Esercizi Due gruppi di studenti effettuano la misura della densità di un oggetto, trovando rispettivamente i valori 13.7 ± 0.9 g/cm3 e 11300 ± 1300 kg/m3. Si può affermare che i due valori così trovati sono compatibili con un livello di confidenza del 10%? E del 25%? Come prima cosa è necessario uniformare le unità di misura per poter confrontare i valori. Esprimiamo entrambe le densità in g/cm3 Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=87.15% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-87.15%=12.85% E’ quindi corretto affermare che i valori sono compatibili con un livello di confidenza del 10%, mentre non sono compatibili con un CL del 25%

Esercizi Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza di una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secondo 48.6 cm. Sapendo che l’incertezza su ognuna delle due misure può essere stimata pari a 5 mm, dire a quale livello di confidenza le due misure sono compatibili tra loro Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=98.92% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-98.92%=1.08%

Esercizi I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono: ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/s ricercatore 2: v = 342 ± 6 m/s ricercatore 3: v = 330 ± 16 m/s ricercatore 4: v = 345 ± 3 m/s Si chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore.

Esercizi Tenendo conto delle cifre significative: I risultati ottenuti da 4 ricercatori circa la misura della velocità di propagazione del suono nell’aria sono: ricercatore 1: v = 340 ± 8 m/s ricercatore 2: v = 342 ± 6 m/s ricercatore 3: v = 330 ± 16 m/s ricercatore 4: v = 345 ± 3 m/s Si chiede, quale è la miglior stima della velocità e quale è la sua incertezza. Indicare, inoltre, il grado di compatibilità tra la misura che ha dato il risultato maggiore e quella che ha dato il risultato minore. xi di 340 8 0.01562 5.3108 342 6 0.02778 9.50076 330 16 0.00391 1.2903 345 3 0.11111 38.3295 0.15842 54.4314 Tenendo conto delle cifre significative: I dati da confrontare per il calcolo di CL sono il terzo e il quarto: Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=64.24% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-64.24%=35.76%

Esercizi h b a p=(48 ± 8) cm A=(140 ± 50) cm2 Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati della base e l’altezza trovando i seguenti valori: a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cm Calcolare: Il perimetro della base con il suo errore L’area di base con il suo errore Il volume del parallelepipedo con il suo errore h 1) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a: b a Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per somme/differenze: p=(48 ± 8) cm 2) L’area di base è pari a: Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti: A=(140 ± 50) cm2

Esercizi Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati della base e l’altezza trovando i seguenti valori: a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cm Calcolare: Il perimetro della base con il suo errore L’area di base con il suo errore Il volume del parallelepipedo con il suo errore h b a 3) Il volume è pari a: Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti: V=(5000 ± 2000) cm3

Esercizi Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono: biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.

Esercizi Tenendo conto delle cifre significative: Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono: biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza. Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata. xi di 11.4 0.6 2.778 31.67 11.8 0.2 25 295 12.2 33.89 30.556 360.56 Tenendo conto delle cifre significative:

Esercizi Si consideri una sferetta di massa m=25.40 ± 0.04 g, della quale si vuole determinare la densità. Qual è la precisione con cui di deve determinare il diametro della sferetta per avere un errore percentuale sulla densità inferiore all’1% ? La densità della sferetta si esprime come: con La densità della sferetta si può quindi riscrivere come: (dove K è una costante che racchiude tutti i termini numerici) E’ richiesto un errore percentuale sulla densità inferiore all’1%, cioè: Risolvendo la disuguaglianza rispetto all’errore relativo sul diametro si ha:

Esercizi Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con: Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 m Atezza maggiore di 1.85 m Altezza maggiore di 1.65 m Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m

Esercizi Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con: Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 m Atezza maggiore di 1.85 m Altezza maggiore di 1.65 m Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m La distribuzione delle altezze è centrata sul valore medio 1.78 m con deviazione standard pari a: i) l’intervallo [1.75-1.81] è simmetrico rispetto al valore medio Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana: Vi è quindi una probabilità di circa il 15% che gli uomini abbiano un’altezza tra 1.75 e 1.78 m. Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

Esercizi ii) Atezza maggiore di 1.85 m ii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.85 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.85: Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 34% e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.71 e 1.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all’area rosa che è pari a: Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

Esercizi iii) Atezza maggiore di 1.65 m iii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.65 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.65: Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.82) = 59% circa e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.65 e 1.91 m (area blu). Noi siamo interessati però alla somma dell’area blu e rosa che è pari a: Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

Esercizi iv) Atezza compresa tra 1.65 m e 1.75 m iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra del valore centrale della distribuzione. Si ricavano i corrispondenti valori di t e le probabilità associate, disegnando le gaussiane.