SISTEMI di RIFERIMENTO PIANI

Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] DEFINIZIONE Un sistema di riferimento è un insieme di parametri (presi a coppie o a terne), detti coordinate, che individuano la posizione dei punti (nel piano o nello spazio). Le coordinate sono grandezze, omogenee o eterogenee, con la funzione di individuare la posizione dei punti (nel piano o nello spazio). PER DEFINIRE UN PUNTO : SISTEMI DI RIFERIMENTO CARTESIANI SISTEMI DI RIFERIMENTO POLARI Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano obliquo Consideriamo nel piano due rette (dette assi coordinati) formanti un angolo . Su ciascuna di esse viene fissato un sistema di ascisse in modo che i rispettivi punti origine O coincidano. Y +  O X - + Si dice che è stato fissato nel piano un sistema cartesiano obliquo OXY. - Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano obliquo Y Ad ogni punto P del piano viene associata in modo biunivoco una coppia (xP;yP) di numeri reali omogenei, detti coordinate cartesiane oblique di P. xP P yP yP  O xP X Esse indicano la distanza relativa di P da ciascuna delle rette, rispetto al sistema di ascisse fissato su ciascun asse coordinato. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema cartesiano ortogonale Y Quando l’angolo formato tra i due assi è retto ( = 90°), siamo nella situazione semplificata detta sistema cartesiano ortogonale. La coppia di numeri xP;yP è detta coordinate cartesiane ortogonali di P (xP si dice ascissa di P e yP si dice ordinata di P). xP P yP yP 90° xP O X In questo ambito siamo di una situazione semplificata e di più frequente impiego. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare Consideriamo una semiretta orientata ON nel piano (asse polare). O N Consideriamo l’estremo O come origine della semiretta (polo). + Consideriamo come positivo il senso orario (destrogiro) per la rotazione dei segmenti. Si è così definito un sistema di riferimento polare. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare + Ad ogni punto P viene associata in modo biunivoco una coppia (OP;P) di numeri reali eterogenei, detti coordi- nate polari di P. N OP P OP La prima coordinata polare (detta modulo) è la distanza tra il polo O del sistema e il punto P. La seconda coordinata polare (detta azimut) è l’angolo OP descritto dall’asse polare per sovrapporsi, ruotando in senso orario, alla direzione OP. O Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO il sistema polare OP P OP L’azimut OP è sempre compreso tra 0C e 400C. I punti che hanno lo stesso azimut giacciono tutti su una retta. K OK OK Q OQ OQ T OT OT Il modulo può variare tra 0 (O  P) e valori grandissimi (P lontanissimo da O). I punti che hanno lo stesso modulo giacciono su un cerchio. O La notazione OP può essere sostituita con l’analoga: (OP). Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

trasformazione SISTEMA POLARE  SISTEMA CARTESIANO

TRASFORMAZIONE tra Sistemi di Riferimento La traduzione delle coordinate espresse in un SR in coordinate espresse in un altro SR è sempre possibile in qualsiasi situazione. O X Y  N Tuttavia, per semplicità e per opportunità, imporre-mo le seguenti limitazioni e semplificazioni:  le origini dei due sistemi devono coincidere;  l’asse polare deve coincidere con l’asse delle ordinate del sistema cartesiano. Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

trasformazione POLARI  CARTESIANE DATI INCOGNITE OP; (OP)  XP ; YP O P X Y  N XP YP H Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse, rimane definito il triangolo retto OPH. OP (OP) I cateti di questo triangolo retto sono le coordinate cartesiane di P (XP ; YP). Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

trasformazione SISTEMA CARTESIANO  SISTEMA POLARE

trasformazione CARTESIANE  POLARI DATI INCOGNITE XP ; YP  OP; (OP) O P X Y  N XP YP Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse, rimane definito il triangolo retto OPH. H L’ipotenusa e l’angolo POH di questo triangolo retto sono le coordinate polari di P (OP;(OP)). OP (OP) Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

trasformazione CARTESIANE  POLARI RIFLESSIONE !! Il valore di fornito dalla relazione Y  N XP P è l’azimut (OP) solo se le coordinate cartesiane di P sono entrambe positive (P nel I° quadrante). YP OP (OP) In ogni altro caso (sono 3) l’angolo fornito dalla funzione inversa arctg non è l’azimut cercato, ma un angolo acuto . Tuttavia, partendo da questo, sarà poi possibile risalire rapidamente all’azimut (OP) corretto. O X Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

RICERCA AZIMUT: X pos. Y neg. (+/-) Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse rimane ANCORA definito il triangolo retto OPH (ma nel II°Q.). Y  N Tuttavia, l’angolo POH di questo triangolo non è più l’azimut (OP). Esso, però, può essere calcolato con la seguente procedura composta di due fasi: (OP) O X 1° si calcola  usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P:  –YP OP P H +XP 2° si calcola l’azimut (OP) supplementare di : Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

RICERCA AZIMUT: X neg. Y neg. (-/-) Ripetendo il ragionamento, si applica la procedura composta di due fasi: 1° si calcola l’angolo acuto  usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P: O X  –YP (OP) OP 2° si calcola l’azimut (OP) che differisce da  per un angolo piatto: P H –XP Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

RICERCA AZIMUT: X neg. Y pos. (-/+) Y  N Ripetendo ancora il ragionamento, si applica ulteriormente la procedura composta di due fasi: –XP P H 1° si calcola l’angolo acuto  usando i cateti del triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate di P: OP +YP  X O (OP) 2° si calcola l’azimut (OP) esplementare di : Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

RICERCA AZIMUT: TABELLA RIASSUNTIVA GENERALIZZANDO 1° si calcola l’angolo acuto  usando i valori assoluti delle coordinate di P: Y  N 2° si calcola l’azimut (OP) secondo lo schema della seguente tabella: O X Quad. Segni Azimut I +/+  II +/– 200C –  III –/– 200C +  IV –/+ 400C –  Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

ANGOLO di DIREZIONE di UN LATO

Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629] DEFINIZIONE L’angolo di direzione (o azimut) del lato AB, è l’azimut del secondo estremo B del lato, rispetto a un sistema polare con polo nel primo estremo A del lato e asse polare parallelo all’asse coordinato Y; per indicarlo useremo la notazione (AB). N (BA) Analogamente, l’angolo di direzione (o azimut del lato BA) sarà l’azimut del punto A rispetto a un sistema polare con polo in B e asse polare parallelo all’asse Y; per indicarlo useremo la notazione (BA). Y N B Gli angoli di direzione (AB) e (BA) si dicono RECIPROCI. Essi differiscono tra loro sempre di 200C: (BA) – (AB) = 200C: (AB) A (BA) = (AB) + 200C oppure (BA) = (AB) – 200C O X Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

COORDINATE TOTALI & COORDINATE PARZIALI

Un sistema di riferimento principale è un sistema cartesiano ortogonale OXY, unico in un certo ambito. Le relative coordinate sono dette totali e indicate in maiuscolo. Y Assumiamo poi un altro sistema di riferimento cartesiano con origine in un punto A di coordinate totali XA, YA note, e assi coordinati paralleli a quelli del sistema principale. Chiameremo tale sistema di riferimento sistema secondario Axy, e le coordinate relative di un punto P sono dette in modo sintetico: coordinate parziali di P rispetto ad A, e sono indicate con la notazione (xP)A; (yP)A x y XA A YA B XB YB x y O X C XC YC x y A differenza del sistema principale, i sistemi secondari possono essere numerosi: la loro origine coincide sempre con punti di coordinate totali note (per es. Bxy, Cxy, Dxy…). Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

relazione tra coordinate TOTALI  PARZIALI Tra le coordinate totali dei punti A e B, e quelle parziali di B rispetto al sistema secondario con origine in A [indicate con la notazione (xB)A; (yB)A], si possono scrivere le seguenti relazioni, ovvie e immediate: Y y XB B (xB)A (yB)A YB (xB)A = XB  XA (yB)A = YB  YA XA x A YA quindi: O X XB = XA + (xB)A YB = YA + (yB)A Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]

relazione tra coordinate TOTALI  PARZIALI Assumiamo ora un sistema polare con polo sul punto A ed asse polare coincidente con l’asse secondario delle ordinate y, e perciò parallelo a Y; allora l’azimut (AB) e la distanza AB sono le coordinate polari di B rispetto a questo sistema. Y y  N XB B (xB)A AB (AB) (yB)A Esse possono essere utilizzate per definire le coordinate parziali di B: (xB)A= AB  sen(AB) (yB)A = AB  cos(AB) YB XA x A YA O e ricordando le precedenti: X XB = XA + AB  sen(AB) YB = YA + AB  cos(AB) Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]