ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOT Tabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR A.S.E.

Richiami Algebra Booleana Insieme di Elementi Insieme di Operatori Insieme di Postulati Teoremi A.S.E.

Algebra delle commutazioni Elementi (2) 0 (logico) 1 (logico) Falso Vero Livello logico Basso Livello logico Alto 0 V 5 V Costanti Possono assumere due valori Variabili Possono assumere due valori A.S.E.

Definizione di “OR” Operazione definizione x y x+y 1 x+y y 1 x OR o SOMMA LOGICA definizione l’operazione OR è definita dalla tabella x y x+y 1 x+y y 1 x A.S.E.

Osservazioni x +y è uguale a “0” se e solo se x e y sono uguali a “0”, altrimenti x +y è uguale a “1” Si può estendere a “n” variabili: x1+x2 + . . +xn è uguale “0” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “0” La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata A.S.E.

Definizione di “AND” Operazione Definizione xy y 1 x x y xy 1 AND o PRODOTTO LOGICO Definizione l’operazione AND è definita dalla tabella xy y 1 x x y xy 1 A.S.E.

Osservazioni x ·y è uguale a “1” se e solo se x e y sono uguali a “1”, altrimenti x ·y è uguale a “0” Si può estendere a “n” variabili: x1·x2· . . . ·xn è uguale “1” se e solo se x1, x2, ..xn sono uguali a “1” La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate A.S.E.

“NOT” Operazione Osservazione NOT o Complemento Logico , o Negazione, o Inversione Osservazione In base alla definizione iniziale si ha x `x 1 A.S.E.

Riassunto POSTULATI A.S.E.

Verifica P1 Le funzioni AND e OR sono chiuse OK Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono definite I valori delle uscite appartengono a “B” xy y 1 x x+y y 1 x A.S.E.

Verifica P2 “0” elemento identità della funzione OR e “1” elemento identità della funzione AND OK Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x) xy y 1 x x+y y 1 x A.S.E.

Verifica P3 Le funzioni OR e AND sono commutative OK xy y 1 x x+y y 1 Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale xy y 1 x x+y y 1 x A.S.E.

Verifica P4 Le funzioni OR e AND sono distributive OK Metodo dell’induzione perfetta x y z yz x+yz x+y x+z (x+y)(x+z) y+z x(y+z) xy xz xy+xz 1 A.S.E.

Verifica P5 Il complemento di x deve soddisfare le condizioni OK Metodo dell’induzione perfetta x x x + x x  x 1 A.S.E.

Funzione logica (o Boleana) Una funzione Boleana (completa) è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x1,…..,xn. La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali A.S.E.

Osservazioni Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche A.S.E.

Tabella di Verità 1 Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) Osservazione Una funzione di “n” variabili ammette 2n possibili configurazioni Una funzione di “n” variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione A.S.E.

Tabella di verità 2 Funzione di tre variabili x y z u f (0,0,0) 1 f (0,0,0) 1 f (0,0,1) f (0,1,0) f (0,1,1) f (1,0,0) f (1,0,1) f (1,1,0) f (1,1,1) A.S.E.

Esempio x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 1 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 2 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 3 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 4 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 5 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Passo 6 x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Fine x y z x + y x + z (x + y )(x + z ) yz u 1 A.S.E.

Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale proprietà è stata utilizzata nel Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE A.S.E.

Teorema 9 (dimostrazione 9a 9b x y x+y ( x+y) x • y 1 x y x • y ( x •y) x + y 1 A.S.E.

Tabella dei Prodotti e delle Somme n = 3 x y z p s `x •`y •`z p0 1 x + y + z s0 `x •`y • z p1 x + y +`z s1 2 `x • y •`z p2 x +`y + z s2 3 `x • y • z p3 x +`y +`z s3 4 x •`y •`z p4 `x + y + z s4 5 x •`y • z p5 `x + y +`z s5 6 x • y •`z p6 `x +`y + z s6 7 x • y • z p7 `x +`y +`z s7 A.S.E.

Definizioni 1 LETTERALE FORMA NORMALE DISGIUNTIVA Variabile complementata o non complementata presente nella formula FORMA NORMALE DISGIUNTIVA Somma di prodotti FORMA NORMALE CONGIUNTIVA Prodotto di somme A.S.E.

Definizione 2 MINTERMINE “pi ” è una funzione (prodotto) che vale “1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili MAXTERMINE “si ” è una funzione (somma) che vale “0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili A.S.E.

Forma Canonica “Somma di Prodotti” “SP” x y z u 1 p0 p1 p3 p5 p7 A.S.E.

Forma Canonica “Prodotto di Somme” “PS” x y z u 1 s2 s4 s6 A.S.E.

Osservazioni La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT Una stessa funzione logica può essere scritta in molta forme La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi A.S.E.

Osservazioni Se l’espressione in esame e funzione di tre variabili L’espressione di partenza è nella forma canonica PS L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali A.S.E.

Trasformazione SP – PS e PS - SP Dalla tabella dei prodotti e delle somme n x y z p s `x •`y •`z p0 1 x + y + z s0 `x •`y • z p1 x + y +`z s1 2 `x • y •`z p2 x +`y + z s2 3 `x • y • z p3 x +`y +`z s3 4 x •`y •`z p4 `x + y + z s4 5 x •`y • z p5 `x + y +`z s5 6 x • y •`z p6 `x +`y + z s6 7 x • y • z p7 `x +`y +`z s7 A.S.E.

Osservazione Data un’espressine nella forma SP Si può scrivere come SP complementata dei 2n-k prodotti non impiegati nell’espressione precedente Applicando il teorema di De Morgan Applicando De Morgan si ottiene la forma PS A.S.E.

Esempio Data l’espressione Si ha A.S.E. S(0) S(6) S(3) S(2) S(4) S(5)

Osservazioni Si ha quindi la seguente regola Passaggio da SP a PS Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti Passaggio da PS a SP Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS Formare la somma dei mintermini ottenuti A.S.E.

Premessa 1 Osservazioni le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici In base al teorema di De Morgan si ha: ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E.

Premessa 2 Osservazioni Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT A.S.E.

Definizione Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità x y u 1 x y u 1 A.S.E.

Osservazioni NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici A.S.E.

Funzioni “complesse” 1 L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: Definizione y u 1 A.S.E.

Funzioni “complesse” 2 L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: Definizione x y u 1 A.S.E.

Proprietà dello XOR / XNOR A.S.E.

Generatore di disparità 1 A.S.E.

Generatore di disparità 2 A.S.E.

Conclusioni Algebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOT Tabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR A.S.E.

Quesiti 1 Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni. A.S.E.

Quesiti 2 Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti: x y z f 1 x y z f 1 A.S.E.

Quesiti 3 Verificare le seguenti identità A.S.E.