CONDUZIONE IN REGIME VARIABILE

Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 1/5 volume V, superficie A y x h = costante T ambiente = T z T uniforme Corpo in quiete, T all’istante τ=0 pari a Ti

Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 2/5 L’assunzione principale è che il solido si mantenga a temperatura uniforme durante l’evolversi del fenomeno. La conseguenza è che all’interno del corpo non ci sono gradienti di temperatura. Tale ipotesi si avvicina alla realtà quanto più la resistenza superficiale convettiva è elevata rispetto alla resistenza per conduzione: Bi = numero di Biot (1774 -1862)

Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 3/5 Bilancio energetico

Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 4/5 La condizione iniziale fornisce: Qi = Ti-T

Conduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 5/5 La soluzione particolare è dunque: Il gruppo ha le dimensioni di un tempo e rappresenta il tempo necessario affinchè il valore di q raggiunga il 36,8% di qi

LASTRA PIANA INDEFINITA Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 1/10 Bi = numero di Biot 2L x LASTRA PIANA INDEFINITA Effetti ai bordi trascurabili; mezzo omogeneo ed isotropo; assenza di sorgenti di calore:

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 2/10 Si ipotizza che la funzione T=T(x,τ) possa esprimersi come prodotto di funzioni ad una sola variabile: L’equazione di Fourier diventa: Separando le variabili: La soluzione costante è l’unica possibile poichè ogni membro è funzione di una sola variabile, il segno negativo garantisce la soluzione decrescente nel tempo.

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 3/10 La soluzione generale può dunque esprimersi come: ed introducendo la funzione si ottiene l’espressione seguente:

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 4/10 A. CONDIZIONE AL CONTORNO CON T IMPOSTA SULLE SUPERFICI ESTERNE 1) τ= 0 0 ≤ x ≤ 2L θ = θi = Ti – T  C2 = 0 2) τ> 0 x = 0 θ = 0 2μL = nπ 3) τ> 0 x = 2L θ = 0 Il II membro della 1 è lo svil. in serie di Fourier del I:

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 5/10 B. CONDIZIONE AL CONTORNO CONVETTIVA SULLE SUPERFICI ESTERNE τ< 0 Tlastra = Tfluido = Ti τ 0 Tfluido = T  x 2L h 1) τ = 0 0 ≤ x ≤ L θ = θi 2) τ > 0 x = 0 3) τ> 0 x = L La condizione 2 fornisce: La condizione 3 fornisce:

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 6/10 Fissato L, esistono infiniti valori di μ = μn che soddisfano l’equazione: La condizione 1 fornisce: Attraverso alcuni passaggi analitici si ottiene la soluzione totale: Con μn n-esima radice dell’equazione

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 7/10 CILINDRO INDEFINITO h R 2R0 T(0,r) = Ti x Introducendo l’equazione del transitorio si esprime come: con la condizione iniziale: e la condizione al contorno di convezione imposta:

CILINDRO DI DIMENSIONI FINITE Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 8/10 CILINDRO DI DIMENSIONI FINITE 2L R0 Alle condizioni al contorno del cilindro indefinito si aggiunge la convezione sulle basi: Il cilindro di lunghezza 2L e raggio R0 è prodotto dall’intersezione di una lastra piana indefinita ed un cilindro indefinito

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 9/10 La combinazione delle due soluzioni base si esplicita esprimendo la funzione θ attraverso la separazione delle variabili: Sostituendo nell’equazione generale si ottengono due formulazioni: LASTRA PIANA CILINDRO Entrambe sono note, il loro prodotto fornisce la soluzione generale.

Conduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 10/10 Allo stesso modo possono ricavarsi le soluzioni per altri corpi ottenibili come combinazioni di solidi indefiniti 2L1 2L3 2L2 Il parallellelepipedo, ad esempio può pensarsi come l’intersezione di tre lastre indefinte di spessore 2L1, 2L2, e 2L3 Tale metodo è applicabile quando: - tutte le superfici sono soggette alle stesse condizioni convettive; - le superfici esterne sono tra loro ortogonali.