Equazioni differenziali e applicazioni economiche Facoltà di Economia Equazioni differenziali e applicazioni economiche LEZIONE 1 prof. Beatrice Venturi matematica per economisti Beatrice Venturi
EQUAZIONI DIFFERENZIALI E APPLICAZIONI ECONOMICHE matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi
LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE DEFINIZIONE: Sia y = una funzione incognita x = variabile indipendente y' = derivata prima Equazione differenziale ordinaria del prim'ordine. matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi 1.ESEMPI matematica per economisti Beatrice Venturi
Modello di crescita di Domar matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi
Investimento e formazione di capitale Formazione di capitale = processo per cui nuove quote di capitale si aggiungono ad uno stock precedente. Saggio di formazione di capitale = matematica per economisti Beatrice Venturi
Legame tra capitale ed investimento netto matematica per economisti Beatrice Venturi
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matematica per economisti Beatrice Venturi CONCETTO DI SOLUZIONE Risolvere un equazione differenziale significa trovare una funzione (soluzione) che renda l’espressione identicamente soddisfatta. Trovare una soluzione delle equazione precedente,in genere, significa fare un’operazione di integrazione. matematica per economisti Beatrice Venturi
ORDINE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE La derivata ordine massimo della funzione incognita che compare nell’equazione determina il grado dell’equazione differenziale. matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio Consideriamo una funzione domanda: e una funzione offerta: matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio in condizioni di equilibrio risulta: matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio questa equazione rappresenta un’equazione differenziale del I ° ordine lineare non omogenea si mostra che la soluzione di questo modello è data da: matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio Soluzione generale della omogenea Soluzione particolare della non omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi
Dinamica del prezzo di equilibrio Soluzione = soluzione generale omogenea + soluzione particolare non omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi
Stabilità dinamica dell’equilibrio matematica per economisti Beatrice Venturi
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI. Un'equazione differenziale che presenta al secondo membro il prodotto di una funzione della sola y per una funzione della sola x si dice a variabili separabili. Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente : matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente matematica per economisti Beatrice Venturi
Modello di crescita di Domar La propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo matematica per economisti Beatrice Venturi
INTEGRALE PARTICOLARE DEFINIZIONE: Si chiama integrale particolare o soluzione particolare dell'equazione differenziale ogni funzione : ottenuta dall’integrale generale attribuendo un particolare valore. matematica per economisti Beatrice Venturi
Così, ad esempio, data l'equazione differenziale per determinare il suo integrale particolare le cui curve rappresentative passa per il punto: matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi
Grafico della funzione matematica per economisti Beatrice Venturi
Grafico soluzione caso: C₁= 0 y=(1/3)x³ matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi INTEGRALE SINGOLARE Si chiama integrale singolare o di frontiera dell'equazione differenziale ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva risulti interamente giacente sulla frontiera. La sua equazione non è ottenibile per alcun valore numerico attribuito alla costante c. matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi Così, ad esempio, data l’equazione differenziale : matematica per economisti Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi In base a questo esercizio osserviamo che y=0 è una soluzione dell'equazione differenziale, ma y=0 non può considerarsi un integrale particolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale. Pertanto y=0 rappresenta un integrale singolare. matematica per economisti Beatrice Venturi