Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità. Un percorso didattico ancora sulla legge della moltiplicazione probabilità che dipendono da altre L. Cappello, C. Bonmassar a cura di L. Cappello 12 Giugno 2014 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Didattica della probabilità e della statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi letture per la classe oppure approfondimento per alcuni che poi espongono Il daltonismo Noto il patrimonio genetico dei genitori, sono indipendenti gli eventi “avere un figlio daltonico” e “avere un figlio maschio”? Alcune abilità coinvolte: interpretare un testo scientifico-matematico modellizzare in vari modi schemi con frecce, diagramma di Punnet, grafo ad albero, … effettuare collegamenti con le altre discipline raccomandato nelle Indicazioni nazionali - giustificare e argomentare Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico 18 giugno 1964. Los Angeles. Juanita Brooks viene derubata. I testimoni individuano sei caratteristiche dei due responsabili: uomo di colore con la barba uomo con i baffi donna bianca con capelli biondi - donna con la coda di cavallo coppia mista in un’automobile automobile gialla 1/10 1/4 1/3 1/1000 E’ arrestata la coppia Malcom e Janet Collins. Presenta tali caratteristiche. L’accusa stima la probabilità che una coppia possieda una di tali caratteristiche. Qual è la probabilità che una coppia qualunque possieda le 6 caratteristiche? … per il consulente Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico 1964. La giuria dichiara colpevole la coppia arrestata. 1968. La corte suprema dello Stato della California annulla la sentenza. Quali errori sono stati commessi nel primo processo? Esaminiamone uno. La legge della moltiplicazione ha la forma p(A e B) = p(A) ∙ p(B) solo se A, B sono indipendenti. Ma le 6 caratteristiche (A = “uomo di colore con la barba” … ) non sono indipendenti! Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico esaminiamo l’errore mediante un esempio In un Istituto 1 studente su 30 pratica lo scialpinismo, 1 su 10 l’arrampicata. La probabilità che un suo studente scelto a caso pratichi entrambi gli sport è Per applicare la legge della moltiplicazione serve sapere la percentuale di scialpinisti dell’Istituto che arrampica. - Tra gli scialpinisti, gli arrampicatori saranno (ragionevolmente) più di 1/10, che è il rapporto relativo all’intera scuola. Praticare lo scialpinismo ed arrampicare non sono eventi indipendenti! Se, tra gli scialpinisti, gli arrampicatori sono 1/4, allora la probabilità richiesta è Quindi attenzione nell’applicare la legge della moltiplicazione! Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno due tra esse compiano gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)? Attività - Esaminare i compleanni di alcune classi - Ogni studente scrive un naturale “a caso” tra 1 e 365; poi si confrontano i numeri scritti - Esaminare i compleanni dei titolari e dell’arbitro (22+1) di alcune partite di calcio della squadra del cuore Mondiale di calcio 2014. Ogni squadra deve convocare 23 giocatori. Per 15 squadre su 32: almeno due giocatori compiono gli anni nello stesso giorno. (dati da wikipedia, 1/06) gli studenti formulano delle congetture sul risultato del problema iniziale Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Risolviamo il problema - un caso più semplice: alla festa ci sono 3 persone un suggerimento: consideriamo l’evento complementare risoluzione e osservazioni - le ipotesi: non condizioni astratte … le nascite secondo l’Istat la formalizzazione: esigenza di precisione e coincisione Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Diamo i numeri … Ad una festa scommetti che almeno due partecipanti compiano gli anni in uno stesso giorno. Affinché la tua probabilità di vittoria sia maggiore del 50%, i partecipanti devono essere più di 182? p n Qual è il più piccolo naturale per cui tale probabilità è maggiore di un dato valore? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo Vogliamo comprendere Perché la probabilità del problema iniziale è “grande”? Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno una tra esse compia gli anni nel tuo stesso giorno (oltre a te)? L’idea: - nel pb iniziale (“in uno stesso giorno”) i casi favorevoli non sono 23 intervengono le coppie di persone … 23 ∙ 22 /2 - in questo pb (“nel tuo stesso giorno”) le coppie sono 22 un approfondimento: compleanni e coincidenze Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni già incontrate nelle attività precedenti, ora approfondiamo (secondo biennio) Tavole di mortalità - ISTAT 2010 età num. viventi maschi num. viventi femmine 100.000 40 97.921 98.918 70 81.482 89.879 scelta a caso popolazione stazionaria Qual è la probabilità che una quarantenne viva almeno fino a 70 anni? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni età n. viventi maschi n. viventi femmine 100.000 40 97.921 98.918 70 81.482 89.879 Vale Perché le due probabilità sono diverse? In “70 da 40” usiamo informazioni in più probabilità condizionata Più precisamente - casi favorevoli: {70-enni} - casi possibili di “70 da 40”: {40-enni} di “70”: insieme I {40-enni} {70-enni} I si ha {40-enni} I Un’altra giustificazione Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni Fumatori Su una popolazione di 1.000.000 individui, 32.700 hanno una certa malattia; di questi ultimi, 22.300 sono fumatori. I fumatori costituiscono il 20% della popolazione. Qual è la probabilità di avere tale malattia per un fumatore? F = {fumatori} M = {ammalati} U = {individui pop.} Insieme dei nuovi “casi possibili”? F Insieme dei “casi favorevoli”? M ∩ F invece Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni Due dadi Calcola la probabilità che in un lancio di due dadi, uno bianco e l’altro giallo, escano due “6” senza informazioni aggiuntive sapendo che è uscito almeno un “6” sapendo che l’esito del dado giallo è “6” una rappresentazione grafica della questione le risposte: a) 1/36 b) 1/11 c) 1/6 Le nuove informazioni modificano l’insieme dei “casi possibili”. proporre però anche contesti ricchi Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Le attenzioni alcune precisazioni … per le classi che possono apprezzarle Ok ricorrere all’intuizione, ma attenzione: dipendenza non è sempre “influenza” tra eventi statistica sulle case inglesi dopo la seconda guerra mondiale indipendenza non è sempre intuitiva esempio del lancio di un dado Se vi sono dubbi si può ricorrere alla condizione formale di indipendenza degli eventi A, B: Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Il punto Dati due eventi A e B tali che p(B)≠0, diciamo probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B. E la indichiamo con U B A A∩B Insieme dei nuovi “casi possibili” = B Insieme dei “casi favorevoli” = A ∩ B Si ha dove le probabilità p sono valutate rispetto all’insieme U in cui si considerano contenuti A, B. Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Il punto Una giustificazione della formula Si è verificato B; qual è la nuova probabilità di A? Con lo schema classico U B A entrambe le misure sono effettuate rispetto allo stesso insieme U Ma nella interpretazione geometrica della probabilità, la probabilità di un insieme è una sua misura. Pertanto Riferimento per la formula (*) e attività che la preparano o consolidano Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Il docente Quanto appena proposto sulla probabilità condizionata è rivolto agli studenti di scuola secondaria. ll docente dovrebbe tenere presente che la formula (*) è la definizione di probabilità condizionata nell’ambito della teoria assiomatica A | B non è un evento a partire dalla definizione (*) si dimostra che nell’approccio classico la probabilità condizionata è la probabilità dell’evento sapendo che …(slide 15) questo ultimo risultato è il significato di probabilità condizionata nell’approccio classico Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Ancora test clinici Il test “Elisa”, relativo all’HIV, può fornire esiti errati. Precisamente vi è una probabilità del 99,9% che il test dia esiti positivi nei soggetti che effettivamente hanno contratto l’HIV (sensibilità del test) ed una probabilità del 99,9% che il test risulti negativo nei soggetti che non hanno l’HIV (specificità del test). Consideriamo ora una certa popolazione. Assumiamo che lo 0,3% della quantità di individui di tale popolazione abbia l’HIV (prevalenza della malattia). Il test, applicato ad un individuo scelto a caso in tale popolazione, ha dato esito positivo. Qual è la probabilità che tale individuo sia in realtà sano, cioè non abbia l’HIV? è opportuno aver prima affrontato i problemi test clinici “diretti” (slide 36 e 37 dell’incontro 3) Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Modellizziamo il problema 99,9% di M di M c 0,3% dei casi iniziali Mc M T - T+ MC M T - T+ 0,003 0,999 prob. condizionata cella: evento intersezione cammino: evento intersezione E’ richiesta la probabilità dell’evento “l’individuo non è malato, sapendo che il test ha avuto esito positivo”, ossia Attenzione all’evento “sapendo che l’individuo non è malato, il test ha avuto esito positivo” - l’insieme dei casi possibili è rappresentato sulla tabella dalla prima riga - la sua probabilità si denota con - si ha Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Risolviamo il problema risoluzione completa e osservazioni Interpretiamo il risultato : si controlla l’esito con il test Western Blot - è trascurabile (da calcolo analogo); questo è importante? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali Esploriamo la situazione Come varia la probabilità richiesta al variare dei valori in ipotesi? proviamo Il test ha sensibilità e specificità “alte”. Perchè allora non è “bassa” la probabilità che il test positivo sia errato (è circa il 25%)? La malattia ha bassa prevalenza, pertanto ci sono “molti” sani ; la probabilità di falso è “bassa” ma è applicata a “molti”: quindi ci possono essere “non pochi” falsi. Un esempio numerico. Popolazione di 1.000.000 di individui: a) 997.000 sani; tra essi i test positivi “sono” lo 0,1%, ossia 997 falsi b) 3.000 malati; tra essi i test positivi “sono” il 99,9%, ossia 2997 veri Così, tra i test positivi, i falsi non sono pochi rispetto ai veri. L’attività sviluppa le abilità di previsione e controllo dei risultati del problema. Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali E se applicassimo direttamente la formula di Bayes? l’espressione è uguale a quella ottenuta con il procedimento grafico - anzi, per ricavare la formula basta ripercorrerlo: dà la probabilità (a posteriori) delle “cause” … note quelle degli “effetti” la formula compare nelle Indicazioni nazionali Perché preferire l’approccio mediante modelli grafici? per comprendere il significato del procedimento risolutivo per controllarlo - per poter ricostruire il procedimento a lungo termine Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività letture dal primo incontro Test antidoping (primo incontro slide 9 – Medici_tedeschi.pdf) Qual è la probabilità che l’atleta positivo al test sia effettivamente dopato? Assumi che la probabilità di risultare positivo per il non dopato sia dell’1%, quella di essere positivo per il dopato sia del 50%, e che i dopati siano il 10% degli atleti. Pb analogo all’ultimo sui test clinici. Ora M = “l’individuo è dopato”. Un modello che mostra le informazioni fornite: MC M T - T+ 0,10 0,50 0.01 Il procedimento è analogo: Eventualmente prima risolvere il problema su 1.000 atleti, usando le frequenze … Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività Processo ad O.J. Simpson ( primo incontro slide 12 – Uomini_picchiano_donne.pdf) a) Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è uccisa da lui b) Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è uccisa da lui - Rappresenta con diagrammi di Venn le due situazioni ora descritte. - Esprimi ciascuna situazione mediante la probabilità condizionata. - Quale tra le 2 valutazioni di probabilità ti sembra adeguata? Perché? C B a) B ={picchiate compagno} C ={uccise da compagno} B C D D ={picchiate compagno e uccise} b) Filtri anti-spam (primo incontro slide 13 – Antispam.pdf) Didattica probabilità e statistica PAS 2014