CORSO DI PROGRAMMAZIONE II Alberi binari: operazioni Lezione 18 Alberi binari: operazioni prof. E. Burattini a.a. 2010-2011

ESERCIZIO Scrivere una procedura o funzione che assegnato un albero binario di interi calcoli la sua altezza e assegnato un livello Lev conti il numero num di tutti i nodi presenti in quel livello e il numero di foglie. Nodi=14 19 13 21 12 15 14 17 16 18 20 24 23 26 22 lev Lev=3 Nodi=4 H=4 N. Foglie=7 Nodi Lev=3 14, 17, 23, 26

int contanodi(Tnodo A) { // CONTA I NODI DI UN ALBERO A if (A==NULL) return 0; else return contanodi(A->left)+contanodi(A->right)+1; } int Altezza(Tnodo A) { // CALCOLA L’ALTEZZA DI UN ALBERO A int Hs=0, Hd=0; if (A==NULL) return -1; else { Hs=Altezza(A->left); Hd=Altezza(A->right); if (Hs > Hd) return Hs=1+Hs; else return Hd=1+Hd; } }

void ContaL(Tnodo A, int n, int& conta) { //CONTA i NODI DI LIVELLO n if (A!=NULL) if (n==0) conta++; else { ContaL(A->left,n-1,conta); ContaL(A->right,n-1,conta); } }

void StampaLivello(Tnodo A, int n) { // SI RICHIAMA CON n=livello scelto if (A!=NULL) if (n==0) cout<<A->key<<" "; else { StampaLivello(A->left,n-1); StampaLivello(A->right,n-1); }

Tnodo estremaSinistra(Tnodo A) { if (A->left==NULL) return A; else return estremaSinistra(A->left) ; } Tnodo estremaDestra(Tnodo A) if (A->right ==NULL) return estremaDestra(A->right) ; 19 13 21 12 15 14 17 16 18 20 24 23 26 22 lev alberiGenerale0_2

CANCELLAZIONE DI UN NODO DI UN ALBERO La cancellazione di un nodo di un albero presuppone che una volta avvenuta venga mantenuta l’integrità dell’albero e che nel caso si tratti di un BST si salvaguardata anche la relazione tra i vari nodi.

Cancellazione in un albero non ordinato Nel caso degli alberi non ordinati è necessario preoccuparsi solo di mantenere l’integrità dell’albero non essendoci relazioni d’ordine tra i vari nodi. E’ pertanto sufficiente scorrere l’albero per trovare il nodo da cancellare, conoscendo ad esempio la chiave. Se viene trovato, è sufficiente ricercare una foglia dell’albero, non importa quale, sostituire la chiave della foglia a quella da cancellare e quindi eliminare la foglia. Nel lucido seguente è mostrato un esempio.

Nel caso dell’albero di figura si vuole cancellare il nodo con chiave 30. Poichè la chiave esiste è allora sufficiente cercare una foglia, ad esempio quella con chiave 28, sostituire questa chiave a quella da cancellare e eliminare la foglia. 10 10 30 3 28 3 44 44 35 50 35 50 3 28 3 8 8 35 35 38 38

Cancellazione in un albero ordinato BST Nel caso degli alberi ordinati è necessario preoccuparsi non solo di mantenere l’integrità dell’albero ma anche la relazione d’ordine esistente tra i vari nodi. Vanno distinti tre casi: Il nodo da cancellare è una foglia Il nodo da cancellare ha un solo figlio Il nodo da cancellare ha sia un sotto albero destro che un sotto albero sinistro.

Nella figura seguente si mostrano i primi due casi che sono di semplice soluzione. Infatti se il nodo è una foglia è sufficiente eliminarla ponendo a NULL il puntatore del parent (padre) che la riguardava. Si vedano gli esempi (a) e (b). Nel caso in cui il nodo da cancellare ha un solo sottoalbero, è allora sufficiente legare la radice del sotto albero a cui punta il nodo da cancellare, con il parent che punta al nodo. In questa maniera, ovviamente si preserva l’ordine. Si vedano gli esempi (c) e (d).

ELIMINAZIONE DI UN NODO SU UN BST Parent Old Parent Old (a) (b) New Old (c) Parent Old New (d)

Nel caso in cui il nodo da cancellare abbia sia il sotto albero di sinistra che quello di destra allora si procede come segue: si sostituisce alla chiave del nodo da cancellare o la chiave del nodo di valore maggiore del suo sottoalbero di sinistra o quella di valore minore del suo sotto albero di destra. Se questo nodo ha a sua volta un sottoalbero di destra o uno di sinistra ci si comporta nei suoi confronti come se fosse un nodo da cancellare e quindi si esegue la stessa procedura sopra descritta.

Nell’esempio di figura si sostituisce alla chiave 30 del nodo individuato, la chiave del nodo 35 che è la più piccola del suo sottoalbero destro. Nodo da cancellare 35 5 3 40 80 38 8 30 5 3 40 35 80 38 8

Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. Nell’esempio si usa la stessa nomenclatura che verrà utilizzata in seguito nel codice. QQQ RRR Parent Candidate left right Il puntatore che da Parent prima puntava a Candidate ora acquista il valore del puntatore a RRR ottenuto in questo caso da Candidate->right

Analizziamo il problema della riorganizzazione dell’albero una volta eliminato un nodo. Caso a- il nodo (QQQ) da eliminare ha il sotto albero sinistro vuoto. Parent Candidate QQQ Eliminare Dora Maria Giulio Sergio Guido Toni Roberto Elena Maria Giulio Sergio Dora Guido Toni Roberto Elena RRR left right Caso b- il nodo da eliminare ha il sotto albero sistro vuoto. La procedura è analoga alla precedente.

if (Candidate->left==NULL) Pseudo Codice if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Padre, Tree) else if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate ->left, Padre, Tree) continua a riorganizzare l’albero QQQ RRR Padre Candidate left right void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) {riorganizza l’albero BST dopo l’eliminazione di un nodo}

void LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) //collega il nodo genitore con il sottoalbero connesso al nodo da cancellare { if (Padre==NULL) // {sostituiamo la root} Tree= NewChild; else if (OldChild ==Padre->left) Padre->left=NewChild; // {sostituiamo al genitore il figlio sinistro} Padre->right=NewChild; // {sostituiamo al genitore il figlio destro} } Old Parent New Old New

Riassunto dei tipi di cancellazione New Old Parent Old New 35 5 3 40 80 38 8 30 5 3 40 35 80 38 8 void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) {elimina il nodo con chiave KeyValue ricostruendo la struttura BST. Se il Nodo non esiste Done risulta False}

Pesudo codice di DelTNode(Key, Tree, Done) Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato if CandsKey<> Key Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci else Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

Non c’è niente da cancellare void DelTNode(int KeyValue, Tnodo &Tree, bool &Done) { Tnodo Candidato; // puntatore al nodo candidato per la cancellatura Tnodo Padre; // puntatore al genitore del nodo candidato} int CandsKey; Done=true; Cerca( Tree, KeyValue, Candidato, Padre); DammiChiave(Candidato, CandsKey); if (CandsKey!=KeyValue) Done=false; else if (Candidato->left==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); if (Candidato->right==NULL) { LegaPadre(Candidato, Candidato->left, Padre, Tree); } NuovoCandidato(KeyValue, Candidato, Tree); KillTNode(Candidato); Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero destro. Se Padre =NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Non c’è niente da cancellare Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Padre=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) { Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); } Ricerca OldCandidate a partire dal suo nodo destro con la conseguenza che trova il più piccolo di questo sottoalbero (Candidato) (Dummy vale NULL) Sostituisci il nodo da cancellare con Candidate Riprendi la chiave del nodo spostato Cerca il più piccolo nodo del sottoalbero destro del nodo spostato a partire dalla sua primitiva posizione Se il nodo da cancellare è la root allora collega il sottoalbero destro con la root Collega il sottoalbero destro con il padre del nodo spostato

Il padre dell’ultimo nodo esaminato durante la ricerca di KeyValue Cerca(Tree, KeyValue, TNode, Padre) Obiettivo: cercare un cammino verso un determinato nodo dell’albero. Se il nodo non esiste ritorna NULL. Se esiste ritorna il puntatore al nodo individuato e quello di suo padre. Il padre dell’ultimo nodo esaminato durante la ricerca di KeyValue Pseudo Codice Padre  NULL {la root non ha genitori} TNode  Tree {la radice è il primo nodo esaminato} DammiChiave(TNode, NodesKey) {estrai la chiave del nodo in esame} while ci sono altri nodi da esaminare AND non si è ancora trovato il nodo { Padre  TNode Tnode  il sottoalbero legato al KeyValue Tnode!=NULL NodesKey <> KeyValue if (NodesKey > KeyValue) TNode  radice del sottoalbero sinistro else TNode  radice del sottoalbero destro

void Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) { int NodesKey; Padre=NULL; Node=Tree; DammiChiave(Node, NodesKey) ; while ((Node!=NULL) && (NodesKey!=KeyValue)) Padre=Node; if (NodesKey>KeyValue) Node=Node->left; else Node=Node->right; DammiChiave(Node, NodesKey); } }; Ricordarsi che DammiChiave nel caso trovi NULL ritorna una chiave nulla. void DammiChiave(Tnodo TNode, int &TheKey) { //ritorna il key field del nodo puntato da Tnode, se Tnode è // NULL allora ritorna il valore di -100 if (TNode != NULL ) TheKey= TNode ->key; else TheKey= -100; }

RICAPITOLANDO NuovoCandidato (K,N,T) Cerca (N->right, K, D, U) DammiChiave (Uk,U) (N->right, Uk, D, P) P=NULL PNULL LegaPadre (U,U->right,N,T) (U,U->left,N,T) Cerco il più piccolo a destra. Parto a destra di K cerco K e così ottengo il più piccolo, U A partire dal sotto albero destro di N, cerco Uk per avere suo padre P Cancella il nodo K dell’albero T DelTNode (K,T,d) Cerca in T il nodo K. Il suo puntatore è N e P è suo padre Cerca (T,K,N,P) Verifica che a N corrisponde la chiave K DammiChiave (K,N) La chiave non cè: ESCI N->left=NULL N->right=NULL LegaPadre (N,N->right,P,T) LegaPadre (N,N->left,P,T) Collega il padre P con N->right e cancella N Collega il padre P con N->left e cancella N NuovoCandidato (K,N,T)

RICAPITOLANDO Pesudo codice di DeleteTNode(Key, Tree, Done) Cerca(Tree, Key, Candidato, Parent) Fornisce il puntatore della Key da eliminare e quello del suo genitore. Se Candidato=NULL significa che la Key non c’è. DammiChiave(Candidato, CandsKey) Fornisce la chiave CandsKey di Candidato if CandsKey<> Key Se la chiave trovata e quella di partenza non corrispondono CandsKey=NULL allora esci else Se il sottoalbero sinistro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero destro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero destro. Se il sottoalbero destro è vuoto collega il genitore di Candidato con la radice del sotto albero sinistro. Se Parent=NULL, cioè si vuole cancellare la radice allora poni in Tree la radice del sotto albero sinistro. Se nessuno dei due sotto alberi è vuoto allora chiama NuovoCandidato

Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) RICAPITOLANDO Cerca(Tnodo Tree, int KeyValue, Tnodo &Node, Tnodo &Padre) fornisce il puntatore Candidato del node che ha chiave Key e il puntatore Padre come padre a b KeyValue=b Node=P(b) Padre =P(a) LegaPadre(Tnodo OldChild, Tnodo NewChild, Tnodo Padre, Tnodo &Tree) collega NewChild con Parent eliminando OldChild, se Padre =NULL, cioè Old=Tree è la radice allora mette NewChild al posto di OldChild e quindi di Tree Padre NewChild OldChild OldChild NewChild

NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) RICAPITOLANDO NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) Cerca nel sottoalbero destro di OldCandidato il nodo con chiave minima. Questa chiave va a sostituire quella del nodo OldCandidato. Inoltre se il nodo con chiave minima ha sotto alberi allora opera come precedentemente visto. 35 5 3 40 80 38 8 OldCandidato Candidato void NuovoCandidato(int KeyValue, Tnodo &Candidato, Tnodo &Tree) { Tnodo Dummy; //variabile ausiliare per la chiamata a Cerca Tnodo Padre; Tnodo OldCandidato; int CandsKey; OldCandidato= Candidato; Cerca(OldCandidate->right, KeyValue, Dummy, Candidato) OldCandidato->key= Candidato->key; DammiChiave(Candidato, CandsKey); Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Padre) if (Padre==NULL) LegaPadre(Candidato, Candidato->right, OldCandidato, Tree); else LegaPadre(Candidato, Candidato->right, Padre, Tree); }

Cancellare il nodo 30 DelTNode(KeyValue, Tree, Done) 90 50 95 30 34 40 36 15 93 98 100 17 13 35 47 Cerca(Tree, KeyValue, Candidate, Parent) DammiChiave(Candidate, CandsKey); if CandsKey<> KeyValue Done=FALSE else if (Candidate->left==NULL) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Right, Parent, Tree) if (Candidate->right==NULL)) LegaPadre(Candidate, Candidate-> Left, Parent, Tree) NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree); KillTNode(Candidate); 34 P30 NuovoCandidato(KeyValue, Candidate, Tree) NULL P34 OldCandidate = Candidate Cerca( OldCandidate->right), KeyValue, Dummy, Candidate) OldCandidate->Key = Candidate^.Key; CandsKey = Candidate->Key; Cerca(OldCandidate->right, CandsKey, Dummy, Parent); if Parent = NULL THEN LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, OldCandidate, Tree) else LegaPadre(Candidate, Candidate ->right, Parent, Tree); 30 P34 P36 P40 P35 34 38 P40 34 P36 P34 alberiGenerale0_4

Cancella un nodo 500 500 400 600 700 800 420 410 454 456 900 430 450 470 455 475 460 480 600 400 700 440 800 420 460 900 410 430 450 480 470 455 475 454 456

Cancella la root 500 550 400 600 400 600 550 564 564 553 566 553 566 558 558 556 559 556 559 555 557 555 557

ESERCIZIO Sia assegnato un albero binario, scrivere un algoritmo tale che sposti ogni figlio sinistro nel corrispondente figlio destro e viceversa. A B C D E F G H A C B F E D H G

a1 =2, a2=1, a3=-1, a4=3 - an = an-1 -3* an-2 + an-3- an-4 Esempio PROVE INTERCORSO 2010-2011 B1 Scrivere una funzione ricorsiva che verifichi che la somma degli elementi delle singole righe di una matrice M(NxN) sono uguali ai primi N elementi generati dalla successione partendo da a5: a1 =2, a2=1, a3=-1, a4=3 - an = an-1 -3* an-2 + an-3- an-4 Esempio Sia N=4 ; Successione= 2, 1, -1, 3, -5, 12, -27, 57, -125, 275, -598, 1305, -1 4 -5 5 2 -2 3 6 -10 1 7 12 -15 -6 -27 25 -7 21 15 57 -100 -35 -3 -125 -112 36 125 275 -129 -41 -429 -598 -30 8 1300 1305 PRECONDIZIONI a1 =2; a2=1; a3=-1; a4=3; i=0,j=0; bool verificaMat(int A[][Nmax],int N,int i, int j, int a1,int a2,int a3, int a4) { int an=0,somma=0; if (i>N-1) return true; else an=a1 -3* a2 + a3- a4 ; if (sommaRighe(A,N,i,0,a1,somma)==false) return false; return verificaMat(A,N, i+1,0, a2, a3, a4,an); } an

che calcoli il vettore B[N] tale che Data una matrice M(NxN) e un vettore A[N] scrivere una procedura ricorsiva che calcoli il vettore B[N] tale che Esempio: 3 1 2 10 M= 4 -7 -10 A= B= -37 5 -5 11 13 -18 void ricB2(int M[][Nmax],int A[],int B[], int i, int j, int N ) { if (i>N-1) return; else if (j>N-1) ricB2(M,A,B,i+1,0,N); { //B[i]=M[i][j]*A[i]+B[i]; B[i]=M[i][j]*A[j]+B[i]; ricB2(M,A,B,i,j+1,N); } PRECONDIZIONI i=0,j=0;

Risposta Numero righe palindrome=3 B3 1- Data una matrice di caratteri M(NxN) contare, utilizzando solo funzioni ricorsive, quante delle sue righe sono palindrome. Esempio q e r w s t d f a re g h Risposta Numero righe palindrome=3 PRECONDIZIONI i=0,j=0; int ricB3(char A[][Nmax], int i, int j, int N) { if (i>N-1) return 0; else if (j<=N/2-1) {if (A[i][j]!=A[i][N-1-j]) return ricB3(A,i+1,0,N); return ricB3(A,i,j+1,N);} else { return ricB3(A,i+1,0,N)+1;} }

Sia N=4; Successione= 2, 1, -1, 3, -5,12,-27,57,-125,275,-598,1305 B4 Scrivere una funzione ricorsiva che verifichi che la somma degli elementi delle colonne di una matrice M(NxN) sono uguali ai primi N elementi, a partire dal quinto, generati dalla successione: a1 =2, a2=1, a3=-1, a4=3 an = an-1 -3* an-2 + an-3- an-4 Esempio Sia N=4; Successione= 2, 1, -1, 3, -5,12,-27,57,-125,275,-598,1305 -1 4 -5 20 2 -2 3 6 -10 24 57 1 -15 -6 12 -26 -7 -121 -215 5 121 -36 125 22 -129 41 -3 -429 100 8 1300 PRECONDIZIONI a1 =2; a2=1; a3=-1; a4=3; i=0,j=0; bool verificaMat(int A[][Nmax],int N,int i, int j,int a1,int a2,int a3, int a4) { int an=0,somma=0; if (j>N-1) return true; else an=a1 -3* a2 + a3- a4 ; if (sommaColonne(A,N,i,j,an,somma)==false) return false; return verificaMat(A,N, 0, j+1, a2, a3, a4, an); } -3 -10 1 25 15 -49 -70 67

A1 Date due liste di caratteri L1 e L2 verificare se una delle due liste è sottolista dell'altra. Se questo accade, ad esempio L2 sottolista di L1, eliminare questa sottolista da quella in cui è stata trovata, cioè L2 da L1. Esempio L1=p-> r->o->t->o->t->i->p->a->l->e L2= t->o->t->i L1= p->r->o->p->a->l->e int main() { int item, pos, som; string nome; Pnodo L1,L2, TL1,TL2,TL; cout<<" LISTA DI PARTENZA L1 \n"<<endl; nome="LA1.txt"; costruisciLista(L1,nome); stampaLista(L1); TL1=L1; cout<<"\n LISTA DI PARTENZA L2 \n"<<endl; nome="LA2b.txt"; costruisciLista(L2,nome); TL2=L2; stampaLista(L2); TL=A1Lis(TL1,L1,L2,TL2); cout<<"\n\n LISTA NUOVA L1 \n"<<endl; stampaLista(TL); cout<<endl;system("pause"); }

Pnodo A1Lis(Pnodo TL1,Pnodo L1,Pnodo L2, Pnodo TL2) { Pnodo precL1=NULL;Pnodo temp, currL1=NULL; while (L1->next!=NULL) { L2=TL2; currL1=L1; while ((currL1->next!=NULL)&&(L2->next!=NULL)&&(currL1->info==L2->info)) { currL1=currL1->next; L2=L2->next; } if (currL1->next==NULL) {cout<<"\n\n L2 non e' sotto stringa di L1 \n"; return TL1;} if (L2->next==NULL) { cancella(L1,currL1->next,TL1,precL1); return TL1; else { precL1=L1; L1=L1->next; void cancella(Pnodo L1, Pnodo currL1, Pnodo &TL1, Pnodo precL1) { Pnodo temp; if (precL1==NULL) TL1=currL1; else precL1->next=currL1; while (L1->next!=currL1->next) { temp=L1; L1=L1->next; delete temp; }