Il rumore termico Il rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico con l’ambiente circostante. Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e può fare parte dei limiti intrinseci alla loro sensibilità. Antenna Interferometrica Virgo Antenna Risonante Explorer (termico dei modi normali)

Il rumore termico Introduzione storica: Le prime osservazioni di Robert Brown; Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano; L’equazione di Langevin Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione Il rumore termico di un’oscillatore armonico Il rumore termico del pendolo I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione: effetto termoelastico, bulk superficiali etc… Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti

La storia 1828. Il botanico Robert Brown riferiva di avere osservato il moto caotico di varie specie di particelle abbastanza piccole da restare in sospensione nell'acqua. Egli escluse presto che fosse un fenomeno biologico, e successivamente esperimenti eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i moti browniani aumentano se: diminuiscono le dimensioni (a) della particella diminuisce la densità (r) delle particelle in sospensione diminuisce la viscosità (h) del liquido ospite. aumenta la temperatura (T) del liquido ospite. Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in sospensione per effetto dell'agitazione termica.

Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva…. a raggio della particella immersa in una soluzione; h viscosità del solvente; v velocità della particella F Forza di Stokes Legge di Stokes F = (6 p h a) v le leggi di van’t Hoff sulle soluzioni (come per i gas ideali): P = r RT/m m massa molecolare delle particelle; r densità delle particelle in soluzione; P pressione osmotica R costante dei gas

L’interpretazione di Einstein (1906) (sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi)) Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Essa è soggetta ad attrito viscoso F=-bv, dove b è il coefficiente di attrito viscoso e v è la velocità della particella alla forza aleatoria risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido: Isotropa a media nulla: <f(t)>=0 Scorrelata: <fa(t)fa(t-t’)>=Fo2 d(t-t’) Gaussiana Equilibrio termico La forza per unità di volume è data da: F (r N/m) = d P/dx Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff P = (n/V) RT = (r /m) RT d P/dx = (RT /m) dr /dx F (r N/m) = (RT /m) dr /dx N numero di Avogadro (r /m) = (n/V) moli per unità di volume N(n/V) = (r N/m) numero di particelle per unità di volume

La forza di attrito viscoso è la forza di Stokes: Equilibrio dinamico La forza di attrito viscoso è la forza di Stokes: Forza di Stokes: F =-6 p h a v = -b v Abbiamo allora un flusso di particelle: v (r N/m)= (F/b) (r N/m) numero di particelle per unità di area e per unità di tempo Il flusso di particelle gradiente di concentrazione diffusione nella direzione opposta (F/b) (r N/m) = D (N/m) dr /dx def: D coefficiente di diffusione Equilibrio termodinamico equilibrio termico = equilibrio dinamico D = R T/ ( b N) = k T/ b fluttuazione dissipazione Questo risultato è la base del meccanismo del moto browniano: una forza caotica o fluttuante è bilanciata da una ``forza sistematica'' come la resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes (proporzionale alla velocità) attraverso un processo di diffusione.

L’equazione di diffusione Dal punto di vista macroscopico una particella soggetta al un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo δt, uno spostamento δr distribuito come una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la densita’ di probabilita’ di trovare la particella nella posizione r ad un tempo t. 11 days after thesis

Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio termico con l'ambiente. In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media kbT. Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico. Esso si manifesta con le fluttuazioni casuali dell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità.

L’equazione di Langevin (sistema macroscopico all’equilibrio termico, approccio statistico) Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco) All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia ): Forza stocastica dovuta alle fluttuazioni termiche Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (bv) e la forza (stocastica) che eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico)

L’intensità del rumore termico di un sistema macroscopico è strettamente legata ai processi dissipativi presenti in esso.

Il teorema fluttuazione-dissipazione Nel dominio delle frequenze(*) possiamo sempre scrivere la risposta di un sistema lineare ad una forza esterna F(w) come: Dove H(w) è la funzione di trasferimento e Z(w) l’impedenza del sistema Il teorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue: L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza

Il moto termico dell’oscillatore armonico Frequenza di risonanza Fattore di merito Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione

Kramers-Kronig Principio di Equipartizione

L’effetto delle dissipazioni sul rumore termico dell’oscillatore armonico L’energia delle fluttuazioni è concentrata attorno alla risonanza L’andamento fuori risonanza dipende dalla dissipazione w » wo Cost w-4

I meccanismi dissipativi strutturali (dissipazioni interne del materiale) nello spazio delle frequenze termine di memoria Il termine dissipativo F(w) (angolo di perdita) tiene conto di tutti i tipi di dissipazioni interne del materiale:

w-1 w-5 Dissipazioni strutturali: F(w) = Fo Dissipazione viscosa Dissipazione interna Presenti in tutti i materiali

Misura delle dissipazioni La misura delle dissipazioni avviene misurando il fattore di merito del sistema: Realizzare sistemi con alti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia delle fluttuazioni intorno alla risonanza

Il rumore termico del pendolo Momento di richiamo dei fili Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla piegatura dei fili. x=Lq Y Modulo di Young rf raggio del filo L tensione del filo L m Frequenza del pendolo (misurata)

Il rumore termico del pendolo voglio esprimere questa espressione con grandezze misurate: Fattore di diluizione a parità di angolo di perdita il pendolo presenta delle perdite più basse rispetto a quello dato dalla sola elasticità del materiale (L=Mg/4):

Il rumore termico del pendolo di torsione Momento di richiamo dei fili Le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla torsione dei fili. Frequenza del pendolo di torsione G: modulo di elasticita’ a torsione L: lunghezza del pendolo I: momento d’inerzia della massa sospesa

Il rumore termico del pendolo di torsione In questo caso non beneficiamo del fattore di diluizione presente nel caso del pendolo, quindi le perdite strutturali e quelle viscose contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore di merito totale dei modi torsionali

Antenna Interferometrica Virgo Il rumore termico di pendolo domina tra 10Hz e 50 Hz (sopra la risonanza) Il rumore termico degli specchi domina tra 50Hz e 300 Hz (sotto le risonanze) Il rumore termico dei fili domina alle risonanze (modi di violino) Per abbassare il rumore termico fuori risonanza bisogna ridurre le dissipazioni. Riducendo le dissipazioni il termico dei violini e’ concentrato alle risonanze

I meccanismi interni di dissipazione Dissipazioni Termoelastiche Dissipazioni strutturali Dissipazioni superficiali

Dissipazioni termoelastiche fte(w) sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni. Y modulo di Young del materiale a coefficiente di dilatazione termica t il tempo caratteristico della diffusione del calore nel materiale e dipendente dalla sua geometria C è la capacità termica del materiale. E’ importante scegliere un materiale con questo punto fuori della banda rivelazione Punto di massima dissipazione

Dissipazioni superficiali Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie Wtot è l’energia elastica totale Dissipativa Nel caso delle sospensioni di Virgo: mw fattore geometrico hsb spessore della zona di frizione Sw =2p rw Lw superficie laterale del filo Vw = p rw2 Lw volume del filo Non Dissipativa

Dissipazioni superficiali Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie Wtot è l’energia elastica totale Dissipativa Nel caso delle sospensioni di Virgo: mw fattore geometrico hsb spessore della zona di frizione Sw =2p rw Lw superficie laterale del filo Vw = p rw2 Lw volume del filo Non Dissipativa 26

Rumore termico degli specchi Equipartizione dell’energia: Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modi meccanici degli specchi; Sono importanti tutti quei modi che si accoppiano con il modo ottico dell’interferometro; Massa equivalente del modo i Le dissipazioni dei coating sono molto importanti

Modi degli specchi (0,2 Mode) Simulation Measured Modes splitting NI: (3917.2 ± 0.5) Hz (NI/WI) 3912.6 Hz-3916.7 Hz WI: (3916.0 ± 0.5) Hz Modes splitting NE: (3883.0 ± 0.5) Hz (NE/WE) 3882.4 Hz-3882.6 Hz WE: (3884.2 ± 0.5) Hz The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and spacers.

(1,0 Mode) Simulation Measured NI/WI: 5584.9 Hz NI: (5585.7 ± 0.5) Hz WI: (5583.5 ± 0.5) Hz NE/WE: 5546.1 Hz NE: (5543.2 ± 0.5) Hz WE: (5545.6 ± 0.5) Hz

(0,3 Mode) These modes were not observed. Simulation North/West Input 7595.3 Hz-7602.6 Hz North/West End 7551 Hz-7558 Hz These modes were not observed. (0,3 Mode)

North Input: (3917.2 ± 0.2) Hz (5584.7 ± 0.2) Hz North End: (3883.0 ± 0.2) Hz (5543.2 ± 0.2) Hz

North End: t3883 = (110 ± 3) s t5543 = (16.2 ± 0.1) s North Input: t3917 = (70.6 ± 0.4) s t5584 = (37.8 ± 0.7) s North Input: Q3917 = (8.69 ± 0.05) 105 Q5584 = (6.6 ± 0.1) 105 North End: Q3883 = (1.34 ± 0.09) 106 Q5543 = (2.82 ± 0.02) 105

Il rumore termico nella curva di sensibilità dell’interferometro Virgo I modi torsionali non sono presenti direttamente. Ma giocano un ruolo importante se nel controllo dell’interferometro.

Come abbassare il rumore termico in un’antenna interferometrica Abbassare le dissipazioni (Virgo Advanced) Pendoli sospensioni monolitiche (silice fusa) termoelastico ridotto dissipazioni superficiali ridotte Specchi coating meno dissipativi substrati meno dissipativi Abbassare la temperatura (Virgo criogenico) Criogenia

Rumore nelle antenne risonanti Modi normali