RSA e questioni relative Rossella Ascione

Il crittosistema RSA Introduzione al crittosistema RSA Firme digitali e RSA Attacchi a RSA

Il crittosistema RSA 1978 :Ron Rivest, Adi Shamir Leonard Adleman realizza un’intuizione rivoluzionaria di Diffie, Hellmann e Merkle che nel 1976 tentarono di inventare una tecnica di cifratura che non fosse a chiave simmetrica 1978 :Ron Rivest, Adi Shamir Leonard Adleman Crittosistema a Chiave Pubblica

crittosistema a chiave pubblica ciascun utente sceglie una funzione crittografica che dipende da alcuni parametri, ma rende noti solo quelli che permettono di codificare i messaggi a lui diretti, mantenendo segreti quelli necessari alla decodifica Def: Una biezione f:AB viene detta funzione unidirezionale se il calcolo di aєA è realizzabile con una complessità polinomiale per tutti gli a єA , mentre il calcolo di f-1(b) non lo è per quasi tutti i bєB l’inversione della funzione di cifratura fk e computazionalmente difficile per tutti, mittente compreso, ma non per il destinatario che possiede l’informazione necessaria (chiave di decifratura) per il calcolo efficiente di fk−1 .

analogia della ”scatola a due lucchetti” Supponiamo che A desideri mandare un messaggio segreto a B. Allora: 1) A chiude il messaggio in una scatola con un lucchetto LA, di cui solo A ha la chiave, e invia la scatola a B. 2) Ricevuta la scatola, l’utente B aggiunge un lucchetto LB, di cui è il solo a possedere la chiave, e rinvia il tutto ad A. 3) Ricevuta la scatola chiusa con i due lucchetti LA e LB, l’utente A libera la scatola dal proprio lucchetto LA e la rinvia a B. 4) Ricevuta la scatola, l’utente B libera la scatola dal proprio lucchetto LB e legge il messaggio di A.

Dalla precedente analogia della ”scatola con lucchetti”… Diffie, Hellmann e Merkle osservarono ”semplicemente” che un lucchetto si può chiudere senza usare alcuna chiave(!): 1) l’utente A progetta e costruisce un lucchetto e una chiave unica per aprirlo 2) A rende disponibili al pubblico copie del lucchetto, ma conserva la chiave; 3) un qualunque altro utente B che desidera potrà procurarsi una copia di tale lucchetto in un punto di distribuzione; 4) se B desidera inviare un messaggio ad A, allora chiude tale messaggio in una scatola chiusa con il lucchetto di A e la spedisce ad A.

Idea base di RSA A sceglie due primi p, q distinti e sufficientemente grandi Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo φ(n) Rende nota la coppia (n, e) come sua chiave pubblica Tiene segreti la coppia (φ(n), d) come chiave privata

Se B volesse mandare un messaggio ad A… Se un utente B desidera mandare un messaggio segreto ad A deve calcolare l’equivalente numerico x di tale messaggio modulo n e utilizzare la funzione crittografica di A che può esere calcolata da tutti gli utenti del sistema: Ricevuto il messaggio l’utente A utilizza la funzione di decifratura solo a lui nota: La sicurezza del sistema dipende dalla difficoltà di scomporre n nei suoi fattori primi Cioè eleva il messaggio ricevuto a d modulo n.. Infatti poichè Si ottiene Cioè eleva x ad e modulo n e lo invia ad A

È possibile svelare φ(n)? Prop: Sia n=pq con p e q primi. Allora Noti p, q e n, il calcolo di φ(n) ha complessità computazonale O(logn) Noti n e φ(n) il calcolo di p e q ha complessita computazionale O(log3n) Dim: Se n è pari allora p=2 e q=n/2 e φ(n)=n/2-1 Se n è dispari φ(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q) Per mantenere un corretto funzionamento del crittosistema, ogni utente deve tenere segreto, oltre ai parametri p, q e d che ha scelto, anche φ(n) P+q=n+1-φ(n) . Quindi di p e q conosciamo somma e prodotto quindi p e q sono soluzioni dell’eq:X2 –(p+q)x+n=0 Per ricavare p e q abbiamo quindi bisogno dell’estrazione della radice quadrata intera che ha complessita computazionale pari a O(log3n)

Se conosco n, e e d La conoscenza di n, e e d consente di fattorizzare comunque efficientemente n mediante un determinato algoritmo probabilistico che basato sulla scelta casuale di un a Concludendo ogni utente deve Assolutamente tenere Segreto d Si dimostra che iterando u volte la scelta casuale di a si ottiene un algoritmo di fattorizzazione che termina con successo con probabilità maggiore o uguale di e complessità computazionale

Estensione al caso (x,n)>1 Teorema: Sia nєN prodotto di primi distinti. Se m≡1 modφ(n) allora am ≡a mod n per ogni a єZ Si dimostra però che la probabilità di trovare un tale x risulta molto bassa e che la complessità computazionale di tale attacco è maggiore di quello degli algoritmi di fattorizzazione di n Se (n, x)≠1 (n,x)=n (n,x) potrebbe fornire un fattore non banale di n consentendo di violare completamente il crittosistema In particolare si può osservare che un utente B potrebbe determinare i fattori di n generando casualmente un numero sufficientemente grande di elementi x e verificando di volta in volta se (n, x) ≠1

Una versione leggermente diversa di RSA… Funzione di Eulero Funzione di Carmichael A sceglie (se ci riesce) due primi p, q distinti e sufficientemente grandi) Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo φ(n) Rende nota la coppia (n, e) come sua chiave pubblica Tiene segreti p, q e d cioè la coppia (φ(n), d) come chiave privata Vantaggio di tale metodo: L’operazione di decifratura risulta essere più veloce che nel caso standard Calcola λ(n)=φ(n)/(p-1,q-1) Sceglie un numero casuale e di N coprimo con λ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo λ(n)

Il sistema appena presentato si è rivelato essere adatto a soddisfare tutti i requisiti minimi di base (riservatezza, integrità, autenticità, non-ripudiabilità) richiesti ad un buon sistema crittografico dal punto di vista pratico. Ciò grazie alla disponibilità di algoritmi ragionevolmente efficienti, affidabili e rapidi per: generare le chiavi, private e non, degli utenti per testare i parametri soddisfacenti particolari proprietà per calcolare i valori della funzione crittografica per testare il carattere unidirezionale della funzione crittografica

Problema di certificare la nostra identità con una firma digitale Firma digitale e RSA Problema di certificare la nostra identità con una firma digitale CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA

Schema generale di firma digitale A, B utenti di un sistema a chiave pubblica fA e fB funzioni di cifratura (pubbliche) fA-1 e fB-1 funzioni di decifratura (segrete) A desidera mandare un messaggio x a B A manda fB(x) Per certificare la propria identità invia la quantità fB(fA-1(sA)) con fA-1(sA) firma digitale di A e sA un nome convenzionale di A in cui si include un numero progressivo , tempo in cui è stato spedito il messaggio, numero IP della machina speditrice B decifra il messaggio x… Utilizzando fB-1 e ottiene x Per controllare che il mittente sia A applica alla funzione fB(fA-1(sA)) la funzione a lui nota fAfB-1 e ottiene sA Il sistema funziona bene poiché solo A può aver firmato il messaggio poiché solo A conosce fA-1

Rischi di tale sistema Potrebbe esistere un utente intruso C che renda pubblica una chiave attribuendola ad A, divenendo automaticamente capace di spacciarsi per A Introduzione di un ENTE CERTIFICATORE

Rischi di tale sistema Potrebbe capitare che un intruso riesca ad identificare fA-1(sA) utilizzando un numero opportuno di messaggi intercettati Far dipendere la Firma digitale Dal messaggio stesso La firma digitale diviene fA-1(h(M))

h(M) IMPRONTA DI M è una sequenza di bit di lunghezza fissata detta IMPRONTA DI M che viene ottenuta da M mediante una opportuna funzione di hash h Sono funzioni che hanno la caratteristica di non consentire di risalire a M conoscendo solo h(M),e di avere una buona probabilità di non generare collisioni Tale funzione viene messa a disposizione degli utenti dall’ente certificatore, ne viene utilizzata una sola per tutti gli utenti del crittosistema

Come funziona… Per accertarsi dell’assenza di manomissioni B dovrà Applicare a fA-1(h(M)) la fA e otterrà h(M) Ricalcolare l’impronta di M h(M) per mezzo della funzione di hash

Firma digitale: certificazione dell’identità con RSA Problema: gli spazi dei messaggi cifrati sono a priori diversi poiché A lavora su ZnA e B lavora su ZnB in generale diversi. A sceglie una firma digitale sAє ZnA che rende pubblica Per convincere B della propria identità , in calce al proprio messaggio A invia una forma crittografica della firma, e precisamente mA=fB(fA-1(sA)) se nA<nB; mA=fA-1(fB(sA)) se nA>nB Per assicurarsi dell’identità di A, B calcola fA(fB-1 (mA)) se nA<nB; fB-1 (fA(mA)) se nA>nB

Attacchi a RSA Chosen-ciphertext: Un intruso C vuole determinare il testo in chiaro M di una codifica C inviata ad A C Sceglie un intero casuale R e chiede ad A la decodifica del messaggio C1≡ReAC mod nA In questo modo C ottiene ReAdACdA mod nA alla quale applicando R-1 si ottiene M mai applicare la propria funzione di decifratura o la propria firma digitale ad un documento casuale

scelta dei possibili messaggi in chiaro troppo limitati Attacchi elementari: scelta dei possibili messaggi in chiaro troppo limitati Si provano a codificare tutti i messaggi in chiaro fino a che non viene determinato quello la cui codifica è uguale al messaggio intercettato Poiché (e1, e2)=1 con l’algoritmo di euclide si calcola r,sєZ tali che re1+se2=1 e poi calcolare Cr1 Cs2≡Mre1+se2=M mod n Scelta del modulo di n fissata per tutti gli utenti Se A sa che B ha il suo stesso n, allora conosce p, q, φ(n) e d di B 2. Un intruso può ricavare da due codifiche C1 e C2 ricavate mediante due chiavi pubbliche (n, e1) e (n, e2) con (e1,e2)=1, il messaggio M stesso ogni n non deve essere utilizzata da piu’ di un utente

Punti fissi: I messaggi da trasmettere non devono essere dei punti fissi della funzione di cifratura, cioè non deve accadere f(M)≡M mod n Messaggio cifrato = Messaggio in chiaro Per non avere molti punti fissi si dimostra che e deve essere scelto in modo tale che (e-1, p-1, q-1) sia piccolo

Cycling attack: Funzione di cifratura con periodo troppo corto Il più piccolo k tale che: Sia “piccolo” Teorema: Sia (n,e) una chiave pubblica RSA e MєZ*n. Sia r il più grande divisore primo di p-1 e l sia il più grande divisore primo di r-1. Allora P(k≥l) ≥(1-l/r)(1-1/l) Per diminuire la possibilità di cycling attack bisogna scegliere p e q in modo tale che sia r che l siano grandi

Attacco causato da una chiave privata troppo piccola: Teorema(Wiener): Sia p<q<2p, n=pq, . Dati n ed e tali che ed≡1modφ(n),esiste un algoritmo deterministico polinomiale in logn che consente di determinare d Due metodi per non intercorrere in questo tipo di attacco 2. Usare il teorema cinese del resto per ottenere una decifratura “veloce” senza dover scegliere d piccolo Scegliere e>n3/2 con un conseguente aumento del tempo di cifratura

Attacco a partire da una conoscenza parziale della chiave privata(e “piccolo”) Teorema (Boneh, Durfee e Frankel): Sia n≡3mod4, n1/2/2<q<p<2n1/2 e sia d una chiave privata di RSA. Siano note le [log2n]/4 cifre meno significative di d. Sia inoltre e<2[log2n]/4-3. Allora esiste un algoritmo che determina completamente d con complessita polinomiale in logn I seguenti risultati affermano che è possibile ricostruire completamente d nel caso in cui e sia piccolo, a partire da una conoscenza di una frazione dei bit costituenti l’espansione binaria di d.