Corso di Sistemi e Modelli Prof. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo A.A. 2014-2015 Introduzione al corso

Orario LEZIONI Mercoledi 14.30-16.30 aula Ke Giovedi 10.30-12.30 aula Be Venerdi 10.30-12.30 aula Le ESERCITAZIONI Tutor Venerdi 12.30-14.30 aula Ve ORARIO RICEVIMENTO durante il corso: Mercoledi ore 16.30 poi su appuntamento tramite mail

Alcune informazioni Corso con due canali: Canale 1 : prof. Gianluigi Pillonetto - Mauro Bisiacco Canale 2 : prof. Gianna Maria Toffolo - Claudio Cobelli Svolgimento lezioni: 45min lezione + 15min pausa + 45min lezione Comunicazioni tramite forum del corso https://elearning.dei.unipd.it/ E’ necessario iscriversi!!! Modalità d’esame: prova scritta identica per entrambi i corsi gli studenti che hanno superato lo scritto possono-su richiesta-sostenere una prova orale integrativa, su TUTTO il programma, nello stesso appello dello scritto 2 appelli nella sessione 26 gennaio – 28 febbraio 2015 1 appello nella sessione 15 giugno - 25 luglio 2015 1 appello nella sessione 24 agosto - 23 settembre 2015

Alcune regole… Il compito scritto ha validità un anno, ovvero il voto deve essere registrato entro un anno dalla data della prova La consegna di un compito scritto annulla la validità di un eventuale voto positivo conseguito dallo studente in un appello precedente, ma non l’iscrizione ad un appello e la presenza in aula se poi lo studente si ritira La registrazione dell’esame è un atto ufficiale che richiede la presenza dello studente. Vengono ammesse deleghe solo in caso di gravi e provati motivi Nelle comunicazioni via e-mail, utilizzare il proprio indirizzo istituzionale nome@studenti.unipd.it (messaggi anonimi NON saranno presi in considerazione)

Testi Testi di riferimento: Mauro Bisiacco, Gianluigi Pillonetto: Sistemi e Modelli, Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna 2015 Claudio Cobelli, Ewart Carson: Introduzione alla Modellistica in Fisiologia e Medicina, Patron, Bologna, 2012 Slides sul sito del corso

Testi Testi per consultazione: L Benvenuti, A De Santis, L Farina: Sistemi Dinamici, Mc Graw Hill, 2009 JA Gubner: Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge Univ Press, 2006 E Fornasini, G Marchesini: Teoria dei Sistemi, Libreria Progetto, Padova K Astrom, R Murray : Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. Disponibile online: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/ G Picci: Metodi Statistici per l’Identificazione di Sistemi Lineari, 2011. Disponibile online : http://www.dei.unipd.it/~picci/IdentAnalisiDati.html 6

Prerequisiti Fisica Generale 1 e Fisica Generale 2 Segnali e Sistemi Equazioni che regolano la dinamica di sistemi meccanici ed elettrici Segnali e Sistemi Trasformate di Fourier, Laplace e Zeta; Funzioni di trasferimento, a tempo continuo e discreto Algebra Lineare e Geometria Autovettori/autovalori, Matrici definite positive e loro diagonalizzazione Analisi dei dati Variabili aleatorie gaussiane, calcolo di media e varianza di variabili aleatorie gaussiane condizionate, regressione lineare

“il tutto è maggiore della somma delle singole parti” (Aristotele) Sistema Gruppo o insieme di elementi riuniti da qualche interazione regolare o da una mutua dipendenza per realizzare un determinato fine (Shannon) “il tutto è maggiore della somma delle singole parti” (Aristotele)

Modello Linguaggio comune: “più ricco e complesso” MODELLO = OGGETTO, COMPORTAMENTO CHE SI COPIA Esempio: - modello in pittura; modello di virtù Proprietà: - completo; perfezione ideale “più ricco e complesso” Linguaggio scientifico: MODELLO = SCHEMA TEORICO, STRUTTURA ASTRATTA, LUOGO DI SIMULAZIONE Esempio: - modello di un edificio; modello dell’atomo Proprietà: - immagine impoverita del “reale”; astrazione, vengono riprodotti solo aspetti “rilevanti” dal punto di vista adottato “più povero e schematico”

Tipi di modelli Modelli mentali (rappresentazione di un fenomeno) Modelli verbali (descrizione a parole di un fenomeno) Modelli fisici (iconici; leggi della similitudine; leggi dell’analogia) Modelli concettuali diagrammi, schemi (pianta città- flow chart) Modelli matematici…..

Modelli Matematici insieme di relazioni matematiche che descrivono i legami tra le grandezze del sistema reale, quindi una rappresentazione della realtà con un certo grado di approssimazione

Sistemi e modelli dinamici Evolvono nel tempo Sono causali, cioè le uscite al tempo t dipendono dalla storia passata degli ingressi Sono tipicamente modellizzati tramite equazioni differenziali

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE Metodologie modellistiche MODELLO SISTEMA SCOPO

Perché un modello? SISTEMA X Quesito Qx ???

Definizione operativa di modello Quesiti QM Risposte RM Risposte RX SISTEMA X Quesiti Qx 4 3 M è un modello di X, per un osservatore, se esso può utilizzare M per rispondere a domande su X 1 2 SCOPI DESCRIVERE es.Legge di Ohm V = R x I INTERPRETARE se si misurano in due dispositivi un diverso legame I-V , si deduce che i valori di R sono diversi PREDIRE come sarà V se applico un ingresso I sinusoidale?

y = concentrazione del farmaco Classi di modelli: Modelli di Sistema White box/Gray box Descrivono il funzionamento interno del sistema sulla base di principi fondamentali della scienza (fisica, biologia, chimica ecc) e di ipotesi sulla struttura del sistema (livello di approssimazione dettato da conoscenze a priori e natura delle ipotesi) Danno informazione sui meccanismi interni del sistema Si parla di scatola bianca (trasparente) se struttura e parametri del modello sono noti Si parla di scatola grigia se i parametri non sono noti-devono essere identificati dai dati Parametri p=[k01, k12, k21, V1]T eliminazione k01 k12 k21 y = concentrazione del farmaco Ingresso farmaco 1 plasma 2 tessuti 16

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE Modelli di Sistema SISTEMA DATI Conoscenze a priori Metodologie modellistiche Assunzioni STRUTTURA STIMA PARAMETRICA MODELLO

Classi di modelli: Modelli di Dati ingresso-uscita, black box Descrivono la relazione ingresso-uscita del sistema senza nessuna (minime) ipotesi sulla struttura Non danno informazione sui meccanismi interni del sistema Utili se non ci sono conoscenze sul sistema e comunque se interessa solo il comportamento ingresso-uscita, da inferire a partire dai dati sperimentali 20 40 60 80 100 120 140 160 5 10 15 TEMPO CONCENTRAZIONE

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE Modelli di Dati SISTEMA DATI Metodologie modellistiche RELAZIONE INGRESSO-USCITA STIMA PARAMETRICA MODELLO

Identificazione PROGETTO DELL’ ESPERIMENTO SISTEMA STRUTTURA DEL MODELLO STIMA PARAMETRICA INGRESSO USCITA CONOSCENZE A PRIORI ASSUNZIONI MODELLO Spesso (gray box/black box) è necessario stimare il valore dei parametri del modello dai dati

Validazione PROGETTO DELL’ ESPERIMENTO SISTEMA STRUTTURA DEL MODELLO STIMA PARAMETRICA VALIDAZIONE INGRESSO USCITA CONOSCENZE A PRIORI ASSUNZIONI ANALISI DEI DATI IDENTIFICAZIONE MODELLO FINALE Il modello e' adeguato per lo scopo per cui e' stato costruito? Qual’è il suo dominio di validità?

TIPI DI MODELLI Modelli Statici/Dinamici Modelli Deterministici/Stocastici Modelli Tempo-Invarianti/Varianti Modelli a Parametri Concentrati/Distribuiti Modelli Lineari / Non Lineari Modelli a Tempo Continuo / Discreto Osservazione: Tutte le combinazioni sono possibili, ad es.: - Modelli dinamici, deterministici, a parametri concentrati, a tempo continuo; - Modelli dinamici, stocastici, tempo-varianti, a parametri distribuiti, non lineari, a tempo continuo.

Ricapitolando : i modelli matematici…. Descrivono in modo non ambiguo gli aspetti essenziali del sistema Includono semplificazioni Sono riproducibili Soddisfano uno scopo Permettono (spesso) un’analisi quantitativa del sistema Sono accessibili, quindi è possibile modificare e testare il modello Sono universali: utilizzati in tutte le aree della scienza e dell’ingegneria

…ma: le regole d’oro Non esiste il modello, tutti i modelli sono approssimazioni della realtà … Pertanto è necessario: definire il dominio di validità di un modello e non forzarne l’uso al di fuori confrontare le predizioni del modello con dati indipendenti da quelli usati per l’identificazione progettare il modello in modo “aperto” in modo da potervi includere nuove conoscenze progettare il modello in modo “trasparente” in modo da poter consentire facilmente la sua falsificazione restare critici e flessibili : avere sempre un modello più semplice ed uno più complesso di quello proposto In pratica tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili (G.Box)

Programma del corso Modelizzazione di sistemi dinamici tramite equazioni matematiche Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici regolati da equazioni differenziali Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione

Modellizzazione Esempi di sistemi dinamici in vari ambiti (ingegneria, biologia, economia, metereologia, ecc) Definizioni di classi di modelli matematici per sistemi dinamici

Analisi - 1 Sistemi Lineari Autonomi a Tempo Continuo Soluzione con esponenziale di matrice Forma di Jordan Analisi modale Traiettorie e punti di equilibrio Stabilità: metodo di Lyapunov Sistemi NON Lineari Linearizzazione Estensione del metodo di Lyapunov

Analisi-2 Sistemi non autonomi lineari Evoluzione libera e forzata Funzioni di trasferimento Punti di equilibrio Sistemi a tempo discreto Analisi modale Funzione di trasferimento (ZT) Modelli compartimentali Definizioni Proprietà fondamentali 28

Identificazione Identificabilità a priori Stimatori: definizioni e proprietà Stima parametrica Stima ai minimi quadrati Stima a massima verosimiglianza Validazione L’esperimento è sufficientemente informativo, ovvero consente di identificare in modo univoco i parametri del modello ? Sulla base dei dati sperimentali disponibili, quali sono i valori dei parametri e qual è la confidenza che possiamo associare a tali parametri? Il modello (struttura & valore/precisione dei parametri) è adeguato allo scopo ?

Deconvoluzione Dato un sistema, descritto dalla sua risposta impulsiva (nota) determinare l’ingresso (incognito) che ha prodotto una certa uscita (misurata) SISTEMA u(t) ????? Misura Risp impulsiva g(t) nota

Programma del corso Modellizzazione di sistemi dinamici tramite modelli matematici (prof. G.Toffolo) Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali e alle differenze (prof. G. Toffolo) Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione (prof. C.Cobelli) Esercitazioni in orario di lezione + Tutoraggio extra orario di lezione slides M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli C. Cobelli, E. Carson: Introduzione alla Modellistica…. + slides