Allievi Elettrici - AA 2000-01 Le funzioni ricorsive in C Informatica B Allievi Elettrici - AA 2000-01 Le funzioni ricorsive in C

IL concetto di ricorsione La definizione basata sull’induzione L’iterazione e la ricorsione Cosa significa “ricorsivo” Come si realizza una funzione ricorsiva Come si esegue una funzione ricorsiva Esempi

L’induzione matematica Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni Definizione: numeri pari 1) 0 è un numero pari 2) se n è un numero pari anche n+2 è un numero pari Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione) 1) n=1 : vero 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k+1: (2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+4k+4= (per hp di induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione

Iterazione e ricorsione Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo Il calcolo del fattoriale: 0!=1 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)

Iterazione e ricorsione Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa: int fattoriale (int n) { int i, f; f = 1; for (i=1; i <= n; i=i+1) f = f * i; return f; }

La ricorsione Dal latino re-currere (ricorrere, fare ripetutamente la stessa azione) In informatica: si tratta di procedure (funzioni) che richiamano se stesse Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati

Definizione ricorsiva del fattoriale 1) n!=0 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0 riduce il calcolo a un calcolo più semplice ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1) 1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

Algoritmo ricorsivo per la definizione del fattoriale int fattoriale (int n) { if (n==0) return 1; else return n*fattoriale(n-1); } Quando si può dire che una ricorsione è ben definita? Informalmente: se ogni volta che applico la ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.

Esempio di traccia Calcoliamo il fattoriale di 4: 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24

Altri esempi di funzioni ricorsive La funzione esponenziale I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione) Il Massimo Comun Divisore (algoritmo di Euclide) Il problema delle torri di Hanoi

La funzione esponenziale Iterativo: int esponenziale (int x,y) { int i, e; e = 1; for (i=1; i <= y; i=i+1) e = e * x; return e; } Ricorsivo: { if (y==0) return 1; else return x*esponenziale(x,y-1); Iterativo: 1) xy=1 se y=0 2) xy=x*x*…x (y volte) se y>0 Ricorsivo: 2) xy=x*x(y-1) se y>0

I numeri di Fibonacci 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1 Vengono usati per modellare la crescita di animali per diverse generazioni int fib(int n) {if ((n==0) || (n==1)) return 1; else return (fib(n-1) + fib(n-2)); }

Dinamiche di popolazione T0: **(1) T1: ** (1) T2: ** ** (2) T3: ** ** ** (3) T4: ** ** ** ** ** (5) T5: ** ** ** ** ** ** ** ** (8) T6: ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** (13) T7: ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** (21) …etc.

Il MCD Definizione: 1) MCD(m,n)=m se m=n 2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n 2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m esempio: MCD(21,56) = MCD(21,35) = MCD(21,14)= = MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7

IL MCD Attenzione alla condizione di terminazione!!!!! Iterativo: int mcd (int m,n) { while (m != n) if (m>n) m=m-n; else n=n-m; return m; } Ricorsivo: int mcd(int m,n) { if (m==n) return m; else if (m>n) return mcd(m-n,n); else return mcd(m,n-m); } Attenzione alla condizione di terminazione!!!!! N.B. è sempre possibile trovare un corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!

Le torri di Hanoi http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

Le torri di Hanoi Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno) La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come supporto temporaneo (spare).

Le torri di Hanoi: strategia Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

Le torri di Hanoi: strategia Muoviamo il disco 4 e i più piccoli da A (source) a C (spare), usando B (dest) come appoggio temporaneo. Lo facciamo usando ricorsivamente la stessa procedura. Alla fine di questo, avremo tutti i dischi da 4 a 0 sulla torre C. Ora possiamo muovere il disco 5 da A (source) a B (dest). Infine, vogliamo che i dischi dal 4 al più piccolo siano mossi da C (spare) a B (dest). Lo rifacciamo chiamando ricorsivamente la stessa procedura. Alla fine, avremo i dischi dal 5 al più piccolo (0) su B (dest).

Le torri di Hanoi: pseudocodice FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

Le chiamate a sottoprogramma: cosa avviene a livello macchina? In seguito a una chiamata a sottoprogramma, il programma in corso viene sospeso e il controllo deve passare al sottoprogramma A livello macchina: Salvataggio del program counter (PC) e del contesto del programma chiamante Assegnazione al PC dell’indirizzo del sottoprogramma Esecuzione del sottoprogramma Ritorno al programma chiamante con ripristino del suo contesto

Problema In generale, una procedura può essere chiamata un numero imprecisato di volte Ogni chiamata a procedura richiede allocazione di spazio di memoria per le sue variabili locali Abbiamo visto che ci sono procedure che richiamano se stesse (ricorsione) In quest’ultimo caso il compilatore non può sapere quanto spazio allocare per le variabili del programma

Il record di attivazione Ogni sottoprogramma (incluso il main) ha associato un record di attivazione. Contiene: tutti i dati relativi all’ambiente locale del sottoprogramma l’indirizzo di ritorno nel programma chiamante altri dati utili In effetti, per ogni attivazione di sottoprogramma si crea un diverso record di attivazione

Richiamiamo: lo STACK Una porzione della memoria di lavoro, chiamata stack (pila: modalità LIFO (Last in First Out)) permette al sistema operativo di gestire i processi e di eseguire le chiamate a sottoprogramma. Lo Stack Pointer (puntatore alla pila) è un registro che contiene l’indirizzo della prima parola di memoria da leggere nello stack 312 311 Stack pointer= 312 312 310 Operazione di inserimento: -incremento SP -scrittura in parola indirizzata da SP Operazione di estrazione: -lettura da parola indirizzata da SP -decremento SP ... 303

Esempio Main ... P1 etc. P2 Chiama P1 Act. Record P2(2) Variabili globali Act. Record Main Act. Record P1(1) Act. Record P2(1) Act. Record P1(2) Act. Record P2(2) etc. ... P1 P2 Chiama P1

Esempio di record di attivazione nel caso del fattoriale 4 6*4=24 Prima chiamata 3 3*2=6 Seconda chiamata 2 2*1=2 Terza chiamata 1 1*1=1 Quarta chiamata 1 Quinta chiamata Fatt(0)=1