Rappresentazione dei numeri in virgola fissa Il numero complessivo di cifre significative dei numeri che possono essere rappresentate in un calcolatore è limitato dalla capacità di una cella di memoria (con k bit, in modulo e segno, si rappresentano i numeri compresi fra –2k-1+1 e 2k-1-1) Quando si utilizzano numeri in cui sia presente sia una parte intera, sia una decimale si può ricorrere alla rappresentazione detta in Virgola Fissa in cui si fissa la posizione che la virgola deve avere all’interno del numero da rappresentare Ciò equivale a stabilire a priori il numero di cifre da utilizzare sia per la parte intera, sia per quella decimale Per i numeri negativi si può utilizzare ancora la tecnica del complemento

Rappresentazione dei numeri in virgola fissa Esempio: memorizzare 72.6 con 12 bit, di cui 4 riservati alle cifre decimali 72 0 b0 36 0 b1 18 0 b2 9 1 b3 4 0 b4 2 0 b5 1 1 b6 0 0 b7 0.6 1.2 1 b-1 0.4 0 b-2 0.8 0 b-3 1.6 1 b-4 72.610 = 0100 1000 10012 Rappresentare -72.6: -72.610 = 1011 0111 01112 In pratica il numero è stato moltiplicato per 24, avendo stabilito di avere 4 cifre decimali Problema: ridotto intervallo di rappresentazione dei numeri e ridotta precisione di rappresentazione

Rappresentazione normalizzata dei numeri reali Qualsiasi numero reale a  0 può essere rappresentato in modo univoco in base b>1 nella forma: Questa rappresentazione equivale a:  db-1 db-2 … d0, d-1 d-2 … per b>0  0, d-1 d-2 … per b=0  0, 0 … 0 d-b-1 d-b-2 … per b<0 Se a=0, la rappresentazione è semplicemente 0 In pratica si deve fissare una variabilità finita per l’indice i

Rappresentazione normalizzata dei numeri reali 1758.37 = 0.175837  104 -0.001 = -0.1  10-2 1 = 0.1  101 5000 = 0.5  104 In generale qualunque numero A può essere rappresentato da: Il segno di A (S= segno, con la convenzione: 0 = +, 1 = -); Le cifre significative di A (M= mantissa) rappresentate in una forma normalizzata; se n sono le cifre utilizzate e B è la base del sistema di numerazione, l’intervallo di variabilità della mantissa è: B-n  M < 1; L’esponente (E) a cui bisogna elevare la base B per ottenere il fattore per cui moltiplicare la mantissa per ottenere A A = S 0.M x B E

Rappresentazione in virgola mobile Per una rappresentazione effettiva si conviene di: eliminare i simboli ridondanti fissare la lunghezza della mantissa fissare la lunghezza dell’esponente utilizzare per l’esponente una convenzione che permetta di rappresentare numeri positivi e negativi senza l’indicazione esplicita del segno (complemento alla base o tecnica dell’eccesso, sommando una opportuna costante) disporre gli elementi rimasti (segno, esponente, mantissa) in un ordine convenzionale Quindi A viene rappresentato dalla sequenza: S E M

Rappresentazione in virgola mobile Esempi: in base 10: 1 cifra per il segno (0 = +, 1 = -), 2 cifre per l’esponente, rappresentato in complemento, e 8 cifre per la mantissa S E M 1758.37 0.175837  104 0 04 17583700 -0.001 -0.1  10-2 1 98 10000000 1 0.1  101 0 01 10000000 5000 0.5  104 0 04 50000000 -63517.8 -0.635178  105 1 05 63517800 -0.0000635178 -0.635178  10-4 1 96 63517800

Rappresentazione in virgola mobile Esempi: in base 2: 1 bit per il segno (0 = +, 1 = -), 8 bit per l’esponente, rappresentato in complemento e 23 bit per la mantissa 1001100011111000.0111011 0. 10011000111110000111011  216 0 00010000 10011000111110000111011 -0.0000000000101100110011111 -0. 101100110011111  2-10 11110110 10110011001111100000000 Cosa corrisponde al numero seguente rappresentato in virgola mobile? 11101101111110001111100000000000 -0. 111100011111  2-37 0.0000000000000000000000000000000000000111100011111

Formato dei dati numerici in virgola mobile Numeri reali in singola precisione: 32 bit (1 per il segno, 8 per l’esponente, 23 per la mantissa); in doppia precisione: 64 (1, 11, 52) In singola precisione l’esponente varia quindi tra -128 e +127 Si parla di dinamica per descrivere l’intervallo dei numeri rappresentabili –2127 < N < 2127 (circa -1038< N < 1038) La mantissa di 23 bit permette di rappresentare numeri con circa 7 cifre decimali significative Per valori superiori a 1038 o inferiori a -1038 si parla di overflow Per valori inferiori al minimo numero positivo rappresentabile ( 0) o superiori al massimo numero negativo rappresentabile si parla di underflow

Formato dei dati numerici in virgola mobile Passi per ottenere la rappresentazione binaria trasformazione in binario normalizzazione memorizzazione Esempio: 75.125 75 1 37 1 18 0 9 1 4 0 2 0 1 1 0.125 0.250 0 0.500 0 1.000 1 75.12510 = 1001011.0012 1001011.001  0.1001011001  27 Quindi in singola precisione: 0 00000111 10010110010000000000000

Formato dei dati numerici in virgola mobile Esempio: 0.0375 0.0375 0 0.0750 0 0.1500 0 0.3000 0 0.6000 0 1.2000 1 0.4000 0 0.8000 0 1.6000 1 Quindi in singola precisione: 0 11111100 10011001100110011001100

Operazioni tra numeri in Virgola Mobile Operazioni di moltiplicazione e divisione: Le mantisse vengono moltiplicate o divise Gli esponenti vengo sommati o sottratti Se necessario, la mantissa viene rinormalizzata e l’esponente corretto Operazioni di somma o sottrazione: L’esponente più piccolo viene reso uguale al più grande spostando la mantissa verso destra del numero di cifre pari alla differenza tra gli esponenti (shift per ottenere un corretto incolonnamento) Le mantisse vengono sommate o sottratte NB Nello shift si potranno perdere alcune cifre meno significative, ma sono quelle di peso minore del numero più piccolo. Nell’esempio le cifre in rosso verrebbero perse se si utilizzassero solo 4 cifre decimali per la mantissa A: 0,6502 x102 = Shift: 0,006502 x104 + B: 0,2347 x104 = A+B: 0,241202 x104

Standard IEEE 754 Un numero reale  0 viene scritto in binario come 1.b1b2b3…  2e La mantissa a è perciò variabile nell’intervallo 1  a < 2 Il numero viene memorizzato su 32 bit 1 bit di segno 8 bit di esponente 23 bit per la mantissa Poiché la prima cifra è sempre 1, questa cifra non viene memorizzata. Di fatto la mantissa ha 24 cifre binarie, di cui la prima sottintesa L’esponente viene memorizzato sommando il valore costante 127 (notazione eccesso 127) Esempio: rappresentare 1.0 0 01111111 0000000 00000000 00000000

Esempi IEEE 754 -1 1 01111111 0000000 00000000 00000000 2 = 1  21 0 10000000 0000000 00000000 00000000 -3 = -1.1  21 1 10000000 1000000 00000000 00000000 0.5 = 1  2-1 0 01111110 0000000 00000000 00000000 0.666666 0 01111110 0101010 10101010 10101010 3.141593 0 10000000 1001001 00001111 11011100

Codifica di dati non numerici: definizioni I calcolatori lavorano soltanto con i numeri, ma devono poter trattare anche altre entità: per questa ragione sono stati inventati i codici. Alfabeto è un insieme finito di simboli (caratteri) distinti Parola o Stringa è una sequenza finita di simboli Esempi: U={1} alfabeto unario; A={0, 1} alfabeto binario; B={A, B, C, …, Z} alfabeto inglese; C={A, B, …, Z, 0, 1, …, 9} alfabeto alfanumerico Parola è una successione finita di caratteri di un alfabeto 1011001101 è una parola di A o di C SFSJKGH è una parola di B o di C SF120C è una parola di C

Alfabeto usato dai calcolatori I calcolatori lavorano utilizzando due simboli: INTERRUTTORE: aperto/chiuso TRANSISTOR: conduce/non conduce LIVELLO DI TENSIONE: alto/basso RIFLETTIVITÀ DI UN’AREOLA: alta/bassa DOMINIO DI MAGNETIZZAZIONE: I calcolatori utilizzano quindi una logica e un’aritmetica binaria Ai due stati stabili di un dispositivo, ai due valori di una grandezza, vengono associati convenzionalmente i simboli 0 e 1

Alfabeti usati dall’uomo { A, B, C, D, … ,Z } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } { ; , . ! ? : ( ) ‘ “… } { Caratteri giapponesi } { Caratteri arabi } È necessario stabilire delle regole di corrispondenza, dette CODIFICHE La codifica metterà in corrispondenza biunivoca ogni SIMBOLO appartenente all’alfabeto più ricco con una STRINGA di simboli appartenenti all’alfabeto più ridotto

Codifica é ù ) ( log 2 ³ n C = M Dato un insieme I di elementi qualsiasi, si dice codifica di I mediante parole di un alfabeto A un procedimento che permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di I e le parole di un sottoinsieme Q dell’insieme delle parole di A. Esempio: codifica di lettere tramite cifre decimali A  01, B  02, C  03, D  04, . . . , Z  26 Un codice binario è quindi la codifica dei simboli di un alfabeto S mediante stringhe di bit; se C è la cardinalità di S (n. di elementi) per il numero n di bit da utilizzare deve valere: C  2n . Ossia: é ù ) ( log 2 ³ n C = M

Codici non ridondati e ridondanti Se n = M il codice è non ridondante (usa il minimo numero di bit per codificare tutti i simboli di S) Se n > M il codice è ridondante (usa più bit del necessario per codificare tutti i simboli di S) Si definisce distanza di Hamming (H) di un codice: Il minimo numero di bit di cui differiscono due parole qualsiasi del codice Se n=M → H=1 Se c’è ridondanza H ≥ 1 Aggiungendo opportunamente la ridondanza alle parole si possono ottenere codici a rilevazione e/o a correzione di errore Si può dimostrare che per i codici a sola rilevazione: N° di bit errati rilevati: R = H-1 e che per i codici a correzione: N° di bit errati corretti: C ≤ (H-1)/2 N° di bit errati rilevati: R = H-C-1

Codici Ridondanti a Rivelazione/Correzione Sono codici con distanza di Hamming H > 1 e possono avere la caratteristica di rivelare o correggere uno o più bit errati Parità: È un codice con H = 2. Si ottiene dal codice non ridondante aggiungendo 1 bit in modo che il numero complessivo di bit uguali a “1” sia pari (parità pari) o dispari (parità dispari) Avendo H=2 può solo rilevare gli errori, e solo se questi accadono singolarmente o in un numero dispari nella stessa parola di codice

Codici di Hamming Sono codici ridondanti con H>2 e perciò con capacità di auto correzione. Il più noto e semplice ha H=3: dato un codice non ridondante di n bit, vengono inseriti in particolari posizioni k bit di controllo. Perché possa essere corretto un errore (singolo) deve valere: n ≤ 2k –k –1 Corregge un bit in posizione arbitraria Rivela la presenza di un solo errore Funziona bene se gli errori sono distribuiti casualmente Esempio: parola di 7 bit (n = 7) Per creare un codice di Hamming con H=3 bisogna rispettare la relazione precedente e quindi usare 4 bit di controllo aggiuntivi (k = 4).

Codici Ciclici Usati nella trasmissione a distanza su linee rumorose, soprattutto se sono possibili errori a raffica. Sono codici rivelatori di errore, ma non autocorrettori. In casi di errore rivelato il messaggio deve essere ritrasmesso. Un messaggio M di k bit da trasmettere viene trattato come un polinomio di grado k-1, i cui coefficienti sono i bit del messaggio. Preso un altro polinomio G di grado r si arriva attraverso operazioni modulo 2 su M e G, ad un terzo polinomio T di grado t (con k<t≤k+r), divisibile per G. I coefficienti di T costituiscono la stringa di bit da trasmettere. In ricezione un algoritmo analogo divide T per G. Se il resto della divisione è ≠ 0 il messaggio deve essere ritrasmesso.

Codifica delle cifre decimali Vi sono diverse codifiche delle cifre decimali Codice BCD (Binary Coded Decimal): ogni cifra decimale viene codificata con 4 bit. È un codice pesato perché il valore di ogni cifra viene ottenuto eseguendo una somma pesata delle quattro cifre binarie che lo compongono Codice ad eccesso tre: è basato sul codice BCD. Ogni codifica si ottiene sommando 3 alla codifica BCD. Non è un codice pesato. Per passare da una cifra alla cifra corrispondente al complemento a 9 basta complementare le cifre binarie della sua codifica Codice 2421: i numeri indicano ordinatamente i pesi delle 4 cifre binarie. Come per l’eccesso tre, le codifiche di una cifra e della cifra corrispondente al complemento a 9 sono fra loro complementari

Codifica delle cifre decimali BCD Eccesso 3 2421 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0110 4 0111 5 1000 1011 6 1001 1100 7 1010 1101 8 1110 9 1111 Sono tutti codici che lasciano 6 configurazioni inutilizzate delle 16 a disposizione con 4 bit

Codice Gray Per il modo in cui viene creato si dice che è un codice riflesso. Serve a codificare un numero in modo che le stringhe di bit che rappresentano numeri consecutivi differiscano per un solo bit. Il codice Gray elimina il problema di transizioni spurie passando da una codifica alla successiva Dato un numero, si può passare dalla sua codifica binaria b=bm bm-1 … b1 b0 alla codifica Gray g=gm gm-1 … g1 g0 nel modo seguente:  è il simbolo di somma modulo 2 (EXOR - or esclusivo) b2 b1 b0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 mentre il passaggio inverso è

Codifica di informazioni alfanumeriche Per convenzione, si definisce alfabeto esterno di un calcolatore l’insieme dei caratteri che è in grado di leggere e stampare mediante i dispositivi di I/O. Questo alfabeto comprende almeno 64 caratteri (esempio codice Field data): le 26 lettere dell’alfabeto inglese maiuscole le 10 cifre decimali 28 caratteri vari (spazio, segni di punteggiatura, etc.) In genere si utilizzano codici a 7 o 8 bit EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): 8 bit. Rappresenta caratteri alfanumerici e speciali. Personalizzato per le varie nazionalità (necessita di conversioni e ormai obsoleto) UNICODE: rappresenta con 16 bit tutti i caratteri della lingua parlata dall’uomo (usato da Java e adottato da HP, IBM, Microsoft, Oracle, …)

Codice ASCII American Standard Code for Information Interchange Ne esistono due versioni: 7 bit → 128 simboli; in questo caso l’ottavo bit è usato a volte come ridondanza (H=2) per la rilevazione di un errore (bit di parità) 8 bit → 256 simboli (ASCII esteso); codifica anche lettere accentate e caratteri grafici; l’estensione non è standardizzata e quindi fra i 128 simboli aggiunti può succedere che alla stessa codifica corrispondano simboli diversi È il codice più usato per la codifica dei caratteri alfanumerici (lettere e cifre) oltre che per simboli di interpunzione e vari. Ad esempio: . ; : , ( ) [ ] { } / \ < > = ? ! ~ | # $ % & * ^ - @ ecc.

Codice ASCII

Codifica delle immagini In un calcolatore tutto è discreto L’immagine è un insieme continuo di informazioni (luce, colore) in due dimensioni Quando si memorizzano immagini pittoriche o fotografiche si scompone artificiosamente l'immagine in una sequenza di elementi di informazione codificati con sequenze binarie

Codifica bitmap di Immagini L'immagine viene suddivisa in un reticolo di punti detti pixel (picture element) Ogni pixel viene codificato con una sequenza di bit 000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000010100000000000000000001000100000000000000000100000100000000000000010000000100000000000001000000000100000000000100000000000100000 La qualità dell'immagine dipende dal numero di pixel per unità di lunghezza e dal numero di bit utilizzati per codificare ogni pixel.

Codifica bitmap di Immagini Problema: Non è possibile ingrandire a piacimento un'immagine perché non si aumenta il dettaglio, ma si distinguono i singoli pixel. La soluzione di aumentare il numero di pixel non è possibile perché questo aumenterebbe lo spazio necessario per memorizzare una immagine (si richiederebbe una compressione)

Codifica dei pixel Immagini in bianco e nero: raramente si usa un solo bit. Ogni pixel di solito si codifica con 8 bit per rappresentare diversi livelli di grigio (28 = 256 livelli) Immagini a colori: i colori vengono ottenuti tramite la combinazioni di almeno 3 colori base, detti primari. La composizione può avvenire tramite la tecnica di sintesi sottrattiva o additiva in funzione del tipo di dispositivo utilizzato (stampante, monitor o televisore) Per codificare un pixel si devono codificare i tre colori primari (es. RGB), la cui combinazione consente di ottenere il colore del pixel stesso Per ciascun colore primario spesso si usano 8 bit e quindi in totale per codificare ciascun pixel servono 24 bit Ciò consente di codificare 224 ~ 16 milioni di colori diversi Con profondità di colore si intende il numero di bit utilizzati per codificare i pixel

Occupazione di memoria di un’immagine L’occupazione di memoria di un’immagine dipende da: definizione o risoluzione dell’immagine (intesa come il numero di pixel per unità di lunghezza: dot per inch = DPI) Numero dei colori (dipende a sua volta dal numero di bit usati per codificarli: 8, 16, 24 bit) Tipo immagine Definizione Colori Occupazione Televisiva 720 x 625 256 (8 bit) ~ 440 kByte Monitor di PC 1024 x 768 65.536 (16 bit) 1,5 MByte Fotografica 15.000 x 10.000 16.000.000 (24 bit) ~ 430 MByte

Formati di file bitmap TIFF (Tagged Image File Format): Profondità fino a 24 bit e vari metodi di compressione GIF (Graphics Interchange Format): consente di memorizzare più immagini in uno stesso file JFIF (Jpeg File Interchange Format) e SPIFF implementano il metodo di codifica JPEG (Joint Photographers Expert Group), formato standard che usa due tipi di compressione molto utilizzato su Internet. Prevede la tecnica di visualizzazione interallacciata (l’immagine viene composta per righe alterne per cui viene caricata velocemente, ma diventa più nitida man mano che viene completata) BMP (BitMaP) usata con Windows supporta immagini con profondità 1, 4, 8 e 24 bit

Immagini vettoriali Questo formato si usa in applicazioni di progettazione meccanica, architettonica, elettronica, e in tutte quelle applicazioni in cui l’immagine viene costruita con elementi di alto livello quali linee, cerchi, poligoni, archi, colori, ecc. Al contrario delle immagini bitmap in cui l’elemento di informazione è il pixel, in quelle vettoriali gli elementi dell’immagine sono gli oggetti grafici che la compongono circle 98 66 50 polyline 0 48 88 152 88 48 Ogni oggetto è codificato attraverso un identificatore (es. polyline, circle, etc.) e alcuni parametri quali le coordinate del centro e la lunghezza del raggio (per la circonferenza) o le coordinate dei vertici (per il poligono)

Formato vettoriale per le immagini Vantaggi: Indipendenza dal dispositivo di visualizzazione e dalla sua risoluzione Gli elementi grafici sono indipendenti l’uno dall’altro e si possono elaborare distintamente minore occupazione di memoria rispetto alla grafica bitmap Svantaggi: applicabilità limitata: un’immagine fotografica non si può scomporre in elementi primitivi limiti nell’utilizzo in quanto si possono manipolare immagini vettoriali solo con il software utilizzato per crearle o compatibile

Formati di file vettoriali PostScript: incorporato in molte stampanti, si è evoluto nel tempo e consente di rappresentare immagini vettoriali e bitmap anche a colori con diverse tecniche di compressione. Formati derivati del PostScript sono EPS e PDF DXF (Drawing Interchange Format) usato da molti programmi di disegno memorizza i vettori in formato testo. La versione binaria DXB è più compatta ma meno diffusa

Rappresentazione di immagini in movimento Immagini in movimento vengono rappresentate attraverso sequenze di immagini fisse (frame) visualizzate ad una frequenza sufficientemente alta da consentire all’occhio umano di ricostruire il movimento (24, 25 o 30 immagini al secondo) Lo standard multimediale per le immagini in movimento, MPEG, codifica ciascun frame separatamente secondo lo standard JPEG Si utilizzano tecniche di compressione in quanto un minuto di filmato a 25 fotogrammi al secondo richiederebbe uno spazio di memorizzazione di 644 MByte (un CD contiene 680 MByte)

Algebra Booleana (George Boole (1815-1864)) Il simbolo “::=“ significa “è definito / composto da” Il simbolo “|” significa “oppure” L’algebra di Boole è definita su due elementi (vero | falso, 0 | 1) Costante booleana ::= 1 | 0 Operatore booleano ::= NOT | AND | OR Una variabile booleana può assumere solo uno dei due valori 0 o 1

Operatori Booleani NOT (simbolo ): simbolo grafico 1

Operatori Booleani AND (prodotto logico); simbolo * oppure • 1 * 1 = 1 1 * 0 = 0 * 1 = 0 * 0 = 0 simbolo grafico x y x * y 1

Operatori Booleani OR (somma logica); simbolo + 0 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 + 1 = 1 simbolo grafico x y x + y 1

Funzioni booleane o logiche Sulle variabili booleane può essere definita una funzione booleana o logica F(x1, x2, …, xn) che per ogni n-pla xi assume valori 0 e 1 Una particolare funzione logica F è definita quando ad essa è assegnata una “tavola di verità”, una tabella in cui è specificato il valore che assume F in corrispondenza di ogni combinazione delle variabili x1, x2, …, xn Il numero di combinazioni di n variabili è 2n, cioè la tavola della verità è costituita da 2n righe Nell’algebra di Boole vale il teorema di dualità che dice: Ogni identità e ogni proprietà resta valida se si scambiano tra loro gli elementi 0 e 1 e gli operatori AND e OR Una espressione è duale di un’altra se ottenuta scambiando AND con OR e 0 con 1. Se un teorema è vero, anche il suo duale è vero

Proprietà dell’algebra booleana Duale Idempotenza Complementazione Prop. commutativa Prop. associativa Prop. Distributiva Prop.assorbimento De Morgan {

Operatori Universali NAND e NOR sono detti universali perché possono da soli realizzare i tre operatori fondamentali NOT, AND e OR NAND (/) = negazione dell’AND 1 / 1 = 0 1 / 0 = 0 / 1 = 0 / 0 = 1 simbolo grafico NOR ( ) = negazione dell’OR 0 0 = 1 1 0 = 0 1 = 1 1 = 0 simbolo grafico x y x / y 1 x y x y 1

Operatori Universali Proprietà: Solo NOR Solo NAND Not Or And Not And

Operatori Universali Realizzazione tramite NAND NOR NOT OR AND

Operatore OR-esclusivo (EXOR) L’operatore EXclusive-OR o EXOR è anche detto sommatore modulo 2. Il simbolo grafico è  Può essere ricavato tramite i 3 operatori elementari: x y x  y 1 ( ) x y f Å = × + , y

Operatore OR-esclusivo (EXOR) L’exor è anche detto funzione DISPARITÀ, perché è vero solo quando un numero dispari dei suoi argomenti è vero Proprietà: