Conservazione della quantità di moto

Introdurremo questo nuovo argomento definendo il centro di massa di un corpo. Fino adesso abbiamo studiato il moto dei corpi adottando in molti casi la definizione di punto materiale, o particella, cioè un corpo di massa m ma dimensioni infinitesime. In effetti nel caso del moto traslatorio di un corpo di dimensioni finite, ciascun punto del corpo in questione effettua, istante per istante, lo stesso spostamento di ogni altro punto. Quindi il moto di una singola particella rappresenta bene il moto dell’intero corpo. E in effetti, anche se il corpo è soggetto a delle vibrazioni o ruota su se stesso, possiamo comunque rappresentare il suo moto traslatorio col moto di un suo particolare punto detto centro di massa del corpo in questione.

Similmente, se abbiamo un sistema di particelle, possiamo descrivere il moto traslatorio dell’intero sistema col moto del centro di massa del sistema. Cominciamo quindi col definire il centro di massa. Cominciamo col caso semplice di un sistema costituito da due sole particelle di massa m1 e m2 distanti rispettivamente x1 e x2 da una certa origine 0 in un sistema unidimensionale descritto dall’asse x . Battezziamo la coordinata del centro di massa Il centro di massa (C.M.) è il punto localizzato ad una distanza xCM dall’origine 0, dove xCM vale: xCM = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)

Questo punto ha la proprietà che il prodotto della massa totale del sistema per la distanza di questo puto dall’origine è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascuna particella per la sua distanza dall’origine. (m1 + m2) xCM = m1x1 + m2x2 m2 m1 x x1 x2 In sostanza, xCM può essere considerato come la media pesata di x1 e x2 In questa media pesata delle distanze, il fattore peso per ogni particella è la frazione della massa totale del sistema posseduta da quella particella.

In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C. M In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C.M. di un sistema altro non è che il suo baricentro: sappiamo dell’esperienza quotidiana che se vogliamo tenere in equilibrio un corpo in cui la distribuzione delle masse non è uniforme non dobbiamo posizionarlo nella sua «metà» ma nel suo baricentro.

xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi M xCM = ∑ mi xi Analogamente, se abbiamo un sistema di N particelle disposte lungo una retta (per esempio l’asse delle x) il centro di massa del sistema, riferito ad una certa origine, è localizzato nel punto di coordinata: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi Dove x1 x2 …………….. xN rappresenta la coordinata di ognuna delle N particelle Poiché ∑ mi è la massa totale del sistema M potremo scrivere: M xCM = ∑ mi xi

xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3) Supponiamo adesso di avere 3 particelle, non disposte lungo una retta, ma contenute in un piano x-y come per esempio in figura. y m3 y3 m1 y1 m2 y2 x1 x2 x3 x Il centro di massa di questo sistema di 3 particelle è individuato dal punto le cui coordinate, misurate rispetto all’origine 0, sono date da: xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3) yCM = (m1y1 + m2y2 + m3y3) / (m1 + m2 + m3)

y x xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi Analogamente, per un gran numero di particelle contenuto nel piano x-y: y x Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi

y x z xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi E per un gran numero di particelle distribuite in un volume x-y-z: y x z Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate: xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi zCM = ( ∑ mi zi ) / ∑ mi

e dalla posizione relativa di esse Ci si può facilmente rendere conto che la posizione del centro di massa è indipendente dal sistema di coordinate usato: Il centro di massa di un sistema di particelle dipende solo dalle masse delle particelle e dalla posizione relativa di esse

xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi Un corpo di dimensioni finite, quello che normalmente in Fisica è denominato «corpo rigido» può essere pensato come un sistema di particelle «molto fitto». Anche per un corpo rigido pertanto possiamo definire il centro di massa. Il numero di particelle (per esempio di atomi!!!) di norma è così elevato , e la distanza fra particella così piccola, che risulta più conveniente trattare il corpo come una distribuzione continua di massa. Per comprendere il processo al limite che applicheremo in questo caso e che ci porterà verso l’utilizzo di un integrale, immaginiamo in prima istanza di dividere il corpo in questione in tanti cubetti elementari, ognuno di massa Δmi, localizzati approssimativamente nei punti di coordinate xi y i zi . Le coordinate del centro di massa saranno date approssimativamente da: xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi zCM = ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi

Ora, supponiamo di dividere il corpo in esame in cubetti sempre più piccoli, facendo tendere quindi Δm 0 e il numero di cubetti N  ∞ (infinito). Dividiamo in sostanza il corpo in questione in un numero infinito di volumetti di massa infinitesima. Le coordinate del centro di massa potranno essere definite in modo esatto come segue: xCM = lim ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi = x dm / dm = (1/M ) x dm yCM = lim ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi = y dm / dm = (1/M ) y dm zCM = lim ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi = z dm / dm = (1/M ) z dm ∫ ∫ ∫ Δmi  0 ∫ ∫ ∫ Δmi  0 ∫ ∫ ∫ Δmi  0

E facile rendersi conto che le tre coordinate xCM yCM yCM sono le coordinate del vettore posizione definito in uno spazio x-y-z. Questo definisce in un’unica equazione vettoriale il centro di massa di un corpo: sCM = s dm / dm

Considerazioni di simmetria Spesso tratteremo corpi omogenei (densità costante in funzione della posizione (x,y,z) che possiedono un punto, una linea o un piano di simmetria. In questo caso il centro di massa cadrà in quel punto, o lungo quella linea, o su quel piano. Per esempio, una sfera omogenea possiede un punto di simmetria: il suo centro, e infatti è lì che è localizzato il suo centro di massa.

Il moto del centro di massa A prima vista potrebbe sembrare superfluo affrontare la questione del moto del centro di massa. Per esempio nel caso del moto di un corpo rigido, è abbastanza intuitivo rendersi conto che il moto del centro di massa altro non è che il moto traslatorio dello stesso corpo. Tuttavia, nel caso in cui il sistema in esame non è un corpo rigido, ma è per esempio un insieme di particelle, la cosa va trattata con maggiore attenzione.

M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt Consideriamo quindi un sistema di particelle, distribuito per semplicità lungo l’asse x: x Risulta che: M xCM = m1x1 + m2x2 + ……….+ mNxN Derivando questa equazione rispetto al tempo si ottiene: M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt M vCMx = m1 v1x + m2 v2x + …………… mN vNx in cui individuiamo la velocità del centro di massa e le velocità delle singole particelle lungo l’asse x. Derivando ancora rispetto al tempo, scriveremo che: M a CMx = m1 a1x + m2 a2x + …………… mN aNx

M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx Risulta in sostanza: M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx Analoghe equazioni per gli assi y e z potranno essere determinate per il caso di un sistema di particelle distribuite in un volume. Le tre equazioni scalari M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx M a CMy = F1y + F2y + ………. FNy M a CMz = F1z + F2z + ………. FNz Possono essere riunite in un’unica equazione vettoriale: M a CM = F1 + F2 + ………. FN

Questa formula (che ci riconduce alla II Legge di Newton): M a CM = F1 + F2 + ………. FN stabilisce in sostanza che: il prodotto della massa complessiva del gruppo di particelle per l’accelerazione del centro di massa è uguale alla somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul sistema di particelle Poiché eventuali forze interne saranno a due a due equali e contrarie (III Legge di Newton) considereremo solo le forze esterne Cioè il moto del centro di massa sarebbe quello che risulterebbe se tutta la massa fosse concentrata in quel punto e se su questo punto agisse una forza pari alla risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema: Fest = M aCM

Questa conclusione vale per qualsiasi configurazione del corpo o del sistema di particelle, sia che si tratti di un corpo rigido in cui tutte le particelle occupano posizioni fisse, sia per un agglomerato di particelle in cui le posizioni relative possono cambiare (moto interno). Qualunque sia il sistema, e comunque possano muoversi le sue parti, il centro di massa si muove sempre obbedendo alla relazione: Fest = M aCM

Quantità di moto di una particella La quantità di moto di una particella di massa m e velocità v è un vettore denominato p definito dalla relazione: p = mv Può essere utile ricordare che Newton nei suoi famosi Principia, enunciò la II Legge proprio in base alla quantità di moto, affermando cioè che: la rapidità di variazione nel tempo della quantità di moto di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze agenti su di esso ed è diretta parallelamente a tale forza. Che implica la seguente formulazione matematica: F = dp/dt Poiché p = mv, se la massa è costante, questa formula si riduce a F = m dv/dt  F = ma Che è la formulazione della II Legge di Newton che già conosciamo.

F = dp/dt = d(mv)dt F = v dm/dt + ma d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt Nota: Ma scritta come F = dp/dt la II Legge ha indubbiamente delle conseguenze: F = dp/dt = d(mv)dt In generale, in accordo con le regole del calcolo differenziale scriveremo: d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt E cioè: F = v dm/dt + ma Il che soltanto se m=costante si riduce alla formulazione F = ma Nota: Finché applichiamo la II Legge ad un sistema con un numero fisso di particelle (tipicamente un corpo rigido), poiché in fisica classica la massa di una particella (punto materiale) è costante, la formulazione in questione F = dp/dt si riduce alla formulazione più semplice F = ma

Tuttavia, se consideriamo un sistema in cui per qualche ragione la massa viene espulsa (per esempio un razzo con il suo carico di carburante: il razzo brucia il suo carburante e lo espelle sotto forma di gas), in questo caso è più appropriato adottare la formulazione più generale della II Legge di Newton Quindi anche in fisica classica, in molti casi appare più corretto applicare la II Legge nella su formulazione più generale: F = dp/dt

p = m0v / (1−v2/c2)1/2 m = m0 / (1−v2/c2)1/2 p = mv Nella Teoria della Relatività di Einstein la legge nella forma F = ma non è valida, ma vale ancora nella forma più generale F = dp/dt purché la quantità di moto non sia scritta nella forma p = m0v ma piuttosto nella forma: p = m0v / (1−v2/c2)1/2 adottando quindi una nuova definizione di massa m = m0 / (1−v2/c2)1/2 In questa formulazione della massa, m0 è la cosiddetta massa a riposo . Con questa formulazione della massa, la quantità di moto in relatività generale può essere quindi di nuovo scritta: p = mv

Quantità di moto di un sistema di particelle Supponiamo di avere un sistema di N particelle di massa m1 m2 ……mN cosicché la massa totale del sistema risulti: M = m1 + m2 ……+ mN Le particelle possono interagire fra di loro e su ognuna di esse possono agire forze esterne. Ciascuna particella avrà una sua velocità vi e quindi una sua quantità di moto pi. = mivi Il sistema nel suo insieme ha quindi una quantità di moto totale P data da: P = p1 + p2 ……+ pN Derivando questa equazione rispetto al tempo si ha: d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt

d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt Data la: d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt abbiamo visto che d p1/dt è la forza F1 che si esercita sulla particella 1, così via. Di conseguenza, la precedente equazione può essere scritta come: d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN Il secondo membro di questa equazione è la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulle particelle. Queste forze saranno in generale sia forze esterne cioè forze esercitate da agenti esterni al sistema, sia forze interne cioè le forze che le particelle esercitano una sull’altra (e che si annullano a coppie).

F1 m1 m3 F3 F2 m2 F ext = F1 + F2 + F3 F2 F3 F1 F ext Possiamo immaginare questo insieme di forze come una cosa del genere: Dove: Forze interne (eguali e contrarie a coppie) Forze esterne F1 m1 m3 F3 F2 m2 In base alla III Legge di Newton sappiamo che le forze interne daranno un contributo nullo alla risultante del forze, in quanto eguali a contrarie (a coppie), quindi la risultante delle forze nel caso illustrato sarà semplicemente dovuto a: F ext = F1 + F2 + F3 F2 F3 Questa è la risultante delle forze che applicata al centro di massa del sistema tiene conto del moto del sistema nel suo insieme CM F1 F ext

d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN d P/dt = F ext d P/dt = d(MvCM ) / dt Pertanto, l’equazione scritta in precedenza: d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN diventa: d P/dt = F ext D’altra parte, avevamo già visto che: F ext = d(MvCM ) / dt Da cui: d P/dt = d(MvCM ) / dt Cioè: La quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa complessiva del sistema per la velocità del centro di massa.

Conservazione della quantità di moto Supponiamo che la risultante F ext delle forze esterne agenti sul sistema sia nulla In questo caso, in base a quanto abbiamo scritto in precedenza: dP/dt = F ext risulterà: d P/dt = 0 ovvero P = costante Cioè: Quando la risultante delle forze agenti su un sistema è nulla, il vettore quantità di moto del sistema rimane costante. Questo è il Principio di conservazione della quantità di moto che possiamo anche enunciare affermando che La quantità di moto di un sistema isolato si conserva

Quindi la quantità di moto di un sistema può essere variata solo da forze esterne agenti sul sistema. Le forze interne, essendo uguali e contrarie a coppie, producono variazioni «locali» della quantità di moto che si annullano a vicenda.

p1 + p2 ……+ pN = P p1 + p2 ……+ pN = costante Per un sistema di particelle p1 + p2 ……+ pN = P quindi quando P = costante (cioè il sistema di particelle è isolato) si ha: p1 + p2 ……+ pN = costante Questo implica che le quantità di moto delle singole particelle possono cambiare, ma la quantità di moto dell’intero sistema rimane costante.

L’equazione che rappresenta il principio della conservazione della quantità di moto che abbiamo appena scritto: p1 + p2 ……+ pN = costante è una equazione vettoriale, che pertanto ci fornisce tre equazioni scalari, una per ogni coordinata. Quindi: La conservazione della quantità di moto ci fornisce tre condizioni per il moto di un sistema. La conservazione dell’energia, che è uno scalare, ci fornisce invece una sola condizione.

Vediamo cosa ha a che fare tutto questo con l’intuizione che avevamo avuto sin dall’inizio riguardo alla conservazione della quantità di moto. Rivediamo quegli esperimenti simulati sugli urti fra le biglie, esperimenti che formalizzeremo meglio nel corso della prossima lezione che sarà proprio dedicata agli urti

Avevamo considerato il seguente esperimento Una biglia si trova lungo il percorso di un’altra biglia Con l’urto, la biglia bersaglio schizza via con una velocità v2 > v1

Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1 Viceversa: Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1

Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo: Alla luce di quello che abbiamo imparato oggi, possiamo affermare che la quantità di moto del sistema costituito dalle due biglie si conserva. Questo in quanto si tratta indubbiamente di un sistema isolato. Quindi potremo scrivere: m1 v1 + m2 v2 = P0 = costante All’inizio, quando la sola biglia m1 è in moto avremo: P0 = m1 v1 Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo: P0 = m2 v2 = m1 v1  m2 v2 = m1 v1  v2 = v1 m1 / m2 Cioè: la velocità acquisita dalla biglia bersaglio è proporzionale alla massa della biglia incidente e alla sua velocità, ed è inversamente proporzionale alla sua massa

E infatti facendo esperimenti con biglie incidenti sempre più pesanti, Avevamo osservato esattamente questo fenomeno !

Esperimenti eseguiti sempre sulla stessa biglia «bersaglio», utilizzando di volta in volta biglie incidenti sempre più pesanti, che si muovo però alla stessa velocità

E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che In sostanza, su base empirica, avevamo intuito che a parità di velocità della biglia incidente, la velocità che acquista la biglia bersaglio aumenta in funzione dalla MASSA della biglia incidente v2 = f (m1) E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che v2 = v1 m1 / m2

Pur non avendo ancora definito la «velocità» in termini operativi, ma basandoci sulla nostra esperienza quotidiana, avevamo supposto di sapere fare queste misure. Immaginando di misurare le varie velocità v acquisite dalla stessa biglia bersaglio ad ogni urto, e riportando i valori di v in un grafico in funzione della massa m della biglia incidente: v v = k m v3 v2 v1 m1 m2 m3

v bersaglio = k mincidente Quindi: a parità di velocità della biglia incidente, la velocità v acquisita dalla biglia bersaglio risultava proporzionale alla massa della biglia incidente v bersaglio = k mincidente Facendo ulteriori esperimenti con biglie bersaglio di massa m differenti, e con biglie incidenti con velocità vi differenti, e riportando su grafico i dati, si intuiva che: k = v/m e cioè: v = (vi/m) m incid mv = mi vi Avevamo anche preannunciato che trascurare la «velocità residua» della biglia incidente dopo l’urto, non sempre è corretto. Vedremo meglio il perché nella prossima lezione

P0 = m2 v2 = m1 v1 PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM Alla luce di quanto abbiamo imparato oggi sul centro di massa, è interessante descrivere il moto del centro di massa dell’esperimento fatto: Infatti, oggi abbiamo visto che: Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto. Abbiamo appena visto che in questo sistema, all’inizio la quantità di moto è tutta nella biglia 1 e alla fine è tutta nella biglia 2, per cui : P0 = m2 v2 = m1 v1 Per il centro ci massa, in accordo con quanto abbiamo imparato oggi scriveremo: PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM

PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM P0 = m2 v2 = m1 v1 m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM Abbiamo quindi: PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM P0 = m2 v2 = m1 v1 m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM m2 v2 = ( m1 +m2 )vCM vCM = m1 v1 / ( m1 +m2 ) = m2 v2 / ( m1 +m2 )

RIASSUMIAMO COSA ABBIAMO IMPARATO SULLE LEGGI DI CONSERVAZIONE La quantità di moto è un vettore. La legge della conservazione della quantità di moto ci fornisce quindi tre equazioni scalari: una per ciascuna coordinata L’energia invece è uno scalare: La legge di conservazione dell’energia ci fornisce soltanto una equazione scalare.