RENDITE

RENDITA Rendita finanziaria è una successione di capitali disponibili ad epoche differenti. Una rendita si indica con: S = {(Rk , tk), k = 0,1, 2, ..., n} R0 R1 R2 … Rn _____|_________|__________|________|______ t0 t1 t2 . . . . . tn

Classificazione: importo a rata costante : gli importi delle rate sono tutti uguali tra loro. In particolare, se l’importo è unitario, la rendita si dice unitaria. Esempio: cedole dei BTP costanti e pagabili semestralmente. a rata variabile: gli importi delle rate non sono tutti uguali tra loro. Esempio: interessi a tasso variabile su mutuo

Classificazione: numero rate temporanea: le rate sono in numero finito. Esempio: BTP hanno una scadenza inferiore ai 30 anni, cedole pagabili semestralmente. perpetua: le rate sono numerabili. Esempio: una rendita che paga indefinitamente ogni semestre una cedola pari al 2.5% del capitale nominale, del quale è non è previsto il rimborso.

Classificazione: periodicità periodica: le rate sono equintervallate. Esempio: Affitto (trimestrale) non periodica: le rate non sono equintervallate. Esempio: versamenti su conto corrente.

Classificazione: scadenza posticipata: la scadenza di ciascuna rata avviene nell’istante finale del relativo periodo di competenza. Esempio: Stipendio di un impiegato anticipata: la scadenza di ciascuna rata avviene nell’istante iniziale del relativo periodo di competenza. Esempio: Premi di assicurazione

Classificazione: Decorrenza immediata: la prima rata è dovuta in t0 se la rendita è anticipata, la prima rata scade in t1 se la rendita è posticipata. Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza immediata differita: la prima rata scade in th (h1) se la rendita è anticipata, la prima rata scade in th+1 (h1) se la rendita è posticipata. Esempio: Contratto d’affitto con decorrenza differita

VALORE ATTUALE Valore attuale di una rendita è la somma dei valori attuali delle singole rate, calcolati nel regime di attualizzazione prescelto. Il tasso di interesse utilizzato è anche detto tasso di valutazione. Il valore attuale è solitamente calcolato nel Regime di attualizzazione a sconto composto essendo questo regime caratterizzato dall'importante proprietà della scindibilità.

Esempio Adottando il fattore di sconto g(t) del regime prescelto, il valore attuale di una rendita di n rate, ossia la somma dei valori attuali (in t0=0) delle singole rate Rk, è: V =  Vk =  Rk g(tk) in t0=0

Valore attuale rendita t=n R1 R2 R3 Rn V3 Vn V2 V1 V=V1+V2+V3+…+Vn

esempio Determinare il valore attuale di una rendita con rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.

Caso rata costante: Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata unitaria t=n 1 V = (1+i)-1 +(1+i)-2+ ... + (1+i)-n v=(1+i)-1 V = v +v2 + ... + vn =

a figurato n al tasso i v+v2+...+vn = v(1+...+ vn-1) = Ricordando la ridotta ennesima di una serie geometrica di ragione v, si ha:

Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata t=n R V = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + ... + R(1+i)-n v=(1+i)-1 V = Rv +Rv2 + ... + Rvn =

esempio Determinare il valore attuale di una rendita immediata posticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata unitaria t=n-1 1 t=n 1+v+v2+...+vn-1 =

Relazione tra rendite anticipate e posticipate Spostando l’istante di valutazione in avanti di un periodo, una rendita posticipata appare come anticipata. Di conseguenza, il valore attuale di una rendita anticipata coincide con quello della posticipata capitalizzato per un periodo.

esempio Determinare il valore attuale di una rendita immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

Valore attuale di una rendita di n rate unitarie periodica posticipata differita di p periodi t=p+1 t=p+2 t=p+3 t=p+n 1 V3 Vn V2 V1 V = vp+1+vp+2+...+vp+n=vp =p/

Valore attuale di una rendita di n rate periodica posticipata differita di p periodi t=p+1 t=p+2 t=p+3 t=p+n R V3 Vn V2 V1 V = Rvp+1+Rvp+2+...+Rvp+n=Rvp =R p/

Valore attuale di una rendita di n rate costanti periodica anticipata differita di p periodi Vn V3 V2 V1 R R R R t=0 t=p t=p+1 t=p+2 t=p+n-1 V = Rvp+Rvp+1+...+Rvp+n-1= =R p/

Relazione tra rendita posticipata differita di p periodi e non differita

Esempio Rendita annua, 4 anni, i=12%, R=329,23 la prima rata verrà pagata tra 5 anni. Consideriamo post oppure ant è uguale: Post: V = (1+0,12)-4 329,23 =635,51 Ant: V = (1+0,12)-5 329,23 =635,51 R R R R t=0 t=4 t=5 t=6 t=7 t=8 t=9

Valore attuale di una rendita unitaria posticipata perpetua Il valore attuale si ottiene calcolando il limite per n che tende all'infinito (per valori positivi del tasso di interesse). = = Esempio Una rendita posticipata perpetua, la cui rata è di 1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%, vale 1000/0,08= 12500 Euro.

Valore attuale di una rendita unitaria anticipata perpetua = = = (1+i) Esempio Una rendita anticipata perpetua, la cui rata è di 1000 Euro, valutata al tasso di interesse i=8%, vale 1000(1,08)/0,08= 13500 Euro

MONTANTE DI UNA RENDITA Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto. Il tasso di interesse utilizzato è anche detto tasso di remunerazione

MONTANTE DI UNA RENDITA tn-1 t1 t2 t3 tn t0 + R3 Rn-1 Rn R1 Mn-1 ... M3 M2 M1

esempio Determinare il montante di una rendita con rate pari a 1000 Euro il primo anno, 2000 il secondo, 1000 il terzo, tasso 0,07 annuo.

Montante di una rendita periodica posticipata immediata unitaria di n rate Sia 1+i = u 1 n - 1 2 3 n …. un-3 un-2 un-1 M = un-1 + un-2 +...+ u + 1=

Relazione tra e è la somma di n termini in progressione geometrica con primo termine 1 e ragione u, si ha: Il montante della rendita unitaria posticipata di n rate coincide con il suo valore attuale capitalizzato per n periodi. = un = un

Montante di una rendita periodica posticipata immediata di n rate 1 2 3 n - 1 n R R R R R …. Run-3 Run-2 Run-1 M = Run-1 + Run-2 +...+ Ru + R= R

Montante di una rendita periodica anticipata immediata unitaria di n rate 1 2 n - 1 n 1 1 1 1 u + un-2 + un-1 + un = u + u2 + ... + un = u

esempio Determinare il montante di una rendita immediata posticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

Relazione tra rendita anticipata e posticipata = Spostando l’istante di valutazione in avanti di un periodo, una rendita posticipata appare come anticipata. Il montante di una rendita anticipata coincide con quello della posticipata capitalizzato per un periodo.

Montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate costanti R 1 2 n - 1 n R R R R …. Run-2 Run-1 Run M = Run + Run-1 +...+ Ru = R u M = R

esempio Determinare il montante di una rendita immediata anticipata di durata 10 anni, rata pari a 1000 Euro, tasso 0,07 annuo.

Riassunto rendite POSTICIPATA ANTICIPATA MONTANTE VALORE ATTUALE

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t Il valore V(t) al tempo t di una rendita è la somma: dei montanti delle rate a scadenza anteriore a t, della rata eventualmente a scadenza in t dei valori attuali delle rate a scadenza posteriore a t, calcolati in base al regime di capitalizzazione e attualizzazione prescelto.

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t …...…. ..……. R0 R1 R2 R3 … Rj Rj+1 … Rn … t0 t1 t2 t3 … t tj+1 tn

VALORE DI UNA RENDITA AL TEMPO t se tj  t < tj+1 V (t)= f (t - tk) + g( tk - t) Due rendite che al tempo t hanno lo stesso valore si dicono finanziariamente equivalenti in t.

VALORE V(t) DI UNA RENDITA AL TEMPO t SECONDO IL REGIME COMPOSTO V( t ) = (1 + i)t [ + ] = (1+i)t V(0). Questa formula è diretta conseguenza della scindibilità del regime a interesse composto.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA Due rendite con lo stesso valore attuale sono finanziariamente equivalenti ad ogni tempo t se, e solo se, il loro valore è calcolato con leggi coniugate ad interesse composto.

CALCOLO DELLE QUANTITÀ CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA: RATA V = R R =

Problema inverso: trovare la rata Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito mediante il pagamento di 5 rate costanti annuali posticipate, al tasso annuo del 7%, trovare la rata: Una rendita annua posticipata, composta da quattro termini, del valore attuale di 1000 Euro, richiede, ad un tasso i=12%, una rata di:

CALCOLO DELLE QUANTITÀ CARATTERISTICHE DI UNA RENDITA: DURATA =1 (1+i)-n  (1+i)-n= 1  i  -n ln (1+i) = V  .

Problema inverso: trovare la durata Un prestito di 50 000,00 Euro deve essere restituito mediante il pagamento di rate costanti annuali posticipate pari a 12194,53 Euro, al tasso annuo del 7%, quante rate occorrono?

Ricerca del tasso di interesse Da V = R = R g(i) = R - V , funzione del tasso di valutazione i. Si noti che per g(i*) = 0 si riottiene l'espressione

Proprietà funzione (la funzione ha asintoto orizzontale di ordinata negativa) (la funzione è decrescente) (la funzione è convessa) L’equazione g(i)=0 ha perciò una ed una sola soluzione i*  0, che corrisponde al tasso di valutazione della rendita. Per determinare i* conviene ricorrere a metodi numerici.

Ricerca del tasso di interesse Metodi numerici iterativi per trovare i* g(i) g(0) i* i

Metodo bisezione High=1 Low=0 Do while (high-low)> 0.0001 If g((high+low)/2)>0 then High=(high+low)/2 Else: low=(high+low)/2 End if Loop Interesse= (high+low)/2

COSTITUZIONE DI UN CAPITALE Una sequenza di prestazioni finanziarie periodiche (ossia una rendita) può essere utilizzata per costituire, ad una determinata epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito. In questo modo si procede alla costituzione di un capitale.

classificazione numero dei versamenti - costituzione mediante un unico versamento Il capitale S si costituisce mediante un unico versamento all’epoca iniziale - costituzione graduale di un capitale Il capitale S si costituisce mediante più versamenti tra l’epoca iniziale e quella finale epoche di pagamento - costituzione con versamenti posticipati il capitale S da costituire si renderà disponibile all’atto in cui si effettuerà l’ultimo versamento - costituzione con versamenti anticipati Il capitale S da costituire si renderà disponibile un periodo dopo l’ultimo versamento.

Costituzione mediante unico versamento Il capitale S che si vuole costituire all’epoca futura t tramite un unico versamento R è il montante di R in t, dati il regime di capitalizzazione ed il tasso di interesse periodale i. L’unico versamento R necessario per costituire S non è altro che il suo valore attuale. Basta quindi esplicitare R dall’espressione del capitale da costituire. In particolare, nel regime di capitalizzazione semplice: S = R (1 + it)

Costituzione mediante unico versamento In regime composto (convenzione esponenziale): In regime composto (convenzione lineare):

Esempio Qualora si intenda disporre di 100 000 Euro dopo 5 anni dal versamento iniziale, e posto che il tasso praticato dalla banca sia il 4.56% in capitalizzazione composta, il versamento iniziale è: R = 80 015.13 Euro

Costituzione mediante versamenti periodici: regime composto Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici posticipati di importo costante R in regime composto al tasso periodale i: N.B. problema inverso del montante: trovare la rata

Sigma figurato n al tasso i è la rata costante da versare per n periodi tale da costituire il capitale di 1 euro all’atto dell’ultimo versamento al tasso periodale i. è funzione decrescente del tasso i.

Costituzione di un capitale mediante versamenti periodici anticipati di importo costante R in regime composto al tasso periodale i

Sigma anticipato figurato n al tasso i è la rata costante da versare per n periodi tale da costituire il capitale di 1 lira un periodo dopo l’ultimo versamento al tasso periodale i. è funzione decrescente del tasso i

Esempio Si può costituire in 10 anni un capitale di 1000 Euro, al tasso i=12%, mediante dieci versamenti annui anticipati di importo costante: R = 50.88 Euro = 0.050879. Se le rate fossero posticipate, l'importo di ciascuna sarebbe maggiore: R = 56.98 euro = 0.056984.

Fondo di costituzione all’epoca k mediante versamenti periodici di importo costante R in regime composto al tasso periodale i. Per conoscere quale somma è stata accantonata fino ad una certa epoca, occorre calcolare il fondo di costituzione a quella data epoca. Il fondo di costituzione ad una epoca t, ossia il montante in t delle k rate versate fino a quell’epoca, è se t è intero se t = k + f (con k intero e 0 < f < 1).

Esempio Sono stati effettuati sei versamenti mensili posticipati di 200 Euro al tasso 0.5% mensile, e ci si domanda a quanto ammonti il fondo di costituzione accumulato.

Esercizio 1 Per l’acquisto di un appartamento si decide di pagare subito 50000 e di pagare il rimanente in rate trimestrali di Euro 2000 per 10 anni versando la prima rata tra tre mesi. Tasso annuo nominale convertibile trimestralmente è il 6%. Si determini il prezzo dell’appartamento. i4=0,06/4=0,015 Il valore dell’appartamento è 50000+59831,69=109831,69

Esercizio 2 Per far fronte alla restituzione di un debito esigibile tra tre anni di 80000 Euro, Tizio vuole fare versamenti semestrali costanti al tasso annuo del 4,8%. Determinare la rata. i2=(1+0,048)1/2-1 = 0,0237 R = 12564,91

esercizi Rendite: ACD: es. 4.2, 4.5, 4.6, 4.9 punto b BC: es. 1,3,5,7,13 Costituzione capitale: ACD: es. 6.1, 6.2, 6.3, 6.5 BC: es.1 punto a, es.5, 8, 12