R. Soncini Sessa, MODSS, S27 Stima degli effetti (Wald) Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

R. Soncini Sessa, MODSS, Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Descrizione di un sistema incerto

R. Soncini Sessa, MODSS, Descrizione dei disturbi Nel problema di Laplace  t+1 ~  t 1 Descrivo  t tramite un vettore (avente dimensione pari al numero di valori che il disturbo può assumere) in cui l’i-esimo elemento vale 1 se il corrispondente disturbo è realizzabile, 0 in caso contrario. Insieme dei disturbi realizzabili. tt  t+1 Nel problema di Wald  t+1   t

R. Soncini Sessa, MODSS, Modello di un sistema incerto xtxt x t Quando il sistema è incerto, non sappiamo con che probabilità un dato stato si realizzi, ma solo se può realizzarsi o meno, cioè se è raggiungibile. Descriviamo gli stati raggiungibili tramite un vettore  t booleano.

R. Soncini Sessa, MODSS, D D Sistema stocastico e sistema incerto Sistema con disturbo stocastico (sistema stocastico) Sistema con disturbo incerto (sistema incerto) tt t G G 1

R. Soncini Sessa, MODSS, S D G Fissata la politica Le transizioni possibili tt x t+1 = 1x t+1 = 2x t+1 = 3 x t = 1ut = Sut = S100 u t = D110 u t = G011 x t = 2u t = S101 ut = Dut = D101 ut = Gut = G111 x t = 3ut = Sut = S010 ut = Dut = D001 ut = Gut = G001 x t = 4ut = Sut = S111 ut = Dut = D001 ut = Gut = G101 u t = S100u t = D101ut = Gut = G001ut = Gut = G G

R. Soncini Sessa, MODSS, Le transizioni possibili a politica data x t+1 = 1x t+1 = 2x t+1 = 3 x t = 1u t = S100 u t = D011 u t = G101 x t = 2u t = S101 u t = D101 u t = G111 x t = 3u t = S010 u t = D001 u t = G001 x t = 4u t = S111 u t = D001 u t = G101 u t = S100u t = D101u t = G Fissata la politica

R. Soncini Sessa, MODSS, Le transizioni possibili a politica data

R. Soncini Sessa, MODSS, La funzione di transizione xtxt x t

R. Soncini Sessa, MODSS, La funzione di transizione xtxt x t

R. Soncini Sessa, MODSS, La funzione di transizione L’operatore  effettua una moltiplicazione riga per colonna tale che: quando lo stato x j è raggiungibile al tempo t+1, quando cioè esiste almeno un disturbo ε t+1 che realizza. la transizione da almeno uno stato x i, raggiungibile al. tempo t, allo stato x j in presenza del controllo. cioè: 

R. Soncini Sessa, MODSS, t= t= Esempio

R. Soncini Sessa, MODSS, t= t= t= Esempio

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio 0 t= t= t=2 11 ? ? ?

R. Soncini Sessa, MODSS, max [ ] =  Esempio 0 1 t= t= t=2

R. Soncini Sessa, MODSS,  Esempio 1 t= t= t= max [ ] = 2

R. Soncini Sessa, MODSS, Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Analogie col problema di Laplace

R. Soncini Sessa, MODSS, Analogie Si notino le analogie con il problema di Laplace Vettore delle probabilità  t Matrice di transizione B t Vettore degli stati raggiungibili Matrice di transizione W t E’ un sistema non lineare il cui stato è e il controllo è m t ().  LaplaceWald

R. Soncini Sessa, MODSS, Analogie Si osservi in particolare che  t può essere pensato come una quantizzazione booleana di  t. Così pure  t è una quantizzazione di π t. Gli 1 individuano i valori realizzabili o raggiungibili.

R. Soncini Sessa, MODSS, Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Calcolo dei singoli obiettivi

R. Soncini Sessa, MODSS, Calcolo dei singoli obiettivi orizzonte finito Si noti che la formula esprime l’ovvio fatto che il massimo costo è il massimo tra i costi massimi di tutte le transizioni che possono realizzarsi e i costi negli stati finali raggiungibili. È sufficiente simulare il sistema incerto per ottenere la traiettoria  0   1,…, degli insiemi raggiungibili. L’insieme    è l’insieme in cui è raggiungibile il solo stato Il valore del j-esimo obiettivo in un problema su orizzonte finito è:

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio a 10 t 

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio b t

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio c t

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio d t max

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio e t max 9

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio f t max 9 5

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio g t

R. Soncini Sessa, MODSS, Esempio h t Si comprende, quindi, che la formula esprime l’ovvio fatto che il massimo costo è il massimo tra i costi massimi di tutte le transizioni che possono realizzarsi e i costi negli stati finali raggiungibili. 9 9

R. Soncini Sessa, MODSS, Calcolo dei singoli obiettivi orizzonte infinito Ne consegue che non è necessario simulare il sistema su un orizzonte infinito, ma è sufficiente determinare il ciclo degli insiemi raggiungibili. Il massimo costo per passo del j-esimo obiettivo è quindi dato dalla seguente formula: Se l’orizzonte temporale è infinito e il sistema è periodico, è possibile dimostrare che, sotto ipotesi molto ampie, la traiettoria... converge in tempo finito a un ciclo 

R. Soncini Sessa, MODSS, Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Rappresentazione delle traiettorie

R. Soncini Sessa, MODSS, x t T 120 Per ogni passo temporale ho un insieme di stati raggiungibili, Tutte le traiettorie saranno contenute all’interno del tubo In questo modo, dato che il tubo comprende tutti e soli gli stati raggiungibili, è come se si fosse eliminata l’incertezza. che nel complesso costituiscono un “tubo” N.B.: Si comprende che il sistema controllato avrà una prestazione garantita (prestazione massima certa): il caso peggiore in tutto il tubo.

R. Soncini Sessa, MODSS, Leggere MODSS Cap. 18 VERBANO Cap. 8

R. Soncini Sessa, MODSS, Si noti la dualità Laplace + max Wald Vettore di stato