Calcolo letterale

Le espressioni letterali Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere. A=(B+b)h/2 A=2(b+h) Le lettere rappresentano numeri reali. La stessa lettera assume sempre lo stesso valore.

Le espressioni letterali Le espressioni letterali tali che a nessuna delle lettere è applicata l’operazione di reciproco sono dette intere. Altrimenti si dicono frazionarie. Le espressioni letterali frazionarie possono perdere significato per alcuni dei valori delle variabili.

Le espressioni letterali ax2:b b≠0 1 𝑎+2 a≠-2 1 𝑎 − 1 b a≠0 e b≠0 (a)-1 a≠0

I monomi I monomi sono espressioni composte da prodotti tra numeri reali e lettere. A=l•l=l2 A=bh/2 Un monomio si dice ridotto in forma normale quando le lettere compaiono una sola volta.

I monomi Ogni monomio è composto da un coefficiente (segno più fattore numerico) e da una parte letterale. -2axy2 ab

Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0. I monomi Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0. 0 = 0a = 0xvtr …

I monomi Dato un monomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera l’esponente di questa lettera. -2a7xy2 Si dice grado complessivo (o assoluto) del monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

Si dicono simili monomi aventi la stessa parte letterale. 2a 2ab 2a 3a2 2a 3a

I monomi Si dicono uguali monomi aventi la stessa parte letterale e stesso coefficiente. 2a 2ab 2a 2a2 2a 2a

I monomi Si dicono opposti monomi aventi la stessa parte letterale e coefficiente opposto. 2a -2ab 2a -2a2 2a -2a

Può essere effettuata solo tra monomi simili Operazioni tra monomi Somma Può essere effettuata solo tra monomi simili Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la somma dei coefficienti dei due addendi. 3a+2ax 3a+2a ⅛a-√2a

Può essere effettuata solo tra monomi simili Operazioni tra monomi Differenza Può essere effettuata solo tra monomi simili Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la differenza dei coefficienti dei due addendi. 3a-2ax 3a-2a ⅛a-(-√2a)

Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 a+0=a Sottrazione Commutativa Associativa (ab-2ab)-ab ≠ ab-(2ab-ab) Esistenza elemento neutro 0 a-0=a

Operazioni tra monomi (3a) • (2a) (3ab)•(2a2xy3) (⅛avn)•(√2ba) Moltiplicazione Si può effettuare tra monomi qualunque. Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari al prodotto dei coefficienti Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla somma degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (3a) • (2a) (3ab)•(2a2xy3) (⅛avn)•(√2ba)

Elevamento a potenza (esponente naturale) Operazioni tra monomi Elevamento a potenza (esponente naturale) Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari alla potenza del coefficiente della base Parte letterale formata da tutte le potenze delle lettere presenti nel monomio che costituisce la base. (3a2b)3 − 2 3 x y 3 𝑧 2 (⅛√2bwa)1

Il risultato è ancora un monomio che ha: Operazioni tra monomi Divisione Si può effettuare tra due monomi A e B, con B non nullo, se il monomio A contiene tutte le lettere del monomio B ma di grado maggiore o uguale. Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari al quoziente dei coefficienti Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla sottrazione degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (2x2):x 2 3 x 2y 3 𝑧4 : 4 18 x y 3 𝑧 (2ax):(ax2) (2ax):(az)

Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 1 ax1=a ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

Proprietà delle operazioni Divisione Commutativa Associativa (8ya3:4y):2a ≠ 8ya3:(4y:2a) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bc) ≠ (a:b)c

Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza ab ac = ab+c ab : ac = ab-c (ab) c = abc ab cb = (ac)b ab : cb = (a:c)b

Esercizi Calcolare per a=2 e b=-3. 1 𝑎 − 1 𝑏 −2 + 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 − 1 𝑎 + 1 𝑏

Esercizi 𝑥 2 𝑦− 1 3 𝑦 𝑥 2 2 : 𝑥 2 −3 𝑥 2 2 2 + 1 2 𝑦 4 𝑥 2 : 2 𝑥 2 + 𝑦 4 𝑎 234 𝑥 20 𝑦 12 + 4 7 𝑎 234 𝑦 12 𝑥 20 3 : 𝑥 2 +3 𝑥 2 2 7 0 𝑎−𝑥 𝑥+ 𝑥 3 𝑥− 𝑥 3 : 𝑥+ 𝑥 3 + 2 3 𝑥 2 2 − 2 𝑎− 𝑎 2 2

mcm e MCD Si dice divisore di un monomio A ogni monomio B tale che la divisione di A per B dà come risultato un monomio. 2x2y a2b3

mcm e MCD Il massimo comune divisore tra due monomi A e B, MCD(A,B), è ogni monomio C tale che: C è divisore sia di A che di B ogni altro monomio D che divide sia A che B ha grado minore o uguale a quello di C. 3x2y2z ½x2z2a -4x2yz3t

mcm e MCD Considerare una sola volta tutte le lettere comuni ai vari monomi. Scegliere come esponente il più piccolo con cui quella lettera compare. Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0. 3x2y2z ½x2z2a -4x2yz3t

mcm e MCD Si dice multiplo di un monomio A non nullo ogni monomio B tale che B=A•C, dove C è un monomio. 2x2y Il minimo comune multiplo tra due monomi A e B, mcm(A,B), è ogni monomio non nullo C tale che: C è multiplo sia di A che di B ogni altro multiplo D comune ad A e B ha grado maggiore o uguale a quello di C.

mcm e MCD Considerare una sola volta tutte le lettere comuni e non comuni ai vari monomi. Scegliere come esponente il più grande con cui quella lettera compare. Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0. 3x2y2z ½x2z2a -4x2yz3t

Esercizi Calcolare il m.c.m. ed il M.C.D tra i seguenti monomi: 25 4 𝑥 2 𝑦 2 𝑝 2 4 25 𝑥 3 𝑦 2 𝑝 8 − 3 2 𝑝𝑥 2 𝑦 3 3 8 𝑎 2 𝑏 8 𝑥 3 − 11 3 𝑎 𝑏 2 𝑥 2 3 5 𝑎𝑏𝑥

I polinomi sono espressioni composte dalla somma di monomi. A=(B+b)h/2 A=2(b+h)

I polinomi Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando vi compaiono solo monomi ridotti in forma normale e non compaiono monomi simili. −3𝑎 𝑥 3 +2𝑡𝑦 𝑧 5 −3𝑎 𝑥 3 +2𝑡𝑦 𝑧 5 𝑎 2 −2 𝑥 3 𝑎 −3𝑎 𝑥 3 +2𝑡𝑦 𝑧 5 𝑦 2

I polinomi Un polinomio ridotto in forma normale si dice omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado. −3𝑎 𝑥 3 +2𝑡𝑦 𝑧 2 −3𝑏 𝑥 2 𝑎 3 𝑥 4 +2𝑡𝑦 𝑧 5 𝑦 2

I polinomi Si dicono uguali due polinomi ridotti in forma normale tali che ogni monomio del primo polinomio compare anche nel secondo. 2a+4c2h-7qs3i2 4c2h-7s3i2q+2a

I polinomi Si dicono opposti due polinomi composti dallo stesso numero di monomi e tali che per ogni monomio del primo, il secondo polinomio contiene il suo opposto. 2a+4c2h-7qs3i2 -4c2h+7s3i2q-2a

Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo. I polinomi Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo.

I polinomi Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera il massimo esponente che assume questa lettera nei monomi che compongono il polinomio. 2a+4a2h-7qa3i2 Si dice grado complessivo (o assoluto) del polinomio il massimo dei gradi complessivi dei vari monomi che lo compongono.

Operazioni tra polinomi Somma Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si scrive un unico polinomio ottenuto sommando i vari addendi e poi si riducono gli eventuali termini simili. 3a+2ax -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

Operazioni tra polinomi Differenza Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si ottiene sommando al polinomio A l’opposto del polinomio B. -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

Operazioni tra polinomi Moltiplicazione Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si effettua ricorrendo alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e poi riducendo eventuali termini simili. a-3b a2+ab-b

Operazioni tra polinomi Moltiplicazione L’importanza delle parentesi (x+1)(x+2) x+1(x+2) = x2+2x+x+2

Verificare la seguente identità Esercizi 𝑎 2 − 𝑎 𝑎−𝑏 −2𝑎 𝑎+𝑏 −3 𝑎 2 +𝑎 𝑎−𝑏 −(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) 1 3 𝑥− 1 2 𝑦 − 1 3 𝑥− 1 2 𝑦 +𝑥 𝑥−𝑦 −2𝑥𝑦 Verificare la seguente identità 2𝑥 𝑥 2 − 𝑥𝑦 3 𝑥 2 + 𝑥𝑦 3 =2 𝑥 3 1 4 − 𝑦 2 9

Operazioni tra polinomi Potenza di un polinomio Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. L’operazione è generalmente lunga e complessa ma ci sono alcuni casi particolari che consentono di semplificare l’operazione.

Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Quadrato di un binomio (a+b)2=a2+b2+2ab b a a+b a b

Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Cubo di un binomio (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2

Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Somma per differenza (a+b)●(a-b) =a2-b2

Verificare la seguente identità Esercizi (3 𝑎 2 +5𝑎𝑏)(3 𝑎 2 −5𝑎𝑏) 1 3 𝑥− 1 2 𝑦 2 𝑧 2 (2𝑎−𝑧𝑦) 3 − 2𝑎−𝑧𝑦 2𝑎+𝑧𝑦 2 − 𝑎 2𝑎−𝑧𝑦 2 Verificare la seguente identità (𝑎+𝑏) 3 + (2𝑎+𝑏) 3 = 3𝑎+2𝑏 [𝑎 2𝑎+𝑏 + 𝑎+𝑏 2 ]

Operazioni tra polinomi Divisione per un monomio non nullo Si può eseguire in modo esatto quando il monomio divide tutti i monomi che compongono il polinomio. Il risultato si ottiene applicando la proprietà distributiva della somma rispetto alla divisione 1 3 x2 3x3-4a2x2+¼x4a

Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi P e D (non nullo) Si dice quoziente della divisione l’espressione letterale Q tale che P=Q●D. In generale Q non è un polinomio. a+b 2ax Se D è un divisore di P allora Q è un polinomio. ax-3a+2x-6 a+2

Operazioni tra polinomi Divisione tra polinomi in una variabile Dati due polinomi P e D nella stessa variabile e tali che P sia di grado maggiore rispetto a D, la divisione può essere effettuata in modo esatto quando esiste un polinomio Q tale che P=Q●D. può essere effettuata con resto quando esistono due polinomi Q e R tali che P=Q●D+R. R è di grado inferiore a P

Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi in una variabile Ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado della variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo. (2x4+3x3-x2+x+2):(x2+x-3) (2a2-3a3-a4+2):(-3+a2-a) (3x3y3-3x2y2+1):(xy-2)

Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi in più variabili Scegliere una lettera e ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado di quella variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo. (2x3-3ax2-4a3+2xa2):(a+x)

Operazioni tra polinomi Teorema di Ruffini Il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado (x-a) è dato da P(a). Esempi: (a2-2a+1):(a+2) (x3y3-2x2y2+xy):(xy-3)

Operazioni tra polinomi Teorema di Ruffini Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0. Esempi: (a2+2a+1):(a+1) (x3y3-2x2y2+xy):(xy-1) Ogni valore della variabile che rende nullo il polinomio è detto radice o zero del polinomio.

Determinare quoziente e resto Esercizi 𝑎 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 : 𝑎𝑏 2 −2 𝑎−𝑏 2 + 𝑎 2 + 𝑏 2 :(𝑎𝑏) 𝑎 𝑥 3 − 1 3 𝑎 2 𝑥−𝑎 𝑥 2 + 1 3 𝑎 2 : 𝑥−1 −𝑎 (𝑥−1) 2 Determinare quoziente e resto (𝑎 3 +2 𝑎 2 −9𝑎−18):(3𝑎+6) (−15𝑥 3 𝑦+2 𝑥 2 𝑦 2 −4𝑥𝑦 3 −6 𝑦 3 ):(5𝑥𝑦+ 𝑦 2 )

Scomposizione in fattori di un polinomio Un polinomio si dice riducibile se può essere espresso come prodotto di polinomi di grado inferiore. Altrimenti il polinomio si dice irriducibile. Scomporre in fattori significa trasformare in un prodotto. Si può scomporre un polinomio mediante: Raccoglimenti Prodotti notevoli Teorema di Ruffini

Scomposizione in fattori di un polinomio Raccoglimenti Si sfrutta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Consiste nel raccogliere i fattori comuni ai vari monomi che compongono il polinomio. E’ conveniente mettere in evidenza il MCD. ax(b+c) = axb + axc

Scomposizione in fattori di un polinomio Raccoglimenti kx2+k2x-k3xy+k4 -3x2a3y15+ 1 3 x3a2y5z+4a2x2 3x(a-b)+5(a-b)+7y(a-b)

Scomposizione in fattori di un polinomio Raccoglimenti successivi o parziali Se i vari monomi che compongono il polinomio non hanno fattori comuni possiamo vedere se il polinomio può considerarsi come somma di polinomi che hanno fattori comuni e procedere a raccoglimenti parziali. Poi valutare se i termini ottenuti hanno fattori comuni e raccogliere. 3ax-3xb+5a-5b+7ay-7yb

Scomposizione in fattori di un polinomio Raccoglimenti successivi o parziali am-bm-cm+an-bn+cn-ad+bd-cd x2a3-x3a2+3a-3x

Scomposizione in fattori di un polinomio Prodotti notevoli Si tratta di riconoscere lo sviluppo di un prodotto notevole e scriverlo come prodotto o potenza.

Scomposizione in fattori di un polinomio Prodotti notevoli 9a2+42ab+49b2 8a3-36a2b+54ab2-27b3 -a4b6+100a6b8 -x3a3+3x2a2b-3xab2+b3 81c4+18c2b2+b4 a4-2a2b2+b4-c2

Scomposizione in fattori di un polinomio Prodotti notevoli e raccoglimenti 3a3-2a2-3a+2 a2-b2+a3b2-a2b3+ax-bx

Scomposizione in fattori di un polinomio Teorema di Ruffini Quando il polinomio da scomporre è in una variabile si può provare a vedere se è divisibile in modo esatto per un binomio di primo grado nella stessa variabile, usando il Teorema di Ruffini. Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0. Infatti, se P(a)=0 allora P(x)=Q(x)(x-a).

Scomposizione in fattori di un polinomio Teorema di Ruffini Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0. Il valore di a deve essere cercato tra i divisori del temine noto o tra i suoi rapporti con i divisori del coefficiente del termine di grado massimo del polinomio.

Scomposizione in fattori di un polinomio Teorema di Ruffini 6x3+2x2-x+12 ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±12 ± 1 2 ± 1 3 ± 1 6 ± 2 3 ± 3 2 ± 4 3

Scomposizione in fattori di un polinomio Teorema di Ruffini x+4x3+1 2x3-2x2-3x-2 x2y2 -11xy+30 x3+5x2+6x

mcm e MCD Il massimo comune divisore tra due polinomi A e B, MCD(A,B), è ogni polinomio C tale che: C è divisore sia di A che di B ogni altro polinomio D che divide sia A che B ha grado minore o uguale a quello di C.

mcm e MCD Per calcolare il massimo comune divisore tra due polinomi A e B si devono scomporre in fattori i due polinomi prendere i fattori comuni ai due polinomi col minimo esponente moltiplicare i termini ricavati 4x2+2x 4x2-1 4x2+4x+1

mcm e MCD Il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B, mcm(A,B), è ogni polinomio C tale che: C è multiplo sia di A che di B ogni altro multiplo D comune ad A e B ha grado maggiore o uguale a quello di C. 3x2y2z ½x2z2a -4x2yz3t

mcm e MCD Per calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B si devono scomporre in fattori i due polinomi prendere i fattori comuni e non comuni ai due polinomi col massimo esponente moltiplicare i termini ricavati 4x2+2x 4x2-1 4x2+4x+1

Esercizi 𝑚 2 +2𝑚𝑛+ 𝑛 2 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 𝑎𝑚−𝑛𝑏+𝑎𝑛−𝑚𝑏 Determinare mcm e MCD 𝑚 2 +2𝑚𝑛+ 𝑛 2 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 𝑎𝑚−𝑛𝑏+𝑎𝑛−𝑚𝑏 𝑥 4 − 5 2 𝑥 3 −3 𝑥 2 +10𝑥−4 𝑥 2 −4 𝑥 2 +4𝑥+4

Le frazioni algebriche Un rapporto tra due polinomi A e B, di cui B non nullo, è detto frazione algebrica. 𝑥+𝑦 𝑎−5𝑏 𝑥+𝑦= 𝑥+𝑦 1

Le frazioni algebriche Il denominatore di una frazione algebrica non può essere nullo, dobbiamo quindi capire quali valori fanno perdere significato all’espressione. L’insieme dei valori per cui la frazione algebrica ha significato (che non annullano il denominatore) si chiama dominio.

Le frazioni algebriche 𝑥+2 𝑥 3 1−𝑎𝑏 𝑥+2 𝑥−2 3 𝑥2−𝑦2

Le frazioni algebriche Due frazioni algebriche sono equivalenti quando assumono il medesimo valore per tutti i valori per cui hanno entrambe significato. 𝑥+2 𝑥 3 𝑥−𝑦 𝑥2−4 𝑥(𝑥−2) 3(𝑥−𝑦) 𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2

Le frazioni algebriche E’ possibile semplificare una frazione algebrica dividendo numeratore e denominatore per uno stesso termine non nullo. 𝑥+2 𝑥 3 𝑥−𝑦 𝑥2−4 𝑥(𝑥−2) = (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥(𝑥−2) 3(𝑥−𝑦) 𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2 = 3(𝑥−𝑦) (𝑥−𝑦)2

𝒂+𝒃 𝒂+𝒄 5+3 5+7 ≠ 3 7 𝑥+𝑦 𝑎+𝑦

Le frazioni algebriche Una frazione algebrica in numeratore e denominatore hanno almeno un fattore comune si dice riducibile. Altrimenti si dice irriducibile. E’ bene dividere numeratore e denominatore per il loro MCD. Dopo aver diviso per il MCD la frazione si dice ridotta ai minimi termini.

Operazioni tra frazioni algebriche Moltiplicazione Il risultato è ancora una frazione algebrica avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Per eseguire la moltiplicazione si deve: Valutare il dominio delle frazioni Eseguire il calcolo Ridurre ai minimi termini

Operazioni tra frazioni algebriche Moltiplicazione 2 𝑥 2 𝑦 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 ∙ 3 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑥 3 𝑎 ∙ 4 𝑎 3 𝑏 𝑥 2 −1 𝑥−1 ∙ 4𝑥−4 𝑥 2 −2𝑥+1

Operazioni tra frazioni algebriche Elevamento a potenza L’esponente si applica sia al numeratore che al denominatore.

Operazioni tra frazioni algebriche Elevamento a potenza − 2 𝑎𝑏 −2 𝑥 2 −1 𝑥+2 2

Operazioni tra frazioni algebriche Divisione Data una frazione algebrica P Q , la sua inversa è quella frazione algebrica Q P che moltiplicata per la prima dà 1. Il quoziente di due frazioni algebriche A e B, con B non nulla, si calcola moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda.

Operazioni tra frazioni algebriche Divisione 2 𝑥−1 : 𝑥+1 𝑥 2 −1 3𝑥 𝑥 2 +𝑥 𝑥−2

Operazioni tra frazioni algebriche Somma e sottrazione Si opera come nella somma di frazioni numeriche. 2 𝑥−1 + 𝑥+2 𝑥 2 −1 3𝑥 𝑥 2 +𝑥 − 2 𝑥 2 −𝑥−2

Esercizi 1 2𝑦+1 + 4𝑦 1−4 𝑦 2 + 1 1−2𝑦 : 𝑦 2 +2𝑦+1 1−2𝑦 1 2𝑦+1 + 4𝑦 1−4 𝑦 2 + 1 1−2𝑦 : 𝑦 2 +2𝑦+1 1−2𝑦 − 1 3𝑎 + 1 3𝑎−2 ∙ 3𝑎−1 : 1 𝑎 + 3 3𝑎−2