Epistemologia delle scienze naturali (II Sem.) La natura del Tempo e la teoria della relatività di Einstein Francesco Orilia

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simultaneità per due eventi spazialmente distanti Einstein suggerisce di considerare come "tempo" ciò che indica "il mio orologio". Quindi, la nozione di simultaneità richiede la sincronizzazione degli orologi. Supponiamo di spedire un segnale luminoso da A (dove c'è un orologio stazionario, che segna il tempo tA) ad una regione distante B (dove c'è un altro orologio stazionario che segna il tempo tB). Questo segnale parte al momento tA ed arriva a B nel momento tB [inviando così un certo messaggio, diciamo tA = 0].

Nel punto B viene riflesso da uno specchio e ritorna così al punto A nel momento t'A [inviando così il messaggio tB = 5, assumendo che 5 è ciò che segna l'orologio all'arrivo del segnale da A]. Nel momento t'A l'orologio in A segnerà un altro orario [supponiamo t'A = 10]. Gli orologi in A e B sono definiti sincronizzati sse tB - tA = t'A - tB [nel nostro esempio abbiamo = ]. Ma se tB - tA = t'A - tB, allora tB + tB = t'A + tA, ossia 2tB = t'A + tA e dunque tB = 1/2(t'A + tA).

Insomma gli orologi sono sincronizzati sse tB = 1/2(t'A + tA). In questo modo, può essere fissata una misura uniforme del tempo in tutti i punti di un sistema di riferimento per mezzo di una serie di orologi stazionari nel sistema di riferimento Abbiamo a questo punto non solo un tempo di A ed uno di B, ma un tempo comune che vale sia per A che per B, assumendo per definizione che la luce impiega lo stesso tempo sia all'andata che al ritorno

Su questa base possiamo definire la simultaneità di due eventi E1 ed E2 spazialmente distanti relativa ad un sistema di riferimento questo, presupponendo la simultaneità immediatamente osservabile a livello locale, necessaria per asserire che un certo evento è simultaneo con l'evento di un certo orologio vicino all'evento che segna un certo tempo se un osservatore, date le condizioni e definizioni specificate sopra, giudica che due eventi occorrono allo stesso tempo, allora i due eventi sono simultanei. Il che conduce immediatamente alla relatività (rispetto al sistema di coordinate di riferimento) della simultaneità (poiché, per le trasformazioni di Lorentz il tempo registrato da un cronometro varia con il sistema di riferimento).

Insomma, più precisamente, assumendo idealmente che, dati due luoghi A e B, troviamo in essi due orologi sincronizzati, possiamo così definire la simultaneità a distanza (presupponendo quella locale tra eventi approssimativamente nello stesso luogo) relativa ad un certo presupposto sistema di riferimento inerziale: Un evento E2 che avviene nel luogo B è simultaneo (a distanza) con un evento E1 che avviene nel luogo A se e solo E1 è simultaneo localmente con il fatto (evento) che l'orologio in A segna il tempo t, laddove (i) t = 1/2(t1+ t2), (ii) t1 è il tempo segnato dall'orologio in A simultaneamente (nel senso locale) con la spedizione di un segnale luminoso verso lo specchio in B che riflette il segnale indietro verso A, (iii) t2 è il tempo segnato dall'orologio in A simultaneamente (nel senso locale) con il ritorno del raggio dopo che è stato riflesso dallo specchio in B.

Nella definizione appena data, è stato assunto però che la luce è isotropa, cioè ha la stessa velocità nel viaggio di andata ed in quello di ritorno ma non è chiaro che ciò si possa verificare. La definizione di simultaneità sembra da questo punto di vista basata su una convenzione. Qui bisogna distinguere accuratamente tra questo aspetto di convenzionalità della definizione di Einstein (c'è dibattito su quanto questa convenzionalità sia evitabile) e il fatto che la simultaneità di Einstein è relativa a un certo sistema di riferimento inerziale e non è assoluta.

Conferme empiriche per SP v. Craig p. 65 Per una mappa concettuale che associa idee a dati empirici vedi astr.gsu.edu/HBASE/relativ/relcon.html#relco n astr.gsu.edu/HBASE/relativ/relcon.html#relco n

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Lezione sulle analogie tra l'approccio operazionalista di Einstein alla nozione di tempo ed il verificazionismo del neo- positivismo

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La distanza spazio-temporale Sebbene tempi e lunghezze cambino da un sistema di riferimento ad un altro, c'è una quantità che rimane la stessa per qualsiasi sistema di riferimento. E' chiamata la distanza spazio-temporale tra due eventi. Vedremo adesso come questa quantità viene individuata

Immaginiamo che dall'origine di un sistema di riferimento si diffonda un segnale luminoso, che quindi viaggia alla velocità c. Utilizziamo c come unità di tempo. Sicché abbiamo il cronometro fissato a zero all'origine, il cronometro che segna ct = c, dopo la prima unità di tempo, ct = 2c, dopo la seconda unità di tempo, ecc. Quindi, in generale, l'unità di tempo è della forma ct.

Supponiamo adesso che il segnale luminoso sia inviato da un sistema K' che passa oltre il sistema K con la velocità V, in modo tale che al tempo t' = t = 0, l'origine di K' coincide con quella del sistema K. Dall'origine di K' si diparte una sfera di luce che al tempo t' ha il raggio ct' (poiché spazio = velocità moltiplicata per il tempo). Quindi, per l'equazione della sfera abbiamo:

(1')x' 2 +y' 2 +z' 2 = c 2 t' 2 Ossia (2')x' 2 +y' 2 +z' 2 -c 2 t' 2 = 0 In generale, x, y, z identificano un punto nello spazio tridimensionale. Se ct è il raggio di una sfera con centro 0, allora i valori di x, y e z che soddisfano questa equazione corrispondono a punti nella superficie di tale sfera Segue digressione sull'equazione della sfera tratta da /SuperficieInR3.htm /SuperficieInR3.htm

x ² + y ² + z ² - R ² = 0 è l’equazione di una sfera di centro O e raggio R in quanto ogni punto P(x, y, z) della sfera è tale per cui applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli OHH’ e OHP ottenuti proiettando il punto P sugli assi cartesiani come indicato in figura si ottiene OH’² + H’H ² + PH ² = R ² e quindi, sostituendo OH’ = x, H’H = OH’’ = y e HP = z, si ha verificata l’equazione.

Seguendo Minkowski, prendiamo il tempo come una quarta dimensione Dobbiamo pensare ad una superficie quadridimensionale (non visualizzabile) in cui un punto indicato da quattro coordinate, (x,y,z,t), corrisponde a un evento del tipo "luce che raggiunge un certo particolare punto spaziale (x,y,z) nel momento t" o "presenza del segnale luminoso in un certo punto spazio-temporale (x,y,z,t)". Possiamo applicare le trasformazioni di Lorentz per sapere cosa corrisponde dal punto di vista di K all'evento (x',y',z',t') visto da K'.

(2')x' 2 +y' 2 +z' 2 -c 2 t' 2 = 0 Assumendo come al solito F = e inserendo in (2') i valori tratti dalle trasformazioni di Lorentz otteniamo ((x- Vt)/F) 2 +y 2 +z 2 - c 2 ((t - (V/c 2 )x)/F) 2 = 0 Lavorando su questa equazione [metterò soluzione in rete] otteniamo: (2) x 2 +y 2 +z 2 -c 2 t' 2 = 0 Da (2') e (2) otteniamo: x' 2 +y' 2 +z' 2 -c 2 t' 2 = x 2 +y 2 +z 2 -c 2 t' 2 Ossia, abbiamo una quantità che è identica sia per K che per K' ed è quindi chiamata Lorentz invariant

Questa quantità è invariante: x 2 +y 2 +z 2 -c 2 t' 2 Ne consegue (metterò dimostrazione in rete) che anche questa quantità è un invariante: (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2 Intuitivamente, x 1 - x 2 è una distanza spaziale tra due punti e ct1 - ct2 una distanza temporale tra due istanti

Nello spazio a due dimensioni, per il teorema di Pitagora abbiamo (dove d è la distanza tra due punti): d =  ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ) d 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 Analogamente, sempre per Pitagora, nello spazio a tre dimensioni: d =  ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 ) d 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2

Seguendo Minkowski, pensiamo allo spazio e al tempo come a tutt'uno con quattro dimensioni Consideriamo ancora la quantità invariante (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2 Nello spazio a 4 dimensioni di Minkowski, questa quantità si può vedere un analogo - la distanza spazio- temporale - della distanza tra due punti (data dal teorema di Pitagora). Quindi, in analogia col teorema di Pitagora, poniamo: d =  ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2 ) d 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2

d =  ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2 ) d 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 +(z 1 - z 2 ) 2 - c 2 (t 1 - t 2 ) 2 Possiamo tralasciare per comodità le assi y e z lavorando con una generica coordinata x che sintetizza tutte le dimensioni spaziali (Boniolo, p. 26). Indicando con  x la distanza spaziale e con  t quella temporale otteniamo: d =  (  x 2 - c 2  t 2 ) d 2 =  x 2 - c 2  t 2