Multichromosomal genome median and halving problems E. Tannier C. Zheng D. Sankoff Daniele Bevilacqua Linda Orrù

2 Multichromosomal genome median and halving problems I problemi analizzati o Median problem: Trovare il genoma G (mediano) che minimizza la distanza tra genomi dati o Halving problem: Ricostruire il genoma originario prima della duplicazione e la ricombinazione o Breakpoint problem: Individuare il numero di coppie consecutive tra due permutazioni

3 Multichromosomal genome median and halving problems Perché questi problemi? Lo scopo è ricostruire i genomi antenati prima che gli eventi evolutivi portassero alle attuali specie. Attraverso lo studio e la comparazione di vari genomi è infatti possibile individuare un antenato comune o trovare le mutazioni necessarie per renderli simili, arrivando così a capire l’origine e l’evoluzione dei vari organismi (filogenetica). Ad esempio, è noto che l’uomo ed il topo sono geneticamente molto simili, ed è stato stimato che essi si divisero geneticamente circa 80 Milioni di anni fa [Nadeu, Taylor, 1984]

4 Multichromosomal genome median and halving problems Scopo dell’articolo In questo articolo saranno studiati gli approcci ai vari problemi in casi noti e la relativa complessità, riconducendo il problema biologico ad un problema di assegnamento su un grafo, campo in cui l’informatica ha validi strumenti per analizzare il problema.

5 Multichromosomal genome median and halving problems Cenni di Biologia DNA (acido deossiribonucleico): acido nucleico contenente le informazioni genetiche necessarie alla sintesi di RNA e proteine, indispensabili per lo sviluppo ed il funzionamento degli organismi viventi. Nell'ambito della bioinformatica è una stringa sull'alfabeto {A,C,G,T}, che rappresenta le 4 basi azotate che lo costituiscono (Adenina, Citosina, Guanina e Timina). La disposizione in sequenza di queste quattro basi costituisce l’informazione genetica.

6 Multichromosomal genome median and halving problems Cenni di Biologia Un gene è un segmento presente all’interno della molecola di DNA che codifica una particolare informazione genetica. Negli eucarioti il DNA si organizza all’interno del nucleo della cellula in strutture chiamate cromosomi. All’interno delle cellule degli esseri umani, ad esempio, ci sono 23 coppie di cromosomi.

7 Multichromosomal genome median and halving problems Cenni di Biologia Con cariotipo si indica la costituzione del patrimonio cromosomico di una specie: per le cellule eucariote è dato dal numero e dalla morfologia dei suoi cromosomi. Il telomero è la regione terminale del cromosoma, composta da DNA altamente ripetuto: non codifica alcun prodotto proteico ma ha lo scopo determinante di evitare la perdita di informazioni durante la duplicazione dei cromosomi.

8 Multichromosomal genome median and halving problems Cenni di Biologia

9 Multichromosomal genome median and halving problems L’evoluzione

10 Multichromosomal genome median and halving problems L’evoluzione è il cambiamento del patrimonio genetico di una specie. La mutazione consiste nella comparsa improvvisa, casuale ed ereditabile nelle future generazioni, di caratteristiche non possedute dagli antenati. La ricombinazione genetica, che permette di creare nuove combinazioni di caratteristiche ereditarie, può aver luogo sia durante la meiosi (riproduzione sessuata) sia per trasferimento di materiale genetico da una cellula all’altra. Sarà poi la selezione naturale a privilegiare il successo riproduttivo di organismi della stessa specie con differenti caratteristiche, facendo sì che la mutazione si diffonda, se è vantaggiosa. L’evoluzione

11 Multichromosomal genome median and halving problems Le mutazioni Per gli scopi di questo articolo ci limiteremo alle mutazioni cromosomiche. Le mutazioni cromosomiche sono un’alterazione nella struttura dei cromosomi, in genere conseguenza di errori durante la divisione cellulare o la ricombinazione del materiale genetico (crossing-over). Si dividono in: o Inversione o Traslocazione o Duplicazione

12 Multichromosomal genome median and halving problems Le mutazioni: inversione Tale mutazione consiste nella rottura del filamento di DNA in due punti. Il frammento così ottenuto viene poi reincorporato all’interno del cromosoma, ma viene invertito di orientamento.

13 Multichromosomal genome median and halving problems Le mutazioni: traslocazione Tale mutazione consiste in un errato scambio di parti dei cromosomi durante il riarrangiamento cromosomico. Sono molto importanti, come tutte le mutazioni, nel ruolo dell’evoluzione sebbene questo tipo di mutazione sia spesso molto dannosa.

14 Multichromosomal genome median and halving problems Le mutazioni: duplicazione Tale mutazione consiste nel raddoppiamento di un tratto del cromosoma. Può essere il risultato di un crossing-over diseguale o errato.

15 Multichromosomal genome median and halving problems Formalismo utilizzato Un gene A è quindi una sequenza ordinata di DNA, identificata da una coda A t ed una testa A h. Un’adiacenza è una coppia non ordinata di estremità. Un genoma è quindi un insieme di adiacenze su un insieme di geni. Un’adiacenza in un genoma significa che due estremità di un gene sono consecutive in una molecola di DNA. Ad esempio, sia Π il genoma definito sui geni {1..10} {°2 h,2 t 1 h,1 t 9 h,9 t T,T10 t,10 h 6 h,6 t 4 t,4 h 3 h,3 t T,T8 t,8 h 5 t,5 h 7 t,7 h °} è il genoma lineare con tre cromosomi: Π = { 2 1 9, , }

16 Multichromosomal genome median and halving problems Formalismo utilizzato Sia G p il grafo i cui vertici sono tutte le estremità dei geni e gli archi rappresentano tutte le adiacenze del genoma Π unendo la testa e la coda di ogni gene. Ogni componente connessa è un cromosoma di Π. Un cromosoma è lineare se è un cammino, è circolare se è un ciclo. Un genoma con un solo cromosoma è detto monocromosoma. Un genoma con soli cromosomi lineari è detto genoma lineare.

17 Multichromosomal genome median and halving problems Formalismo utilizzato Un gene duplicato A è una coppia di sequenze orientate omologhe di DNA, identificate da due code A 1t, A 2t e due teste A 1h, A 2h. Un genoma all-duplicated Δ è un insieme di adiacenze su un insieme di geni duplicati. Ad esempio, il seguente genoma Δ rappresenta un genoma all-duplicated sull’insieme dei geni {1..5} Δ={ , , 3 5 } Δ={ , , 3 5 }

18 Multichromosomal genome median and halving problems Formalismo utilizzato Infine, per un genoma π su un insieme di geni G, un doubled-genoma Π + Π è un genoma all-duplicated sull’insieme G tale che se A x B y è un’adiacenza di Π, allora anche A 1x B 1y A 2x B 2y o A 2x B 1y A 1x B 2y sono adiacenze di Π + Π.

19 Multichromosomal genome median and halving problems Le distanze utilizzate Per avere una misura della similarità di due genomi, quindi della loro distanza, si utilizzano le seguenti misure: o Breakpoint distance o DCJ distance o Resersal/Translocation distance

20 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance Dipende dalle adiacenze comuni, o meglio, alla loro assenza, nei telomeri comuni a due genomi dati. Siano Π e Γ due genomi rispettivamente con N Π e N Γ cromosomi. Sia α il numero di adiacenze comuni, e ε il numero di telomeri comuni. La Breakpoint distance sarà allora una formula del tipo: d BP (Π, Γ)= n – αβ – εθ + (N Π + N Γ )γ + (|N Π – N Γ |)ψ dove β, θ, γ e ψ sono i pesi dei vari parametri.

21 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance Supponendo Π=Γ, quindi d BP (Π, Γ)= 0, si possono ricavare i valori plausibili per i parametri di questa misura di distanza. La formula finale della Breakpoint distance è quindi della forma d BP (Π, Γ)= n – α – ε/2 Per un genoma all-duplicated Δ e un genoma ordinario Π, vale d BP (Π,Δ) = min (Π+ Π){d BP (Π+Π, Δ)}

22 Multichromosomal genome median and halving problems Double-cut-and-join (DCJ) distance Una double-cut-and-join (DCJ) è un’operazione R che agisce su due adiacenze pq, rs di un genoma, avente l’effetto di mischiare le due adiacenze, sostituendole con pr,qs oppure ps,qr. Quindi, dati due genomi Π e Γ, la DCJ distance rappresenta il numero minimo di operazioni DCJ (fusione, scissione, traslocazione) necessarie per trasformare Π in Γ. Per un genoma Δ all-duplicated e un genoma ordinario Π, la DCJ distance vale d DCJ (Π, Δ) = min(Π+Π){d DCJ (Π+Π, Δ)}.

23 Multichromosomal genome median and halving problems Reversal/Translocation distance E’ l’equivalente della DCJ distance ma limitatamente ai soli genomi lineari. Durante le operazioni DCJ possono venirsi a creare delle situazioni temporanee di cromosomi circolari: questa misura di distanza si limita invece a considerare le sole operazioni che mantengono la linearità. Quindi, dati due genomi lineari Π e Γ, la reversal/translocation distance rappresenta il numero minimo di operazioni DCJ lineari necessarie per trasformare Π in Γ.

24 Multichromosomal genome median and halving problems Computational problems o Distance: dati due genomi Π e Γ, calcolare d(Π,Γ) e ricostruire gli eventi che hanno differenziato i due genomi o Double distance: dato un genoma all-duplicated Δ e un genoma ordinario Π, calcolare d(Δ, Π) o Median: dati tre genomi Π 1, Π 2 e Π 3, trovare il genoma M che minimizza d(Π 1,M)+d(Π 2,M)+d(Π 3,M). Il median problem stima il comune antenato dei genomi o Halving: dato un genoma all-duplicated Δ, trovare il genoma Π che minimizza d(Δ,Π). L’halving problem ricostruisce l’antenato di un genoma all-duplicated al momento della sua duplicazione o Guided halving: dato un genoma all-duplicated Δ ed il genoma ordinario Π, trovare il genoma ordinario M che minimizza d(M,Π)+d(M,Δ). E’ simile al precedente, ma ipotizza la presenza di un antenato comune con M

25 Multichromosomal genome median and halving problems I cinque problemi appena presentati saranno discussi per le tre misure di distanza introdotte, nel caso di genomi multicromosomici che contengono cromosomi lineari.

26 Multichromosomal genome median and halving problems Matching perfetto Il genoma viene rappresentato come un grafo connesso. I risultati che andremo ad esporre si basato sul concetto di matching perfetto su grafo. Dato un grafo G=(N,A), un matching M è un sottoinsieme di archi tale che su ogni nodo di G incide al più un solo arco di M. Un matching si dice perfetto se ha cardinalità pari a |N|/2 cardinalità pari a |N|/2

27 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: distance, double distance La computazione del problema della distance segue direttamente dalla definizione, e può essere calcolata in tempo lineare. Per la double distance è altrettanto semplice: sia ab è un’adiacenza nel genoma ordinario. Allora, se a 1 b 1 o a 2 b 2 sono adiacenze nel genoma all-duplicated, si sceglie a 1 b 2 o a 2 b 1 come adiacenze nel genoma raddoppiato. I due casi sono mutuamente esclusivi, quindi non ci sono ambiguità.

28 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: median Il problema è NP-completo per il caso dei genomi monocromosomici, siano essi lineari o circolari. Tuttavia, per il caso dei genomi multicromosomici vale il seguente teorema: Teorema 1 Esiste un algoritmo in tempo polinomiale per il multichromosomal genome median problem

29 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: median Dimostrazione: Siano Π 1, Π 2 e Π 3 tre genomi su un insieme di geni ʛ, di lunghezza n. Sia G il grafo completo il cui insieme dei vertici contiene gli estremi dei geni in ʛ e un vertice supplementare t x per ogni estremità x del gene. Per ogni coppia x,y, si pesa l’arco xy con il numero del genoma (0,1,2,3) per cui xy è un arco. Poi per ogni vertice x si pesa l’arco xt x con la metà del numero del genoma che ha x come telomero (0,1/2,1,3/2). Tutti gli altri archi hanno valore 0.

30 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: median Dimostrazione (continua) Sia M un perfect matching su G: gli archi tra le estremità dei geni definiscono le adiacenze del genoma che possiamo indicare sempre con M. Il peso del perfect matching M vale esattamente 3n-(d(Π 1,M)+d(Π 2,M)+d(Π 3,M)) Cioè, il problema del massimo perfect matching equivale è un problema di minimo valore del mediano. Dato che il problema del perfect matching è polinomiale, attraverso questa riduzione è possibile risolvere il breakpoint median problem in tempo polinomiale.□

31 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: halving Il problema non è ancora stato studiato. Per ottenere una facile soluzione si possono combinare gli elementi del precedente teorema con il calcolo della double distance. Sia Δ il genoma all-duplicated su un insieme di geni ʛ, e sia G il grafo costruito secondo i precedenti criteri: per ogni coppia x,y, si pesa l’arco xy con (0,1,2) secondo quante volte l’adiacenza xy è presente in Δ, e si pesa l’arco xt x con la metà della volte che x è un telomero in Δ. Tutti gli altri archi hanno valore 0. Il massimo peso del perfect matching su G definisce le adiacenze del genoma M che minimizza d(Δ,M).

32 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance: guided halving La soluzione, analogamente, combina gli elementi finora visti. Sia Δ il genoma all-duplicated su un insieme di geni ʛ, e sia G il grafo costruito secondo i precedenti criteri. Gli archi sono pesati con il numero di volte che l’adiacenza xy è presente sia in Δ che Π, e con la metà delle volte che x è un telomero di entrambi i genomi. Tutti gli altri archi hanno valore 0. Il massimo peso del perfect matching su G definisce le adiacenze del genoma M che minimizza d(Δ,M)+d(M,Π).

33 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance lineare Per i problemi qui analizzati considereremo solamente genomi lineari: ciò permette una migliore modellazione dei genomi nucleari degli eucarioti. I risultati per la distance e la double distance sono analoghi al caso precedente, dove erano ammesse circolarità; in contrasto con i risultati appena mostrati però gli altri problemi risultano essere NP-complessi.

34 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance lineare: median Teorema 2 Il problema del breakpoint median per i genomi lineari multicromosomici è NP-complesso. Per dimostrare questo teorema ci si basa sulla riduzione con il problema delle permutazioni circolari mediane (CPM). E’ noto che, dati tre genomi circolari Π 1, Π 2 e Π 3 con un solo cromosoma, trovare il genoma circolare M con un solo cromosoma che minimizza d(Π 1,M)+ d(Π 2,M)+ d(Π 3,M) è un problema NP-complesso [Pe’er, Shamir, 1998]

35 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance lineare: median Sia quindi Π 1, Π 2 e Π 3 un’istanza del problema CPM su un insieme di geni {1,…,n}. Sia n+1 un nuovo gene e sia Π’ i il genoma costruito da Π i dalla cancellazione dell’adiacenza x1 t (dove x è l’estremità di un gene in {2,…,n}), e aggiunge l’adiacenza x(n+1). I genomi Π’ 1, Π’ 2 e Π’ 3 sono lineari. Sia poi k un intero positivo. Allora esiste un genoma circolare multicromosomico M su {1,…,n} con d(Π 1, M) + d(Π 2, M) + d(Π 3, M) ≤ k se e solo se esiste un genoma lineare e multicromosomico M’ su {1,…,n+1} con d(Π’ 1, M) + d(Π’ 2, M) + d(Π’ 3, M) ≤ k.

36 Multichromosomal genome median and halving problems Breakpoint distance lineare: halving, guided halving Questi problemi non sono ancora stati trattati. E’ possibile fare la congettura che esista una soluzione polinomiale, dato che tali problemi per tutte le altre misure di distanza hanno una soluzione polinomiale. Tuttavia tentare di costruire una soluzione esula gli scopi di questa presentazione, ed il problema rimane tutt’ora aperto.

37 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: distance Per questo problema si ha una facile soluzione lineare. Il grafo breakpoint di due genomi Π e Γ, indicato con BP(Π,Γ), è un grafo bipartito il cui insieme dei vertici è l’insieme delle estremità dei geni. I vertici in questo grafo hanno grado 0,1 o 2, così che il grafo è un insieme di percorsi. Inoltre, è anche una valida rappresentazione alternativa del grafo delle adiacenze.

38 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: distance Teorema 3 Per due genomi Γ,Π, sia c(Γ,Π) il numero di cicli di un grafo breakpoint BP(Γ,Π) e sia p(Γ,Π) il numero di percorsi. Allora vale d(Γ,Π) = n – c(Γ,Π) – p(Γ,Π)/2 Si noti la somiglianza di questo risultato con la generale breakpoint distance: esse differiscono nel modo in cui contano i cicli non semplici ed i percorsi, ma per genomi molto distanti tra loro tendono a dare gli stessi risultati.

39 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: double distance Teorema 4 Il problema DCJ double distance è NP-completo per genomi multicromosomici. Per dimostrarlo, ci si riduce al problema breakpoint graph decomposition (BGD). Un grafo G è bicolore se tutti i suoi archi sono rossi o blu. E’ bilanciato se ogni vertice ha grado 2 o 4, ogni vertice è inerente dallo stesso numero di percorsi rossi e blu e non ci sono cicli formati da archi solo rossi o solo blu.

40 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: double distance Sia G un grafo bilanciato bicolore su n vertici, che definisce un’istanza del problema BGD. Si definisce l’insieme del gene G come l’insieme dei vertici in G. Si costruisce un genoma all-duplicated Δ ed un genoma Π su G nel seguente modo: per ogni vertice x di G, alle estremità x t x h corrisponde un’adiacenza in Π. Per ogni vertice x di G siano poi x1 t x1 h,x2 t x2 h le estremità del gene duplicato x: per ogni arco blu xy in G si costruisce un’adiacenza in Δ che unisce le teste dei geni x1 o x2 e y1 o y2.

41 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: double distance Se il vertice ha grado 4, una delle due adiacenze definita da due archi blu implica x1 h e l’altra x2 h. Se invece ha grado 2, definisce l’adiacenza con x1 h ed aggiunge un’altra adiacenza x1 t x2 h in Δ. Gli archi rossi seguono lo stesso principio, ma uniscono le code dei geni. Con questa costruzione Π è composto da n cromosomi circolari, uno per ogni gene, e né Π né Δ hanno telomeri. Il numero massimo di archi-disgiunti è uguale a 2n-d(Δ,Π).

42 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: median Teorema 5 Il problema DCJ median per geni multicromosomici è NP-complesso. Si utilizza una riduzione della decomposizione di un grafo breakpoint simile alla precedente. Sia G un grafo bilanciato bicolore su n vertici. Si definisce l’insieme dei geni come l’insieme contenente un gene x per ogni vertice di G con grado 2, e due geni x,y per ogni vertice di G con grado 4 Si applica la seguente trasformazione al grafo:

43 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: median Sia v un vertice di grado 2 in G: si sostituisce v con due vertici etichettati dalle due estremità del gene associato x. L’arco blu diventa incidente su v per x h, quello rosso in x t. Si aggiungono quindi due archi Π 1 e Π 2 per collegare queste estremità. Se v è un vertice di grado 4 si sostituisce con 4 vertici etichettati con le 4 diverse estremità e si aggiungono gli archi Π 1, Π 2 e Π 3 per collegarle. Π 1, Π 2 e Π 3 definiscono genomi su ʛ privi di telomeri. Sia ω 2 il numero di vertici di Γ di grado 2, e sia ω 4 il numero di quello di grado 4. Allora esiste un genoma M tale che d(M, Π 1 ) + d(M, Π 2 ) + d(M, Π 3 ) ≤ ω ω 4 – k se e solo se esiste almeno un arco-disgiunto k alternando i cicli in G

44 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ distance: halving, guided halving Questo problema ha una soluzione polinomiale. Gli algoritmi che lo risolvono si basano su versioni semplificate dell’algoritmo di El-Mabrouk e Sankoff [2003] sviluppato per la distanza RT. Teorema 6 Il problema del guided halving è NP-complesso per genomi multicromosomici. L’analisi di questi ultimi risultati è omessa dall’articolo, ma si basa su riduzioni analoghe a quelle precedentemente osservate.

45 Multichromosomal genome median and halving problems DCJ, Reversal/Translocation distance: linear case I problemi median e halving possono essere ridefiniti in termini di cromosomi esclusivamente lineari, ma il problema rimane tutt’ora aperto. Sono state proposte valide euristiche, specie in molti articoli recenti [Zheng, Zhu, Sankoff, 2008] ma le loro complessità non sono ancora note.

46 Multichromosomal genome median and halving problems Conclusioni La seguente tabella riassume la complessità dei problemi analizzati in questo articolo. I “?” rappresentano congetture, mentre ”open” sta ad indicare che il problema è ancora in fase di discussione. ProblemadistanceHalving double distance Median guided halving Breakpoint uni Breakpoint general multi Breakpoint linear multi PPPOpenPP?PPPNPPNPOpenPNP DCJ uni DCJ general multi DCJ linear multi PPPPPOpenOpenNPOpenNPNPNP?OpenNPNP? RT uni RT multi PPOpenPOpenNP?NPNP?OpenNP?

47 Multichromosomal genome median and halving problems Conclusioni personali o I problemi biologici sui genomi possono essere ricondotti a problemi matematici su grafi, e studiati mediante l’uso di un calcolatore o Alcuni problemi sono efficientemente risolvibili, “facili”. o Altri sono intrattabili anche con l’utilizzo di computer, “difficili” con le attuali strategie, quindi dimostrabilmente intrattabili.

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