DATAZIONE DI UN FOSSILE Il metodo del 14C (isotopo radioattivo carbonio) Il Carbonio-14, normalmente presente nella materia organica, comincia a decadere in Azoto-14 non appena si verifica la morte. Tempo di dimezzamento : circa 6000 anni (5730)

quantità 1 2 … n 10 mg 5 mg = 10/2 2,5 mg =10/4 10/2n mg t (num periodi) quantità 1 2 … n 10 mg 5 mg = 10/2 2,5 mg =10/4 10/2n mg Note: e

PROBLEMA INVERSO Trovare t note e

ESEMPIO Cioè: 24000 anni circa

LEGGE DI RAFFREDDAMENTO DI NEWTON Entri in un bar. Ti servono il caffè a una temperatura di 80°. Per non scottarti la temperatura massima deve essere 40°. Quanto devi aspettare per bere il caffè? Legge di raffreddamento di Newton: la temperatura di un liquido che si trova in un luogo a temperatura fissa (per esempio 20°) segue la legge:

1) Si sa che in 5 minuti si passa da 80° a 30°. Determinare k (coeff. di conducibilità esterna). 2) Quanto aspettare a bere? circa 3 minuti

LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE C M C= CAPITALE IMPIEGATO O INVESTITO M= CAPITALE DOVUTO O RESTITUITO x = DATA DI INVESTIMENTO y = SCADENZA x y C M

Creditore Debitore Epoca x Epoca y C M=C+I una persona, detta creditore, presta un capitale C ad un’altra persona, detta debitore. All’epoca y (y ≥ x) il debitore deve restituire un altro capitale M, che è la somma del capitale avuto in prestito e di un compenso I, detto interessi. il contratto finanziario consiste nello scambio della somma C disponibile al tempo x con la somma M=C+I disponibile al tempo y.

r t = 1 + i M = C + I TASSO EFFETTIVO DI INTERESSE FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE CON CUI C DIVIENE M Nota: i dipende dal tempo

r t = fattore di capitalizzazione C M x y r t = fattore di capitalizzazione

INTERESSE SEMPLICE I direttamente proporzionali a t Se C = 1 Se C > 1 Fattore di capitalizzazione

se il capitale investito è Interesse semplice se il capitale investito è Poiché

Rappresentazione grafica Interesse semplice Rappresentazione grafica C M(t) t Mt = C +Cit I = Cit

Esercizio Un capitale di 3.000 viene impiegato al tasso i = 7% per 4 anni in I.S. Calcolare interessi e montante. C = 3.000 i = 0,07 t = 4

Il problema del tempo nell’interesse semplice t = n se anni interi t= m/12 se mesi t = gg/365 se giorni

Esercizio Calcolare il montante di 1.500 per 2 anni, 6 mesi e 15 giorni al tasso annuo del 5% i = 0,05 t= 2 + 6/12 + 15/365 = 2.541

Esercizio Dato M = 2.000, i = 0,0725, t = 3 anni C = ?

Esercizio Dato M= 5.512 C = 5.200, i = 0.03, anni = ?

Esercizio Dato M= 7.605 C = 6.500, anni = 4 , i = ?

r0 r1 r2 ……… …. rt INTERESSE COMPOSTO Fattore di cap.ne nell’interesse composto

ANDAMENTO GRAFICO DELLA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA Interesse composto ANDAMENTO GRAFICO DELLA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA C Mt M(t) t Mt = C(1+i)t

Interesse composto Se sono noti M, i, t da

Esercizio Calcolare il montante di 350.000 dopo 3 anni ad interesse composto con i=0,0735

Esercizio Trovare il capitale che dopo 3 anni ad interesse composto, con i = 0,085, fornisce il montante di 57.478

relazioni Per ottenere t

Esercizio Calcolare il tempo necessario perché un capitale di 65.000 ad interesse composto produca un montante di 90.317 al tasso del 5%

relazioni Per ottenere i quindi

Esercizio Un capitale di 1.750 per 4 anni fornisce un montante di 2.367,66, quale è il tasso di capitalizzazione?

Confronto grafico tra Interesse Semplice e Composto Per t = 1 Int.Semplice Int. Composto quindi per C Mt M(t) 1 t Mt = C(1+i)t

rIC < rIS rIC =rIS rIC >rIS Per t < 1 quindi MIS > MIC Per confronto Per t < 1 rIC < rIS quindi MIS > MIC Per t = 1 rIC =rIS quindi MIS = MIC Per t >1 rIC >rIS quindi MIS < MIC

INTERESSE COMPOSTO CONTINUO O MATEMATICO Interesse matematico INTERESSE COMPOSTO CONTINUO O MATEMATICO Gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti in ogni istante. Ha applicazioni soprattutto teoriche, come tecnica di valutazione di operazioni finanziarie complesse. Considerato un tasso di interesse annuale i supponiamo di dividere l’anno in m periodi. Al termine di ciascun periodo viene corrisposta una frazione dell’interesse relativo all’intero anno pari a i/m. Tale interesse viene subito riinvestito.

Al termine di n anni il montante sarà dato da Interesse matematico Al termine di n anni il montante sarà dato da L’interesse sarà continuo se t (il numero di periodi) tende all’infinito.