Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 1 - Introduzione Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA.

Introduzione Problema computazionale La relazione formale che intercorre fra l'input e l'output desiderato Algoritmo La descrizione di una sequenza di azioni che un esecutore deve compiere per giungere alla soluzione di un problema Gli algoritmi rappresentano e organizzano input, output e tutti i dati intermedi necessari per lo svolgimento Esempio Input: ingredienti Output: piatto cucinato Algoritmo: ricetta Esecutore: cuoco

Un po' di storia Algoritmi nella storia Papiro di Ahmes (algoritmo per la moltiplicazione) Algoritmi di tipo numerico furono studiati da matematici babilonesi ed indiani Algoritmi in uso fino a tempi recenti furono studiati dai matematici greci più di 2000 anni fa Algoritmo di Euclide per il Massimo Comune Divisore Algoritmi geometrici (calcolo di tangenti, sezioni di angoli, ...)

Un po' di storia Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala Famoso per: essere uno dei padri dell'algebra aver introdotto i numeri indiani nel mondo occidentale un notevole influsso sulle lingue: algorismus, algoritmo, algorithm algebra spagnolo: guarismo portoghese: algarismo

Problema computazionale: esempi Minimo Il minimo di un insieme A è l’elemento di A che è minore o uguale ad ogni elemento di A Ricerca Sia A=a1,...,an una sequenza di dati ordinati e distinti, a1 < a2 < ··· < an. Eseguire una ricerca della posizione di un dato v in A consiste nel restituire l’indice corrispondente, se v è presente, oppure 0, se v non è presente

Algoritmo: esempio Minimo Per trovare il minimo di un insieme, confronta ogni elemento con tutti gli altri; l’elemento che è minore di tutti è il minimo. Ricerca Per trovare un valore v nella sequenza A, confronta v con tutti gli elementi di A, in ordine, e restituisci la posizione corrispondente; restituisci 0 se nessuno degli elementi corrisponde.

Problemi Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi: Descrizione Descritti in linguaggio naturale, imprecisi Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale Valutazione Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti? Dobbiamo definire il concetto di migliore Progettazione Questi problemi sono semplici Problemi più complessi devono essere affrontati con opportune tecniche di programmazione

Come descrivere un algoritmo E' necessario utilizzare una descrizione il più possibile formale Indipendente dal linguaggio: “Pseudo-codice” Particolare attenzione va dedicata al livello di dettaglio Da una ricetta di canederli (google:canederli ricetta), leggo: “... amalgamate il tutto e fate riposare un quarto d'ora...” Cosa significa “amalgamare”? Cosa significa “far riposare”? E perché non c'è scritto più semplicemente “prepara i canederli”?

Esempio: ricerca del minimo in un vettore

Ricerca in un array ordinato Problema Dato un vettore A contenente n elementi, verificare se un certo elemento v è presente Esempi: elenco del telefono, dizionario Una soluzione “banale” Scorro gli elementi in ordine, finché non trovo un oggetto “maggiore o uguale” a v 1 1 5 5 12 12 15 15 20 20 23 23 32 21

Ricerca in un array ordinato

Pseudo-codice

Pseudo-codice Tipi di dato composto Vettori, matrici Record Puntatori

Ricorsione Versioni iterative / ricorsive Ricorsione di coda

Problemi Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi: Descrizione Descritti in linguaggio naturale, imprecisi Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale Valutazione Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti? Dobbiamo definire il concetto di migliore Progettazione Questi problemi sono semplici Problemi più complessi devono essere affrontati con oppurtune tecniche di programmazione

Valutazione algoritmi Risolve correttamente il problema? Dimostrazione matematica, descrizione “informale” Nota: Alcuni problemi non possono essere risolti Nota: Alcuni problemi vengono risolti in modo approssimato Risolve il problema in modo efficiente? Definizione di “efficienza”? Alcuni problemi non possono essere risolti in modo efficiente Esistono soluzioni “ottime”: non è possibile essere più efficienti Quali altre proprietà entrano in gioco? Semplicità, modularità, manutenibilità, espandibilità, sicurezza e robustezza

Valutazione algoritmi - correttezza Concetto di invariante Condizione sempre vera in un certo punto del programma Esempi: Invariante di ciclo: una condizione che è sempre vera all'inizio di un ciclo “inizio del ciclo”: da definire Invariante di classe: una condizione che è sempre vera al termine dell'esecuzione di un metodo su una classe Da dove “salta fuori” un invariante? Ovviamente, dalla definizione del codice; ovvero, chi scrive il codice ha in mente un invariante, e scrive il codice in modo opportuno. Per dimostrare la correttezza di un algoritmo, dobbiamo dimostrare che l'invariante è effettivamente rispettato.

Valutazione algoritmi - correttezza Invariante di min() All'inizio di ogni iterazione del ciclo for, la variabile min contiene il minimo parziale degli elementi A[1 .. i − 1] Da dove “salta fuori” un invariante? Ovviamente, dalla definizione del codice; ovvero, chi scrive il codice ha in mente un invariante, e scrive il codice in modo opportuno. Per dimostrare la correttezza di un algoritmo, dobbiamo dimostrare che l'invariante è effettivamente rispettato.

Valutazione algoritmi - correttezza Il concetto di invariante di ciclo ci aiuta a dimostrare la correttezza di un algoritmo: Inizializzazione (caso base): la condizione è vera all'inizio Conservazione (passo induttivo): se la condizione è vera prima di un'iterazione del ciclo, allora rimane vera al termine (quindi prima della successiva iterazione) Conclusione: Quando il ciclo termina, l'invariante deve rappresentare la “correttezza” dell'algoritmo Domanda Dimostrare che l'invariante di min() è rispettato Induzione Passo base: all’inizio del primo ciclo i = 2 e A[1..1] contiene il solo elemento A[1], che è stato precedentemente copiato in min. Passo induttivo: se min contiene il minimo di A[1..i − 1] all’inizio di un’iterazione, possono darsi due casi: se A[i] è minore di min, esso è il minimo di A[1..i], e viene correttamente copiato in min; altrimenti min rimane invariato. In entrambi i casi, il passo induttivo è dimostrato. Conclusione: al termine del ciclo, i=n+1 e min contiene il minimo di A[1..n]

Valutazione algoritmi - correttezza Domanda: dimostrazione di correttezza di binarySearch() Suggerimento: per induzione sulla dimensione dell’input Dimensione sottovettore n=j-i+1 Caso base: Se n=0, i=j+1; la condizione del primo if è vera e binarySearch() restituisce correttemente 0 Passo induttivo per n>0: supponiamo che la condizione sia vera per ∀n’<n. Allora, i ≤ j, la prima condizione è falsa. Se si trova il valore nell’indice mediano, l’algoritmo termina restituendo questo indice; altrimenti il valore (se presente) si trova sicuramente prima o dopo l’indice mediano, a causa dell’ordinamento. Il vettore in cui cercare avrà quindi dimensione massima ⌊n/2⌋<n, e la chiamata ricorsiva verrà eseguita correttamente per l’ipotesi induttiva.

Valutazione algoritmi - efficienza Complessità di un algoritmo Analisi delle risorse impiegate da un algoritmo per risolvere un problema, in funzione della dimensione e dal tipo dell'input Risorse Tempo: tempo impiegato per completare l'algoritmo Spazio: quantità di memoria utilizzata Banda: quantità di bit spediti Algoritmi distribuiti

Valutazione algoritmi - efficienza Contiamo il numero di confronti per il problema del minimo Algoritmo “banale” accennato nell’introduzione: n(n-1)/2 Algoritmo più efficiente: n-1 Perché contare i confronti? Da dove “salta fuori” un invariante? Ovviamente, dalla definizione del codice; ovvero, chi scrive il codice ha in mente un invariante, e scrive il codice in modo opportuno. Per dimostrare la correttezza di un algoritmo, dobbiamo dimostrare che l'invariante è effettivamente rispettato.

Valutazione algoritmi - efficienza Contiamo il numero di confronti per il problema della ricerca Algoritmo “banale” accennato nell’introduzione: n-1 Algoritmo più efficiente: log n Da dove “salta fuori” un invariante? Ovviamente, dalla definizione del codice; ovvero, chi scrive il codice ha in mente un invariante, e scrive il codice in modo opportuno. Per dimostrare la correttezza di un algoritmo, dobbiamo dimostrare che l'invariante è effettivamente rispettato.

Valutazione algoritmi - altre proprietà L’elenco può essere lungo: Semplicità, modularità, manutenibilità, espandibilità, sicurezza e robustezza Out-of-scope per algoritmi e strutture dati Ingegneria del software Un commento: Alcune proprietà hanno un costo aggiuntivo in termini di prestazioni Codice modulare → costo gestione chiamate Java bytecode → costo interpretazione Progettare algoritmi efficienti è un prerequisito per poter pagare questi costi

Problemi Le descrizioni precedenti presentano diversi problemi: Descrizione Descritti in linguaggio naturale, imprecisi Abbiamo bisogno di un linguaggio più formale Valutazione Esistono algoritmi “migliori” di quelli proposti?Dobbiamo definire il concetto di migliore Progettazione Questi problemi sono semplici Problemi più complessi devono essere affrontati con oppurtune tecniche di programmazione

Come organizzare un algoritmo Liste Base di conoscenza Strutture di dati Problemi “classici” e loro soluzioni Tecniche di progettazione Divide-et-impera Programmazione dinamica Greedy Ricerca locale Backtrack Probabilismo