Prof.ssa Rosella Tomassetti Laboratorio Didattica speciale: codici del linguaggio logico-matematico ( secondaria II grado) Prof.ssa Rosella Tomassetti III incontro 18/04/2014 (pom) Ascoli Piceno (5 ore)

La scelta degli obiettivi

La valutazione degli apprendimenti Gli obiettivi proposti nelle precedenti slides non si propongono certo in modo rigido o gerarchico. Ugualmente sarà necessario all’insegnante comprendere come una stessa abilità possa essere presente e quindi valutata a diversi livelli,

La valutazione degli apprendimenti Un metodo particolarmente efficace non può essere dato in assoluto ed in astratto. Ogni insegnante si accorgerà di quale strategia in un certo momento e per una certa persona risulta la più adatta.

Due esempi Volendo valutare la capacità di misurare e la conoscenza di semplici figure geometriche si potrà proporre un’attività di costruzione di una cornice per la foto della classe, con l’attenzione di graduare tale attività in funzione dell’abilità manuale posseduta dal soggetto (dal semplice ritaglio del supporto di cartone al taglio e montaggio di bacchette di legno); Volendo valutare il possesso delle abilità di calcolo si potranno proporre in forma attiva semplici problemi di compravendita (dall’acquisto della merenda al bar della scuola all’organizzazione di una festicciola), i quali si prestano bene ad essere sviluppati su differenti livelli o arricchiti anche di concetti di economia

«Se l’insegnante saprà impostare il suo lavoro con la consapevolezza che alla base di molte competenze di autonomia sta la conquista di opportune abilità matematiche, una valutazione delle competenze possedute dai ragazzi in termini di autonomia offrirà in maniera naturale una lettura anche delle competenze matematiche, coinvolgendo l’allievo stesso»

La valutazione potrà così essere anche per lo studente disabile occasione di autovalutazione, come scoperta su se stesso, e dunque reale strumento di crescita personale. A. Canevaro, respingendo l’idea di una valutazione speciale per l’alunno in situazione di handicap, sottolinea l’esigenza che la valutazione contenga elementi utili per sviluppare un’autovalutazione, aiutando l’alunno a crescere nella consapevolezza della propria situazione.

Per questo motivo “la valutazione. per chi è handicappato Per questo motivo “la valutazione... per chi è handicappato... dovrebbe essere fatta due volte e non una volta sola” (Canevaro, 1995): una volta in presenza delle migliori condizioni di adattamento, un’altra senza “appoggi” e accorgimenti particolari; in tal modo il ragazzo potrà essere aiutato a comprendere quale possa essere il proprio rendimento con i supporti adeguati o senza di essi, promuovendo in tal modo il suo inserimento sociale.

L’autonomia personale è una conquista per ogni ragazzo e dunque è evidente come le attività che si possono impostare secondo le modalità sopra indicate sono significative e utili per tutti. Una volta di più bisogna riconoscere che i vantaggi dell’inclusione illuminano angoli insospettati: perfino la matematica, “lo spauracchio, l’incubo più terribile del popolo studentesco italiano” (Piochi, 1998).

Difficoltà e disturbi nell’apprendimento matematico L’apprendimento matematico si riferisce a molti campi, tra loro abbastanza indipendenti (nel senso che un individuo può avere significative difficoltà in uno di essi, ma non in un altro): soluzioni di problemi, ragionamento logico, geometria ecc. Si tratta di aree che hanno collegamenti con il pensiero e/o l’orientamento spazio-temporale e/o le capacità visuo motorie e/o il linguaggio ecc. L’intervento didattico in questo settore richiede notevole competenza. L’insegnante dovrebbe essere esperto per quanto riguarda lo sviluppo del pensiero (ad esempio relativamente al passaggio da quello intuitivo a quello operatorio concreto), le capacità visuo-motorie e spazio-temporali, i processi di attenzione e di memorizzazione e, molto importante, i processi motivazionali.

Modelli cognitivi dello sviluppo del numero, del calcolo e dell’algebra

Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Il modello del triplice codice di Dehaene Secondo questo modello i numeri vengono manipolati nel cervello umano attraverso tre tipi di rappresentazioni: Le rappresentazioni visivo-arabe, Le rappresentazioni linguistiche verbali, La rappresentazione analogica di grandezza.

indipendenza funzionale sistema del calcolo processazione numerica sistema di elaborazione sistema del calcolo processazione numerica

sistemi dei numeri e del calcolo da elementi lessicali primitivi ( i numeri da 1 a 9; le decine, i numeri da 11 a 16) e i miscellanei (cento, mila, milione) sistema dei numeri da dipendenza funzionale dal sistema dei numeri sistema del calcolo

passaggio da un codice ad un altro: processo di transcodifica sistema dei numeri diversi codici alfabetico orale (dire “sette”) alfabetico scritto (scrivere “sette”) codice arabico (ideogramma 7) codice pittografico        sistema di numerazione romano (VII) ASPETTI è rappresentabile attraverso passaggio da un codice ad un altro: processo di transcodifica

Sistema dei numeri COMPRENSIONE PRODUZIONE comprensione dei simboli ordinare i numeri confrontare i numeri quantitativamente conoscere il valore posizionale dei numeri enumerare in avanti e indietro scrivere i numeri sotto dettatura ricordare le tabelline Incolonnare Ricordare combinazioni e fatti aritmetici (i multipli 5, 10, somme ricorrenti)

informazioni numeriche livelli del sistema del calcolo sottosistema di elaborazione delle informazioni numeriche fatti aritmetici procedure di calcolo livelli non gerarchici attribuisce agli "operatori aritmetici" le procedure di calcolo relative tabelline, calcoli semplici, eseguiti senza algoritmo di soluzione calcolo scritto regole di esecuzione dell'algoritmo

sviluppo delle abilità aritmetiche dimensioni (Case, 2000) strutturale evolutiva

DIMENSIONE STRUTTURALE Nel codice alfabetico orale sono presenti tutti gli elementi lessicali e anche i miscellanei. Nel codice arabico i miscellanei non hanno una rappresentazione grafica in cifre (uso del segno convenzionale come il punto). Lo zero, invece, appare nel codice arabico ma non nel codice alfabetico (valore posizionale delle cifre). ASPETTI analizza i meccanismi coinvolti nel processo di transcodifica che vengono attivati al cambiamento del codice di presentazione di un numero esempi

ASPETTI ESEMPI dimensione evolutiva progressi dei bambini strategie per eseguire un’addizione: primo livello: conteggio singole unità secondo livello: somma del valore cardinale maggiore alle singole unità del valore minore terzo livello: scomporre gli elementi da sommare per facilitare i riporti ASPETTI ESEMPI progressi dei bambini verso lo svolgimento dei compiti aritmetici

Abilità di base necessarie all'apprendimento della matematica pensiero reversibile Capacità di ripercorrere all’indietro, mentalmente, l’azione eseguita, fino a ritornare al punto di partenza abilità di classificazione Capacità di riconoscere uguaglianze e differenze fra le cose in base ad un criterio stabilito a priori abilità di seriazione Capacità di confrontare, comparare gli oggetti tra loro, ordinandoli in serie (es.: dal più piccolo al più grande)

organizzazione spaziale integrazione spazio-temporale ... e ancora organizzazione spaziale organizzazione temporale integrazione spazio-temporale

discalculia Disturbo delle abilità numeriche ed aritmetiche che si manifesta in bambini di intelligenza normale, che non hanno subito danni neurologici. Essa può presentarsi associata a dislessia, ma è possibile che ne sia dissociata. N.B.: Le abilità compromesse non fanno riferimento a tutta la matematica, ma solo ad alcune abilità di base, come il processamento numerico (leggere e scrivere numeri, identificarne la grandezza, ecc.) e la conoscenza degli algoritmi di base del calcolo (saper eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni a mente e per iscritto).

difficoltà esibite dal bambino discalculico: Le maggiori difficoltà del bambino discalculico riguardano: L’identificazione e il riconoscimento dei simboli numerici; La scrittura dei numeri;( difficoltà nello scrivere numeri complessi, come quelli che contengono lo zero) o lunghi (come quelli composti da molte cifre) La comprensione dei termini o dei segni matematici L’allineamento dei numeri, l’inserimento dei decimali o dei simboli durante i calcoli L’associazione del numero alla quantità corrispondente; le numerazioni orali in senso ascendente e discendente

l'automatizzazione delle procedure di conteggio, come ad esempio nel contare a salti, o contare all'indietro; l’organizzazione spaziale dei calcoli aritmetici l'esecuzione delle quattro operazioni scritte, dovuta al mancato rispetto delle regole procedurali degli algoritmi; la ripetizione la maggior parte delle tabelline; la difficoltà nel comprendere quali numeri e quali operazioni sono pertinenti al problema aritmetico che si sta considerando

lessicale ERRORI sintattico semantico AMBITI COMPITI Mancato rispetto delle regole di transcodifica: Utilizzo del codice alfabetico orale anche quando i numeri andrebbero rappresentati secondo il codice arabico (centodue=1002) Errata procedura nell’esecuzione di operazioni aritmetiche (esegue l’operazione secondo l’ordine di menzione dei numeri) Mancata comprensione del valore posizionale delle cifre La grammatica dei numeri: 1203  2103 Errata attribuzione agli operatori aritmetici delle relative procedure di calcolo Mancata associazione tra simbolo arabico e quantità numerica ERRORI lessicale sintattico semantico

elaborazione degli operatori aritmetici sistema dei numeri linea dei numeri transcodifica codifica sematica sistema del calcolo fatti numerici elaborazione degli operatori aritmetici procedure

SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri Cosa apparirà? Ricomporre il disegno seguendo la giusta progressione dei numeri. ·4 ·1 ·3 ·2 Questo esercizio si presta a diverse modalità di esecuzione (contare in avanti o all’indietro). In fondo alla pagina si può anche disegnare la retta numerica in modo tale da aiutare il bambino nei momenti di indecisione.

SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri Collocazione dei numeri su retta numerica 1 2 3 4 oppure 4 ? 6

SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri Conteggio “pronti via”: decidere che un certo gioco parte solo quando il bambino avrà contato fino a …; si può eseguire anche all’indietro, partendo da un numero dato. riconoscimento di un errore nel conteggio di un altro. conteggio (x2, x3) gioco dell’oca

SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri Puzzle Utilizzo di carte coperte in numero vario, con scritti dietro i numeri; le carte vanno girate in un dato ordine e riproducono parole o disegni. Si possono riordinare in numero regressivo, o cominciando dall’ultimo, o parzialmente. A P E 26 20 14

SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica   Unisci i numeri uguali Dodici 20 Venti 18 Diciotto 12

SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica Ripetizione Ripetizione di serie di cifre: il bambino si allena a ripetere correttamente Confronto di serie di cifre aventi una solo cifra diversa da individuare (es.: 638/648) Ripetizione di coppie di numeri che si differenziano gradualmente, sia fonologicamente sia lessicalmente Ripetizione di coppie di numeri con due unità lessicale in comune (es.: 615/715) (es.: 329/829) Ripetizione di coppie di numeri con tre cifre in comune ed un diverso valore posizionale (es.: 480/840)

Griglia SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica   Griglia Inserire, nella griglia, i numeri a diverse cifre. (4329 – 786 – 1089 - 654)

SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Numerosità e stima Chiedere al bambino prima quante possono essere le stelle e dopo chiedergli di contarle

SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Confronti di stima tanti pochi

SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Confronti di stima uno niente

SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Ordinare i numeri Ordina in modo crescente i seguenti numeri: 56 – 201 – 78 – 65 – 12 - 20

Confrontare i numeri quantitativamente SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Confrontare i numeri quantitativamente 5 4 3 2 1

Associazione numero-grandezza-quantità SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica Associazione numero-grandezza-quantità 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

SISTEMA DEL CALCOLO – fatti aritmetici Uso delle dita Strategia facilitante che deve essere incentivata perché spontanea Aiutano a ricordare con rime a carattere lessicale (es.: 6x8=48 “asino cotto”). Filastrocche

Gioco delle costruzioni SISTEMA DEL CALCOLO – elaborazione degli operatori aritmetici Gioco dell'oca Variante: dopo aver lanciato i dadi si estrae una carta, prima di muovere l’ochetta; se sulla carta compare il segno “+” si procede in avanti, se compare il segno “-” si retrocede. Obiettivo: possedere un numero consistente di mattoncini. A seconda delle carte estratte con il segno “+” o “-”, il bambino potrà far aumentare o diminuire il patrimonio dei mattoncini. Esaurite le carte, ogni bambino avrà un capitale di mattoncini con cui eseguire la costruzione. Gioco delle costruzioni

SISTEMA DEL CALCOLO – elaborazione degli operatori aritmetici Completa con il simbolo che manca: <, >, = 48 …………………………….61 51 …………………………….54 …………………………….45 67 ……………………………67

SISTEMA DEL CALCOLO – procedure Usare facilitazioni, strategie che semplificano il calcolo: 7 + 21 = 21 + 7 10 + 14 = 10 + 10 + 4 2 x 9 = 2 x 10 – 2 Uso della calcolatrice: gli insegnanti dovrebbero superare la diffidenza circa l’uso di tale mezzo, e di distinguere tra conoscenza della struttura dell’algoritmo (componente logica) e conoscenza procedurale, relativa alla memorizzazione e messa in atto dei passaggi necessari a svolgere l’operazione. Tutti i bambini dovrebbero essere aiutati a comprendere l’algoritmo, ma nel momento in cui non ci riescono è il caso di utilizzare “strumenti compensativi”.

Processi coinvolti nel trattamento numerico Subitizing Stima Conteggio Calcolo (mentale, scritto) Memorizzazione e recupero di fatti aritmetici

Subitizing L’automatismo del subitizing consiste in una funzione visiva che consente un rapido e preciso giudizio numerico eseguito su insiemi di piccole numerosità di elementi

Stima La stima è un processo numerico a base semantica che consiste nel determinare in modo approssimativo e senza contare valori incogniti (grandi numerosità). semantica regola la comprensione delle quantità 3=

Conteggio Contare costituisce il primo collegamento tra la capacità innata del bambino di percepire le numerosità e le acquisizioni matematiche più avanzate della cultura nella quale è nato Imparare la sequenza delle parole usate per contare è il primo modo con il quale i bambini connettono il loro concetto innato di numerosità con le prassi culturali della società in cui sono nati (Butterworth, 1999).

Sviluppo della capacità di contare Gelman e Gallistel hanno individuato cinque principi che essi ritengono soggiacenti al processo di contare: 1. Il principio della corrispondenza biunivoca: secondo il quale per ogni oggetto deve essere utilizzata una sola etichetta numerica, e viceversa. 2. Il principio dell’ordine stabile: Per contare occorre rispettare un determinato ordine di enunciazione. Nel conteggio, oltre ad assegnare etichette arbitrarie agli item, è necessario che tali etichette siano organizzate in un ordine stabile ripetibile;

La capacità di contare 3.Il Principio della cardinalità: l’ultimo numero utilizzato rappresenta e contiene tutti gli oggetti contati. L’applicazione del principio della cardinalità richiede un’adeguata applicazione dei principi della corrispondenza biunivoca e dell’ordine stabile 4 il principio dell’irrilevanza dell’ordine, secondo il quale una determinata etichetta numerica può essere assegnata a qualunque oggetto.I bambini iniziano a contare senza considerare rilevante l’oggetto da cui partire;

5 Il principio di astrazione, secondo il quale la procedura di conteggio può essere applicata a qualsiasi tipo di item (concreto costruzioni mentali).

Il calcolo Il calcolo viene realizzato per risolvere problemi di tipo numerico. I problemi possono essere di struttura additiva o di struttura moltiplicativa

Sviluppo delle capacità di calcolo Differenti strategie basate sulla conta nella soluzione di problemi di struttura additiva (Cter & Moser): 1. Count-all : i bambini contano separatamente i due insiemi da addizionare, uniscono gli insiemi e contano tutti gli elementi dell’insieme somma 2. Count-on: i bambini concettualizzano il valore cardinale e contano in avanti a partire dal primo insieme o dall’insieme maggiore

Sviluppo delle capacità di calcolo 3. Know fact: i bambini danno una risposta direttamente, senza contare, recuperando conoscenze fattuali dalla memoria 4. Derived fact: i bambini utilizzano fatti numerici conosciuti per ricavare ulteriori conoscenze (16+3=19 perché 6+3=9 e 10+9=19)

Sviluppo delle capacità di calcolo Nei compiti di sottrazione: 1. Take away: i bambini contano gli elementi dell’insieme più grande, contano il sottoinsieme da sottrarre ed infine contano il sottoinsieme che rimane. 2. I bambini concettualizzano il valore cardinale e contano all’indietro partendo dal primo termine sino al secondo termine, tenendo traccia dei passi, o contano in avanti dal secondo termine sino al primo, tenendo traccia dei passi.

Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Sistema di elaborazione del numero Esempio: Supponiamo di voler scrivere in cifre il numero centottantacinque Meccanismo sintattico: sovraintende l’elaborazione di una struttura a tre cifre. Meccanismo lessicale: inserzione delle cifre che compongono il numero « 1 », « 8 », « 5 ».

Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Esempio Supponiamo di voler realizzare la somma 185 + 17 La comprensione del simbolo “+” orienta verso la mobilitazione di procedure di calcolo ad esso coerenti. La comprensione dei simboli 185 e 17 viene realizzata attraverso il processo lessicale e il processo sintattico. Le procedure di calcolo possono essere sia di calcolo scritto che di calcolo mentale.

Procedure di calcolo scritto Corretto incolonnamento dei numeri Realizzazione di somme parziali Gestione del riporto 185+ 17= ______ 202 Le somme parziali avvengono mobilitando strategie quali “counting on” oppure mobilitando “fatti aritmetici”: Fatti aritmetici memorizzati dal soggetto: 5+7=12 o Fatti aritmetici (5+5=10 ; 10+2=12) utilizzati con strategie del tipo derived fact

Procedure di calcolo mentale Possono essere mobilitate strategie del tipo di quelle evidenziate da Carpenter e Moser Counting on 185, 186, 187, ... 202 Fatti numerici del tipo derived fact o del tipo known fact 17=15+2 185+15=200 200+2=202