Elementi di Statistica Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 1/37

1... diamo un senso Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 2/37

… cosa e’ la Fisica delle Particelle Elementari ? Spiega il complesso mediante il semplice nel mondo dell’infinitamente piccolo nel mondo dell’infinitamente piccolo … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 3/37

all’attacco !!! … … applicando la ben nota manovra a tenaglia : il metodo scientifico sperimentali … … teorici Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 4/37

piu’ son piccoli … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 5/37

… cosa si misura nella HEP ? Altro (ma di supporto) quantita’ di moto q di una particella ; energia E rilasciata in un calorimetro da una particella ; angoli e direzioni delle particelle che si producono ; intervalli temporali,  t ; efficienza di un rivelatore ; contaminazione in un campione ; …… Branching ratio (BR) vita media (  ) massa (m) costanti di accoppiamento …… Parametri fondamentali      , e + e -  Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 6/37

N=200 lanci N=2000 lanci BR, branching ratio …e il determinismo dove e’ finito ?    K + K - (~ 49 %) K S K L (~ 34 %)       (~ 15 %)  (~ 1.3%) Canali BR Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci - Nel mondo dell’infinitamente piccolo le condizioni iniziali non possono essere determinate in modo completo (principio di indeterminazione). Ne segue che nel mondo delle particelle elementari le leggi sono sempre leggi di probabilita’. 7/37

una cosiddetta misura ‘semplice’ … Misura spessore cavo elettrico s (mm) frequenza N= Istogramma Errori casuali Errori sistematici Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 8/37

una cosiddetta misura ‘difficile’ … Misura massa K L M (MeV) frequenza N=21132 Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 9/37

il risultato di una operazione di misura … e’ una variabile aleatoria ! sperimteor sperimteor Le incertezze (sperimentali e/o teoriche) possono essere diminuite ; La situazione puo’ cambiare nel tempo… Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 10/37

2 Variabile aleatorie e funzioni di distribuzione Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 11/37

Indicatori fondamentali Valor medio Deviazione standard x = m   e x =  /m Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci ~  m x Si formano sempre istogrammi regolari, anche troppo ! Ogni istogramma segue qualche funzione di distribuzione 12/37

Tipi di variabili aleatorie (I) gaussiana VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o ‘campana’ errori casuali Misura di una grandezza ‘ben definita’, in presenza di errori casuali. tempo di caduta di un oggetto; spessore cavo elettrico ; massa di una particella massa di una particella ; durata di un macchinario ; misura di un intervallo di tempo binomiale VA : binomiale FDD: binomiale Si immagini una prova che abbia 2 possibili risultati: successo o insuccesso. Su N prove effettuate, il numero k di volte in cui si manifesta il successo e’ una variabile aleatoria, e ovviamente 0  k  N. risultato lancio di una moneta ; risultato lancio di un dado ; rivelazione di una data particella rivelazione di una data particella ; canale di decadimento per una particella ; misura dello spin di un elettrone poissoniana VA : poissoniana FDD: poissoniana Caso particolare di variabile binomiale : 1- il successo e’ un evento raro, p  0 ( p<0.1 ) 2- numero infinito di prove, N   ( N>50 ) # incidenti stradali in un anno ; # nascite al mese all’ospedale ; # decadimenti in 5 min di una sostanza radioattiva sostanza radioattiva ; # di eventi in un “bin” di un istogramma Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 13/37

Tipi di variabili aleatorie (II) poissoniana VA : poissoniana FDD: poissoniana p = probabilita’ successo Nascite in un ospedale Se m=25/mese su N=15207:  =5/mese ; p=0.0016/mese Sostanza radioattiva se p=1.5  /min e N=10 9 : m=6.7/min ;  =2.6/min Entries/bin Es.: misura massa K L (next) gaussiana VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o ‘campana’ p = ? Misura massa particella Se m=139 ;  =2 : P(m  )  P(m  2  )  P(m  3  )  Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci binomiale VA : binomiale FDD: binomiale p = probabilita’ successo Rivelatore Rivelatore - p=0.62 ; N=50 -> m=31;  =3 (10%) N=10 3 -> m= 620 ;  = 15 (2.4%) N=10 6 -> m= ;  = 485 (0.08%) Canale di decadimento   K S K L : se N=200 e p=0.34 : m=68 ;  =7 14/37

una cosiddetta misura ‘difficile’ … Misura massa K L M (MeV) frequenza N=21132 Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 15/37

Misura massa particella … fdd gaussiana M (MeV) f f M (MeV) f M (MeV) M (MeV) f fRfR m=497.7  =1.5 m+  m+2  m-  m-2  m M (MeV) Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 16/37

Risultati della schedina … fdd binomiale frequenza relativa k risultati indovinati Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 17/37

Sostanza radioattiva … k (dec/min) frequenza fdd poissoniana Tipo B N= m=9.7 dec/min  =3.1 Tipo A N=60000 m=2.6 dec/min  =1.6 Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 18/37

Misura intervallo temporale … ~ 4 m ~ 37 m Riv 0 Riv1 Riv2 a b t (ns) f (entries/1ns) Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 19/37

Teoria sottostante … gaussiana VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale binomiale VA : binomiale FDD: binomiale poissoniana VA : poissoniana FDD: poissoniana Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 20/37

3 Curva di accostamento (Fit) Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 21/37

relazione matematica=legge fisica=grafico : i valori sperimentali si adattano ad esso ? Fare un fit : trovare la funzione che meglio si adatta ai dati Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 22/37

Allungamento di una molla (I) A scuola si fa a mano … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 23/37

Allungamento di una molla (II) Ma esistono vari programmini … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 24/37

Spessore di un cavo elettrico (I) gaussiana Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 25/37

Spessore di un cavo elettrico (II) gaussiana bigaussiana Errori casuali da due sorgenti … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 26/37

Spessore di un cavo elettrico (III) gaussiana bigaussiana Disturbo di tipo non casuale, e dunque non gaussiano, ne’ bigaussiano … Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 27/37

Misura vita media trovare qualche parametro Un fit non e’ fatto sempre per verificare l’adattamento, ma per trovare qualche parametro … esponenziale t(s) Legge stranota, ma voglio trovare la vita media  Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 28/37

Quale e’ il criterio per dire che un fit e’ OK ? y = f (x;  ) miglior adattamento Se il fenomeno in studio e’ ben noto, la funzione y = f (x;  ) e’ gia’ decisa. Lo scopo del fit e’ allora di determinare i valori dei parametri (  e  in questo caso) che corrispondono al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. I valori che corrispondono al miglior adattamento sono quelli che rendono minima la quantita’ seguente : sperimentale valore sperimentale teorico valore teorico ~ 1  O.K. ! > 1  K.O. ! Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 29/37

4 La propagazione degli errori Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 30/37

Le misure indirette (I) Misure indirette, ovvero grandezze calcolate … visione pessimistica … … visione realistica Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 31/37

1) i = Q/tcorrente elettrica 2) K = ½ mv²energia cinetica 3) m = m 1 +m 2 +m 3 massa totale 4) A =  ·r² area di un cerchio 5) p = p 1 + p 2 pressione totale 6) P =  ·A·T 4 potenza irradiata 7) I = kA(T 2 -T 1 )/d calore trasmesso Le misure indirette (II) Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 32/37

Esempio 1 (raggi cosmici) t (ns) (123.5  2.1) ns (137.2  3.4) ns ~ 30% ~ 2% Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci perche’ piu’ largo? Riv 0 Riv1 Riv2 v = ? s 33/37

Esempio 2 (branching ratio) sig bkg cut Efficienza  CUT  = 0.94 E (MeV) K +                           e   e     trigger Rivelatore Efficienza  SEL  = 0.52 N trig N obs Vertice K+K+    se non ne tenessi conto ? Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 34/37

5 Combinazione di misure Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 35/37

Scrivere i risultati Ogni misura, normalmente, riporta separatamente due errori: statistico e sistematico : BR ( K +      ) = 0.21  0.01 stat  0.02 sist La precisione della misura in questo esempio sara’ : e BR =  BR /BR = (0.01  0.02)/0.21 ~ 0.11 Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 36/37

 Perché combinare insieme più misure ?  Da più misure indipendenti del tipo (x i ±  i ) di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile ? Combinare insieme le misure Elementi di statistica Marco Stages Estivi - Frascati 12/6/2007 Elementi di statistica Marco Dreucci 37/37