Reti Complesse seconda lezione TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA

Programma Alcuni Esempi di reti complesse Concetti base di teoria dei grafi e delle reti Modelli La rete come insieme di comunità

Bibliografia Evolution of networks S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002), cond-mat/0106144 Statistical mechanics of complex networks Reka Albert, Albert-Laszlo Barabasi Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002), cond-mat/0106096 The structure and function of complex networks M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167-256 (2003), cond-mat/0303516 Complex networks: structure and dynamics S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang Physics Reports 424, 175-308 (2006)

Definizione di Network Network=insieme di vertici (nodi) uniti da legami (links) Rappresentazione molto astratta molto generale Utile per descrivere sistemi molto diversi

Esempi Nodi Links Reti sociali Individui Relazioni sociali Internet Routers AS Cavi + coll. wireless Accordi commerciali WWW Webpages Hyperlinks Rete di interazione tra proteine Proteine Reazioni chimiche

Argomento interdisciplinare Reti complesse sono importanti per: -teoria dei grafi -sociologia -scienza delle comunicazioni -biologia -fisica -informatica

Piano della lezione 1) Breve introduzione ai concetti base di teoria dei grafi 2) Approccio statistico: Ensemble di grafi, distribuzioni di probabilità e correlazioni 3) Reti pesate.

Obiettivo Definire una serie di osservabili che permettano di caratterizzare un sistema complesso e che forniscano indicazioni per spiegare i meccanismi microscopici che hanno portato alla formazione del sistema

1) Introduzione alla teoria dei grafi Definizioni di base Matrice di adiacenza Densità Cammini e connettività Alberi Centralità Clustering

Teoria dei grafi j i i j Grafo G=(V,E) V=insieme di vertici i=1,…,N E=insieme di links (i,j) Link ordinario: Link diretto : j i Bidirezionale comunicazione/ interazione i j

Teoria dei grafi Grafo completo: Numero massimo di links Non diretti: N(N-1)/2 Diretti: N(N-1) Grafo completo: (interazione “tutti con tutti”)

Matrice di adiacenza 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 N nodi i=1,…,N aij= 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 1 2 3

Matrice di adiacenza 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E N nodi i=1,…,N aij= 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E Simmetrica se i link non sono diretti. 1 2 3 1 2 3

Matrice di adiacenza Non simmetrica 1 if (i,j) E N nodi i=1,…,N aij= Non simmetrica Se i links sono diretti 1 if (i,j) E 0 if (i,j)  E 1 2 3 1 2 3

Densità di un grafo Numero dei links D= Densità di un grafo: D=|E|/(N(N-1)/2) Numero dei links D= Massimo num. di links possibile Matrice di adiacenza con pochi 1 e molti 0 Grafo “sparso”: D <<1 Rappresentazione: lista dei vicini di ogni nodo l(i, V(i)) V(i)= vicini di i

Cammini i3 i4 i5 i0 i1 i2 Ciclo/loop = cammino chiuso (i0=in) G=(V,E) Cammino di lunghezza n = lista ordinata di n+1 vertici i0,i1,…,in V n links (i0,i1), (i1,i2)…,(in-1,in) E i3 i4 i5 i0 i1 i2 Ciclo/loop = cammino chiuso (i0=in)

Alberi Un albero è un grafo senza cicli N nodi, N-1 links

Cammini e connettività G=(V,E) è connesso se e solo se esiste un cammino che connette ogni coppia di nodi di G . È connesso non è connesso è formato da due componenti

Cammini e connettività G=(V,E)=> distribuzione delle componenti connesse Componente gigante= componente la cui dimensione cresce in modo proporzionale al numero di vertici N Una frazione macroscopica dei nodi del grafo è connessa Esistenza di una componente gigante

Cammino minimo (shortest path) Cammino minimo tra i e j: numero minimo di links necessari a congiungere i e j distanza l(i,j)= cammino minimo tra i and j j i Diametro di un grafo= max(l(i,j)) Cammino minimo medio = ij l(i,j)/(N(N-1)/2) Grafo completo: l(i,j)=1 per tutte le coppie i,j . “Piccolo mondo”(Small-world): “piccolo” diametro

Centralità ki=5 i (grafi diretti: kin, kout) Come quantificare l’importanza di un nodo? Grado (degree)=numero di vicini =j aij ki=5 i (grafi diretti: kin, kout)

“Betweenness centrality” Per ogni coppia di nodi (l,m) , definisco: slm numero di cammini minimi tra l e m silm num. di cammini minimi che passano per i bi è la somma silm / slm su tutte le coppie (l,m) Importante: è una quantità basata sui cammini i j bi è grande bj è piccola NB: quantità simile: “load” li= ilm NB: generalizzazione: “link betweenness centrality”

“Clustering” Coefficiente di clustering di un nodo i C(i) = k Coefficiente di clustering di un nodo 3 # di links tra 1,2,…n vicini C(i) = i k(k-1)/2 2 1 Clustering: c’è un’alta probabilità che i miei amici si conoscano! (esempio tipico: social networks)

Clustering Coefficiente di clustering medio di un grafo C=i C(i)/N

2) Approccio statistico - Distribuzione di probabilità dei gradi Correlazioni a più punti Rappresentazione spettrale Assortatività e dissortatività

Distribuzione dei gradi Lista dei gradi k1,k2,…,kN Non molto utile! Istogramma: Nk= numero dei nodi di grado k Distribuzione: P(k)=Nk/N=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Distribuzione cumulativa: P>(k)=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado almeno k

Distribuzione dei gradi P(k)=Nk/N= probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Media=< k > = i ki/N = k k P(k)=2|E|/N Grafo “sparso”: < k > << N Fluttuazioni: < k2 > - < k > 2 < k2 > = i k2i/N = k k2 P(k) < kn > = k kn P(k)

Correlazioni a più punti dei gradi P(k): non è sufficiente a descrive un network Reti “assortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi con altri nodi di grado alto. Ex: social networks Reti “dissortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi a nodi di grado basso. Ex: technological networks

Correlazioni a più punti dei gradi Misura della correlazione: P(k’,k’’,…k(n)|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso a nodi di grado k’, k’’,… Caso più semplice: P(k’|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso ad un nodo di grado k’

Correlazioni a più punti dei gradi misura “pratica” di correlazione : Grado medio dei primi vicini i k=3 k=7 k=4 ki=4 knn,i=(3+4+4+7)/4=4.5

“Spettro di correlazione”: Grado medio dei primi vicini “Spettro di correlazione”: Costruito mettendo assieme nodi con lo stesso grado Class di grado k

P(k’|k) indipendente da k Esempio: rete casuale e scorrelata P(k’|k) indipendente da k (ricorda: P(k’|k) = prob. che un link di grado k punti ad un nodo di grado k’) numero di link uscenti da un nodo di grado k’ numero di link uscenti da un nodo qualsiasi Punc(k’|k)=k’P(k’)/< k > proporzionale a k’ stesso

Assortatività Comportamento Assortativo : knn(k) è una funzione crescente di k Esempio: social networks Comportamento Dissortativo: knn(k) è una funzione decresente di k Esempio: internet (struttura gerarchica)

3) Reti pesate 1) Definizioni ed esempi 2) Coefficiente di clustering pesato 3) Assortatività pesata

Reti pesate Descrizione generale: pesi wij j i aij: 0 or 1 Nelle reti reali i links: Portano traffico (reti di trasporti, Internet…) Hanno intensità diverse (social networks…) Descrizione generale: pesi wij j i aij: 0 or 1 Wij: variabile continua

Pesi: esempi In generale si pone: wii=0 - Collaborazioni scientifiche: numero di articoli in comune Internet, emails: numero di emails scambiati Aereoporti: numero di passeggeri Reti metaboliche: flussi Reti economiche: numero di azioni possedute … In generale si pone: wii=0 Ed il peso è simmetrico: wij=wji

Reti Pesate I pesi stanno sui link (weigths) Forza (Strength) di un nodo: si = j V(i) wij =>Generalizza in modo naturale la nozione di grado alle reti pesate =>Esempio: quantifica il traffico totale che passa per un nodo.

Coefficiente di clustering pesato wij=1 wij=5 si=8 ciw=0.25 < ci si=16 ciw=0.625 > ci ki=4 ci=0.5

Coefficiente di clustering pesato Coefficiente di clustering medio C=i C(i)/N Cw=i Cw(i)/N k (wjk) wik j i wij Se i pesi sono random: C = Cw C < Cw : piu pesi sui grafi completi (cliques) C > Cw : meno pesi sui grafi completi (cliques) Rappresentazione spettrale del Clustering:

Assortatività pesata 5 5 1 5 i 5 ki=5; knn,i=1.8

Assortatività pesata 1 1 5 1 i 1 ki=5; knn,i=1.8

Assortatività pesata i 5 5 1 5 i 5 ki=5; si=21; knn,i=1.8 ; knn,iw=1.2: knn,i > knn,iw

Assortatività pesata i 1 1 5 1 i 1 ki=5; si=9; knn,i=1.8 ; knn,iw=3.2: knn,i < knn,iw

“Participation ratio” 1/ki se tutti i pesi sono uguali vicino a 1 se alcuni pesi dominano