza è un campo radiale rappresentato dalle semirette entranti nella carica Q e orientate verso l’interno: campo entrante. 7 Linee forza negativo 23

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Caratteristiche delle Linee di Forza Dagli esempi precedenti osserviamo che le Linee di Forza hanno le seguenti caratteristiche: 1. In ogni punto hanno la direzione del vettore Campo elettrico E in quel punto. 2. Partono dalle cariche positive o dall’infinito 3. Finiscono nelle cariche negative o all’infinito 4. Sono più dense dove il campo E è più intenso e più rade dove il campo è più debole. 5. Il numero di linee di forza entranti o uscenti da una carica è direttamente proporzionale all’intensità della carica. 24

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Linee di forza del campo elettrico generato da due cariche puntiformi aventi carica opposta +q e - q (Dipolo Elettrico) Dipolo Elettrico. È Il sistema formato dalle due cariche +q e -q poste a distanza d. Asse del Dipolo. È la retta congiungete le cariche. Momento del dipolo è il prodotto qd, ed è una proprietà intrinseca del sistema. Il campo elettrico, misurato sull’asse, a grande distanza z dal centro delle cariche è 8 Linee forza dipolo 25

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Altri esempi di campi elettrici: Linee di forza del campo elettrico generato da due cariche puntiformi positive uguali +q e +q 9 Linee forza 2 positive 26

5 Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Altri esempi di campi elettrici: Linee di forza del campo elettrico generato da due cariche puntiformi aventi carica diversa +2q e  q 27

Rappresentazione grafica del Campo Elettrico Condensatore a facce piane e parallele Abbiamo già visto che il campo elettrico generato da un piano molto grande ( infinito) carico uniformemente è: * Uniforme (lontano dai bordi) * Sempre Perpendicolare al piano * Uscente se la carica è positiva, entrante se negativa * La sua intensità è costante in ogni punto E = Costante = Uniforme 28

Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss Flusso di un campo vettoriale uniforme Problema (idrodinamico) Calcolare il flusso di acqua (portata in volume) che attraversa una conduttura; cioè il volume di acqua che attraversa una sezione S di una conduttura nell’unità di tempo. Hp: Per semplicità supporremo che 1- il vettore velocità V(x,y,z,t) dell’acqua sia costante in ogni punto di S (campo vettoriale uniforme) 2- e sia costante nel tempo (campo stazionario)

di altezza x = V t, cioè da un volume di acqua Caso A Il vettore velocità è perpendicolare alla sezione S della conduttura V  S S x = Vt nel tempo t = t – t0 la sezione S è attraversata dal cilindro di acqua di altezza x = V t, cioè da un volume di acqua per cui il flusso sarà

Caso B Il vettore velocità NON è perpendicolare alla sezione S della conduttura V  S x = Vt H K 

Def Ogni superficie piana può essere rappresentata mediante un vettore S che ha: Intensità = Area della superficie Direzione perpendicolare alla superficie Verso, diretto all’esterno se la superficie è chiusa, arbitrario se è aperta  A S Def Si dice flusso di un campo vettoriale A uniforme attraverso una superficie piana S il prodotto scalare:

Flusso del campo elettrico Esaminiamo il caso più semplice:  1° Caso Hp: 1- Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio) 2- La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico) S  E Il flusso del campo elettrico si misura in Nm2/C

2° Caso Hp: 1- Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto a punto) 2- La superficie NON è piana (il vettore superficie Non è definito in modo unico) S2 S1 S4 S3 E4 E3 E2 E1

Teorema di Gauss Ob Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi.. Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è posta una carica elettrica positiva Q +Q Ei Si + Q Consideriamo un “elementino” di superficie Si Ei il flusso del campo elettrico E attraverso Si è: i = Si x Ei = Si  Ei  cos 0° = Si  Ei allora il flusso totale attraverso la sfera sarà 35

e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è avremo che Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.

Questo risultato è generalizzabile ad una superficie chiusa qualsiasi

e ad una distribuzione qualsiasi di carica.

Teorema di GAUSS Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi S, è uguale alla somma algebrica di tutte e sole le cariche contenute all’interno della superficie diviso la costante dielettrica del mezzo:

Osservazione 1  Il flusso del campo elettrico non dipende dalla particolare superficie considerata e quindi non dipende dalla sua forma. S2 S1 Q4 Q3 Q2 Q1

Osservazione 2 Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso. Q1 Q2 Q3

Applicazioni Del Teorema Di Gauss  Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica  Dati Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q Obiettivo Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), uscente (la carica è positiva). +Q E

E Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica S +Q S E

applicando invece il teorema di Gauss avremo:  Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica applicando invece il teorema di Gauss avremo: e poiché i due flussi devono essere uguali avremo: Oss. Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico.

Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica  Dati Piano infinito carico uniformemente (e positivamente) Densità superficiale di carica C/m2 Problema Calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza d dal piano infinito di carica.   Il campo elettrico è perpendicolare al piano in ogni suo punto La distribuzione di carica è simmetrica rispetto a qualunque perpendicolare al piano, oppure un osservatore che si muove parallelamente al piano vede sempre la stessa distribuzione di carica.   Il campo elettrico è uscente (perché la carica è +) E P d

Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica quindi il flusso totale è dato da

d’altronde per il Teor. di Gauss e i due flussi devono essere uguali, quindi allora quindi il campo elettrico è uniforme ed ha direzione verso e intensità costanti (in ogni punto dello spazio).

Campo Elettrico generato da una distribuzione lineare infinita di carica Dato un filo infinitamente lungo carico positivamente e in modo uniforme il campo elettrico generato dal filo infinito è uguale a:

Campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore Teorema di Coulomb Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è sempre perpendicolare alla superficie del conduttore ed ha intensità uguale alla densità superficiale di carica diviso la costante dielettrica del mezzo nel quale si trova il conduttore + Il teorema è un’immediata conseguenza del teorema di Gauss 49

Teorema di Coulomb Per calcolare il campo nelle immediate vicinanze del conduttore consideriamo un cilindro (non serve che sia reale) che racchiude un elementino di superficie S = B del conduttore Se il cilindro è sufficientemente piccolo Il campo elettrico E sulla base superiore B1 del cilindro è perpendicolare alla base e uniforme Il campo elettrico sulla base inferiore B2 è zero (il campo all’interno del conduttore è nullo) Il campo elettrico è tangente alla superficie laterale esterna del cilindro 50

Teorema di Coulomb Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro nei due modi studiati: mediante la definizione di flusso e mediante il teor. di Gauss. Calcolo il flusso secondo la definizione: 51

Teorema di Coulomb Quindi il flusso totale attraverso il cilindro sarà il prodotto dell’area di base B per il campo E: Calcolo il flusso mediante il teorema di Gauss: Il flusso è uguale alla carica totale  B contenuta nel cilindretto diviso la costante dielettrica 52

Teorema di Coulomb Uguagliando i due flussi avremo: Da cui 53

Condensatore a Facce Piane Parallele Campo elettrico generato da un piano molto grande ( infinito) carico uniformemente 54

Condensatore a Facce Piane Parallele Campo elettrico generato da un piano molto grande ( infinito) carico uniformemente con Carica Positiva. 55

Condensatore a Facce Piane Parallele Campo elettrico generato da un piano molto grande ( infinito) carico uniformemente con Carica Negativa. 56

Condensatore a Facce Piane Parallele Se poniamo i due piani carichi con cariche opposte parallelamente a distanza d otteniamo un Condensatore a facce piane e parallele. Il Condensatore è un dispositivo che consente di accumulare carica elettrica ed è di particolare interesse nei circuiti elettrici ed elettronici. 57

Condensatore a Facce Piane Parallele I campi generati dai due piani si sovrappongono annullandosi all’esterno delle armature e rinforzandosi all’interno. 58

Condensatore a Facce Piane Parallele Il campo elettrico all’interno delle armature ha le seguenti caratteristiche: * è perpendicolare alle due armature, * diretto dalla carica positiva alla negativa * ha intensità 2E 59

6 Schermare e caricare per induzione Conduttori I corpi conduttori sono caratterizzati dal fatto di avere moltissimi elettroni liberi di muoversi (elettroni di conduzione). Cosa accade se un corpo conduttore viene caricato elettricamente? Come si distribuisce la carica?. Consideriamo una sfera conduttrice neutra posta su un basamento isolante e carichiamola per contatto con un corpo positivo. 60

Conduttori In seguito al contatto alcuni elettroni del conduttore passano sul corpo carico annullandone parte della carica. Sul corpo conduttore rimane allora un eccesso di carica positiva. 15 Conduttore 1 61

Conduttori Allontaniamo il corpo carico. Le cariche (positive) in eccesso sul conduttore si respingono reciprocamente portandosi il più lontano possibile tra loro e cioè sulla superficie del conduttore. Le cariche in eccesso su un conduttore; sia positive che negative, si portano sempre sulla superficie esterna del conduttore (anche nel caso in cui il conduttore presenta delle cavità interne) 62

Conduttori Il Campo Elettrico all’interno del corpo conduttore è nullo Ei = 0 Se così non fosse sulle cariche agirebbe una forza F = Ei q che causerebbe un movimento continuo di cariche all’interno. Il conduttore non potrebbe essere in equilibrio. 63

Conduttori Esaminiamo quello che accade se poniamo un conduttore neutro in un campo elettrico esterno Consideriamo il caso di una sfera conduttrice neutra posta in un campo elettrico uniforme E. 64

Conduttori Inizialmente, sotto l’azione del campo le cariche positive, protoni, e negative, elettroni, del conduttore sono soggette a due forze opposte. Solo gli elettroni si muovono determinando un movimento di carica negativa in direzione opposta al campo. 65

Conduttori Si verifica allora una ridistribuzione di cariche all’interno del conduttore che che ha per effetto di produrre un campo elettrico interno risultante nullo. Ei = 0 e di modificare il campo risultante esterno E 16 Conduttore 2 66

Conduttori Essendo Ei = 0 il conduttore scherma il suo interno dai campi elettrostatici esterni. Ma non scherma l’esterno dai campi elettrici interni al conduttore. In figura è rappresentato un conduttore cavo in cui, al centro della cavità interna, è posta una carica positiva +Q 67

Conduttori C’è un campo elettrico E+ all’interno della cavità generato dalla carica +Q. Il campo elettrico interno al conduttore è sempre nullo. Il campo esterno è generato dalla carica superficiale +Q e rappresenta la prosecuzione del campo generato dalla carica dentro la cavità. 17 Campo interno conduttore 68

Conduttori Il campo elettrico cade sempre perpendicolarmente sulle superfici (esterne od interne) di un conduttore, qualunque sia la sua forma Se così non fosse sulle cariche della superficie la componente tangenziale Et del campo eserciterebbe una forza che metterebbe le cariche in moto e non si avrebbe l’equilibrio. + 18 Campo esterno conduttore + + 69

Conduttori Se un conduttore presenta delle punte le cariche elettriche si concentrano su di esse, quindi in corrispondenza delle punte il campo elettrico è più intenso 70

6 Conduttori - Carica per Induzione Carica per induzione I corpi conduttori possono essere caricati per contatto con un corpo carico, ma anche senza che vi sia contatto: Elettrizzazione per Induzione. Consideriamo una sfera conduttrice neutra posta su un basamento isolante e avviciniamole un corpo A carico (negativamente). Sulla superficie del conduttore affacciata al corpo A compare un eccesso di carica positiva e sulla sup. opposta un eccesso di carica negativa. 20 Carica induzione 71

6 Conduttori - Carica per Induzione Se allontaniamo A senza che vi sia stato contatto il corpo conduttore ritorna allo stato neutro. 72

6 Conduttori - Carica per Induzione Adesso, prima di allontanare il corpo A, colleghiamo il corpo conduttore con la terra (messa a terra del conduttore) Poiché la Terra è un grande conduttore le cariche che si sono formate sulla parte opposta del conduttore si spostano a terra. 21 Carica induzione 2 73

6 Conduttori - Carica per Induzione Se allontaniamo nuovamente A senza che vi sia stato contatto il corpo conduttore ritorna allo stato neutro. Le cariche negative fuggite a terra sono attirate dalle positive rimaste sul conduttore e il corpo torna allo stato neutro. 74

6 Conduttori - Carica per Induzione Elettrizzazione per Induzione. Ma se prima di allontanare A stacchiamo il contatto da terra le cariche negative non potranno più tornare sul conduttore che così rimarrà carico positivamente senza che vi sia stato contatto col corpo carico A. 22 Carica induzione 3 Prof Biasco 2006 75