Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia Furinghetti Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.1

Dictionnaire des mathématiques ou idée générale des mathématiques di Ozanam (1691, Amsterdam) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.2

L’algebra è come il gatto del Cheshire … The algebrization of mathematics, Samuel Eilenberg (1969) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.3

Che cosa è l’algebra e che cosa è stata nella storia? (Freudenthal, What is algebra and what has been in history, 1976) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.4

L’algebra è simbolismo operazionale 2. attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna. Il modo di pensare algebrico è quindi basato su una logica relazionale più che predicativa 3. libertà da ogni questione ontologica e coinvolgimento, e, legato a ciò, astrazione piuttosto che intuizione Michael Mahoney (1971) Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.5

Si cercherà di capire che cosa è l’algebra attraverso ciò che è stata nella storia Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.6

Argomenti trattati parametri, variabili, …algebra scolastica visualizzare l’algebra e scrivere la geometria metodi approssimati e quasi-euristici Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.7

Autori trattati Anonimi Euclide Pappo Diofanto Al-Khwarizmi Viète Descartes Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.8

Argomenti non trattati esplicitazione delle strutture storia dell’insegnamento dell’algebra note biografiche Storia usata come lente di ingrandimento per districare i nodi concettuali fonte di problemi Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.9

Filo rosso: metodo di analisi e sintesi nasce dalla storia (Pappo, Viète,...) va in classe (Smith, Sabbatini, Campedelli) torna alla storia e va in classe (insegnante: Annamaria Somaglia, autore del percorso scelto) flash back flash, ma non pezzi separati Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.10

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.11

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabile a teoremi ed a problemi.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.12

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.13

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa”. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.14

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.15

David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp ) “Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.” Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.16

In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicché PQ vale AP + BQ Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.17