Automi temporizzati cooperanti (TCA) 

Automi cooperanti (CA)  Un CA consiste di n automi finiti, ciascuno con insieme di stati, stato iniziale e tabella delle transizioni. Gli automi si sincronizzano prendendo le transizioni in accordo con il simbolo letto, il loro stato interno e formule condizionali del tipo ”la componente i è correntemente nello stato q”.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (1)  I TCA estendono i CA: 1.consentendo vincoli temporali sulle transizioni 2.Consentendo passi consistenti di sequenze di transizioni (attività stimolate dall’ambiente ma interne e non urgenti ossia con consumo di tempo non nullo). Un ambiente è una tripla  = dove:  1 : N  2  dà l’insieme dei segnali comunicati a ogni interazione  2 : N  Time dà il tempo a ogni interazione e soddisfa monotonicità e progresso; Time è un dominio del tempo denso  3 : N  Time dà la durata della comunicazionedurante l’interazione, ossia  2 (i) +  3 (i) ≤  2 (i+1)

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (2)  La collezione   delle condizioni ambientali su  è definita induttivamente come segue: True, a    1   2,  1  2,  1  per  1,  2    Per un insieme di simboli di stato Q la collezione delle condizioni interne  Q è definita induttivamente come segue: true, q = , q[  ], q{  } dove   Time  1   2,  1  2,  1  per  1,  2   Q Per consentire passi consistenti di sequenze di transizioni distinguiamo tra stati di input (che iniziano e terminano un’attività) e stati non di input (stati intermedi di un’attività interna. La condizione di accettazione è una condizione di Buchi.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (3)  Un TCA è una tupla M =, dove ogni automa sequenziale M i è una tripla tale che Q i è un insieme finito di stati Q 1,…, Q n disgiunti, Q =  1≤i≤n Q i q 0 i  Q i stato iniziale  i  è la relazione di transizione l’insieme I degli stati di input è tale che  1≤i≤n {q 0 i }  I  Q F  I è l’insieme degli stati accettanti. Una configurazione locale per un automa sequenziale M i è C i =, dove 1) q i  Q è stato abilitato da Q i 2) in i : Q i  Time funzione di abilitazione dello stato dà il tempo più recente in cui lo stato è stato abilitato ed è indefinito se non è stato mai abilitato 3) out i : Q i  Time funzione di disabilitazione dello stato 4)  i  Time tempo locale.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (4)  Una configurazione locale C i = è di input se q i  I. Una configurazione locale C i = è iniziale se q i = q 0 i  i = 0, in i (q 0 i ) = 0 e in i indefinito altrimenti, out i indefinito per ogni q (denotata C 0 i ). Una configurazione globale C è dove: 1) C i configurazione locale 2)  ambiente 3) m  N indica che si tratta della m-esima iterazione, ossia  =.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (5)  Sia C = con C i = allora le condizioni interne True, q[  ], q{  }, q =  sono indefinite a  se  i >  q[  ] valuta a True al tempo  sse  i ≤ ,  q=q i e in i (q)≤  - , ossia q è stato abilitato per un tempo ≤  q{  } valuta a True al tempo  sse q=q i oppure  -  ≤ out(q i )≤ , ossia q è stato disabilitato da al più  q =  valuta a True se e solo se q è stato abilitato da esattamente . La proposizione di ambiente    è valutata interpretando a True i simboli in {true}  {a: a  <  1 (m),  2 (m) ≤  ≤  2 (m)+  3 (m)}.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (6)  Data una configurazione C = c’è una derivazione locale da C i = a C i ’ = denotata C i  C C i ’ se:  i ’   2 (m) 2)   i 3)in i ’(q i ’) =  i ’ e in i ’(q) = in i (q) per q i ≠ q 4)out i ’(q i ) =  i ’ e out i ’(q) = out i (q) per q i ≠ q  valuta a True in  al tempo  i ’ e interazione m  valuta a True in C al tempo  i ’ La derivazione è urgente se non c’è una derivazione locale C i  C C i ” al tempo  ”” ” con max{  i,  2 (m)} ≤  ”<  i ’

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (7)  Un passo locale da una configurazione C = è una sequenza di derivazioni locali C i  C C i 1  …  C C i  C C i ’ denotata C i  C C i ’ dove C i e C i ’ sono configurazioni locali di input e C i  non è una configurazione di input per ogni 1 ≤ j ≤. Il passo è urgente se le configurazioni locali sono urgenti. Il passo locale C i  C C i ’ è ghost se C i = C i ’. Il comportamento di un TCA è una composizione di passi locali che garantisce causalità e massimalità. Il passo locale di una componente è fatto rispetto alle configurazioni locali delle altre componenti che sono o nelle configurazioni iniziali o nelle configurazioni raggiunte nello stesso passo purché ne sia data una giustificazione causale. Un passo è urgente se consiste solo di passi urgenti. Un passo è reattivo se ciascun passo locale termina prima della successiva interazione con l’ambiente.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (8)  Un run R è una sequenza di configurazioni globali C 0, C 1, …, C i, … tale che C 0 è iniziale e C j  C C j+1 per j  0. Se Inf(R) è l’insieme di stati attraversati infinite volte il run ha successo se Inf(R)  F  . Un ambiente è accettato da un TCA se esiste un run di successo a a partire dalla configurazione iniziale con ambiente . Il linguaggio accettato dal TCA è l’insieme dei run di successo.

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (9)  a,True True, q2[m] a,q3=0 a,True q1q2q3q4 F = {q4}

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (10)  Tr1St1q1 q2 St2 Tr2 q3 Start Tr1[0] (w1 or w2) and in q1[5] Not good and trash Q2[3]and St2[3] good Q2[1]and St2[1] cool St2[0] q3[1] St1[0] La macchina M1 riceve materiale rozzo e produce un prodotto finale, la macchina M2 fornisce a M1 il materiale e poi raccoglie il prodotto finale. M1M2

Automi temporizzati cooperanti (TCA) (11)  La macchina M1 finchè M2 è in grado di fornire il materiale (stato Tr1 abilitato) e l’ambiente dà il segnale start. Allora M1 fa la lavorazione se il materiale è presente (segnale in) e c’è una richiesta di produrre il prodotto finale p1 (segnale w1) oppure il prodotto finale p2 (segnale w2). Dopo almeno 5 unità di tempo il prodotto è completo (stato St2 abilitato) e la macchina M2 raggiunge uno stato in cui può raccoglierlo. Dopo una fase di raffreddamento M1 verifica la qualità del prodotto e raggiunge lo stato St1 in una unità di tempo se il prodotto è buono, in tre unità di tempo altrimenti. Dopo questa transizione di M1, M2 raccoglie il prodotto e dopo almeno una unità di tempo fornisce a M1 nuovo materiale.

Proprietà di chiusura  Siano M, M’ TCA. Allora L(M)  L(M’) = L(M  M’) L(M)  L(M’) = L(M  M’) Si ha chiusura per complementazione?

Risultati di espressività (1)  Gli automi con vincoli di orologio periodici TA P hanno vincoli ottenuti applicando liberamente connettivi booleani a proposizioni atomiche x  T  [  1,  2 ] dove x è un orologio e T  [  1,  2 ] = { k  +  ; k  N,  1 ≤  ≤  2 } per ,  1,  2  Time. a  true  x:=0 a, x  T 2 [0,0], x:=0

Risultati di espressività (2)  Gli automi con transizioni silenti TA  hanno transizioni in E  S  S  {  }  2 C  (C). Vale L(TA)  L(TAp)  L(TA  ) a  true  x:=0 ,  1 ≤x≤  2, x:=0 a  x= 0

Risultati di espressività (3)  Sia TCA I un TCA con soli stati di input. Sia STCA un TCA consistente di un solo automa sequenziale. Vale L(STCA IRU )  L(TCA RU )  |  | L(TA)  L(TA P )  L(TA  )  |  |  | L(TCA IRU )  L(TCA U ) L(TCA R )  |  | L(STCA U )  L(STCA RU )  L(STCA R )  | L(STCA)

Risultati di decisione  La vuotezza è decidibile per L(STCA IRU ). Prova. Dalla contenutezza di L(STCA IRU ) in L(TA).