Martina Serafini Martina Prandi ESERCIZI DI PSICOMETRIA Martina Serafini Martina Prandi

Teoria della probabilità Sia x un insieme di misure (su scala ad intervalli)su 160 studenti riguardo il livello di ansia prima di un esame. X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

Esercizio1:completare la tabella delle frequenze Proporzioni P Freq. Perc. f % Freq. Cum. f c F. C. Perc. f c % 1 0% 2 7 0.04 4% 3 8 0.05 5% 15 9% 4 13 0.08 8% 28 17% 5 17 0.11 11% 45 28% 6 23 0.14 14% 68 42% 37 0.23 23% 105 65% 33 0.21 21% 138 86% 9 151 94% 10 0.06 6% 160 100% Totale

Indici della tendenza centrale Calcolare le statistiche significanti su tale scala Indici della tendenza centrale MODA: All’interno di un insieme di misurazioni di un dato sistema relazionale empirico è quel valore che compare con la massima frequenza Md = 7 … è UNIMODALE MEDIANA: All’interno di un insieme di misurazioni disposte in ordine crescente è quel valore che occupa la posizione centrale ovvero il dato al di sopra e al di sotto del quale si trovano il 50% dei dati. Se il numero n delle osservazioni è pari: i = n/2 e la successiva all’interno dei dati i = 160/2 = 80 e la posizione successiva, ossia 81 Mdn (X) = Mdn(0;2x7;3x8;4x13;5x17;6x23;7x37;8x33;9x13;10x9) = 6 MEDIA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando tutti gli n dati e dividendo il valore ottenuto per n. Media = 6.5

Indici di posizione QUARTILI: - primo quartile (Q1),è quel valore che ha il 25% dei dati a lui uguali o inferiori: i = ¼ (n+1) i = ¼ (160+1) = 40.25 Q1 =4 - secondo quartile (Q2), coincide con la mediana: i = ½ (n +1) i = ½ (160+1) =80.5 Q2 = 6 - terzo quartile (Q3),è quel valore che ha il 75% dei dati a lui inferiori: i = ¾ (n+1) i = ¾ (160+1) = 120.75 Q3 =7 - quarto quartile (Q4) è il valore più alto della serie ordinata: i = n i = 160 Q4 = 10 PERCENTILI (Pm): quel valore al di sotto del quale cade una percentuale di dati pari ad m: i = (n∙m)/100 i = (160∙22)/100 = 35.2 posizione 35 → 4 i = (160∙57)/100 = 91.2 posizione 91 → 6 :

riscontrate a livello del sistema relazionale empirico. NdE = 10 Indici di dispersione o di variabilità CLASSI DI EQUIVALENZA: :Valore che indica il numero di classi di equivalenza riscontrate a livello del sistema relazionale empirico. NdE = 10 GAMMA: è statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore minimo al valore massimo degli elementi di X. G = 10-1 = 9 DIFFERENZA INTERQUARTILICA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore del primo quartile al terzo quartile. DI = 7-4 = 3 SEMIDIFFERENZA INTERQUARTILICA: si ottiene dividendo a metà la differenza interquartilica. SI = 3/2 = 1.5 VARIANZA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando il quadrato di tutte le differenze di ogni dato dalla media di X e dividendo il risultato per n. s² = ∑ⁿ¡=1 (xi –media)² n s² = 640/160=4

DEVIAZIONE STANDARD: equivale alla radice quadrata della varianza s = √s² = √4 =2 Esercizio 2: Trasformare i valori di x in punti z PUNTI z: è la funzione che associa ad ogni elemento dell’insieme X un numero che si ottiene calcolando la sua differenza dalla media di X e dividendo tale differenza per la deviazione standard. z = xi – media s

Xi ( xi – media) f·(Xi-media)² totale 1 2 6.5 - 4.5 141.75 -2.25 3 z= ( xi – media) s 1 2 6.5 - 4.5 141.75 -2.25 3 -3.5 98 -1.75 4 - 2.5 81.25 -1.25 5 -1.5 38.25 -0.75 6 -0.5 5.75 -0.25 7 0.5 9.25 0.25 8 1.5 74.25 0.75 9 2.5 1.25 10 15.9 110.25 1.75 totale 640

Esercizio 3: Descrivere lo spazio di probabilità derivante dall’estrazione a caso di uno studente rispetto ad un punteggio del test, considerando che ciascuno di essi ha la stessa probabilità di essere estratto degli altri. Considerando che lo spazio di probabilità è costituito da: 1. Uno Spazio Campionario Ω (insieme degli esiti di un dato fenomeno casuale) 2. Una Famiglia di Eventi ε (insieme di sottoinsiemi di Ω, chiuso a tutte le operazioni) la quale coincide con l’insieme potenza P(Ω*) = ε 3. Una Distribuzione di probabilità Pr (definita su ε a valori reali, nn, norm., add.)

per ogni e Є ε Pr(e) = |e| / | Ω| Abbiamo che: Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2. ε = P(Ω*) = {Ø,{1}, {2},…,{1,2},{2,3},…, {1,2,3},…} Gli esiti dello spazio campionario sono equiprobabili, ovvero l’esito di un dato esperimento ha la stessa probabilità di verificarsi degli altri. La probabilità di accadere di un certo evento è uguale alla cardinalità dell’insieme che esprime tale evento diviso la cardinalità dello spazio campionario: per ogni e Є ε Pr(e) = |e| / | Ω| Pr({ 1 }) = 0/160=0 Pr({ 2 }) = 7/160=0.04 Pr({ 1,2 }) = 0/160+7/160 = 0.04 Pr({ 1,2,3 }) =0/160+7/160+8/160=0.09 Pr({ 2,3,4,5 })=7/160+8/160+13/160+17/160=0.28

… Pr ε 3. Distribuzione di probabilità Pr({ 1 }) = 0/160=0 Pr({ 2 }) = 7/160=0.04 … Pr ε R {7} 0.23 {6} 0.14 {5} 0.1 { 4 } 0.08 0.05 { 3 } 0.04 { 2 } { 1 } Ø

Pr({ 1,2 }) = 0/160+7/160 = 0.04 Pr({ 1,2,3 }) =0/160+7/160+8/160=0.09 Pr({ 2,3,4,5 })=7/160+8/160+13/160+17/160=0.28 … Pr R ε { 1,2 } { 1,2,3 } { 2,3,4,5} 0.28 0,09 0.04

Esercizio 4: Si considerino i tre eventi A= { ω : in ω ha il punteggio del test inferiore a 4 } B= { ω : in ω ha il punteggio del test inferiore a 3 o superiore a 7 } C= { ω : in ω ha il punteggio del test dispari } Calcolare le singole probabilità degli eventi Pr (A) = 15/160 Pr (B) = 7/160 + 33/160 + 13/160+ 9/160=62/160 Pr (C) = 8/160 + 17/160 + 37/160 +13/160=75/160

Verifichiamo se sono a due a due indipendenti: Due eventi A e B sono INDIPENDENTI se: Pr (A∩B) = Pr (A) Pr (B) Pr( A ∩ B) = Pr(2)= 7/160 Pr(A)Pr(B)=15/160 ∙ 62/160=93/2560 93/2560 ≠ 7/160 Pr( A ∩ C) = Pr(3)= 8/160 Pr(A)Pr(C)=15/160 ∙ 75/160=45/1024 8/160 ≠ 45/1024 Pr( B ∩ C) = Pr(9)= 13/160 Pr(B)Pr(C)=62/160 ∙ 75/160=465/2560 13/160 ≠ 465/2560 SONO TRA LORO DIPENDENTI

esercizio 5: rappresentare una variabile casuale VARIABILE CASUALE: dati uno spazio di probabilità ( Ω,ε,Pr ) e uno spazio di probabilità euclideo ( R,B,Pr), si chiama Variabile Casuale una qualsiasi funzione V con dominio Ω e codominio R tale per cui: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Ω R

esercizio 6: ideare una variabile casuale V2 associa a 5 i numeri primi e a 9 i multipli 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 V 9 5 R

esercizio 7: descrivere la distribuzione di probabilità delle variabili casuali [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1,5] Prv 1 0.43 0.24 0.13 0.04 Pr([1]) = 0/160+7/160=0.04 Pr ([2]) = 8/160+13/160=0.13 Pr ([3]) =0.24 Pr ([4]) = 0.43 Pr ([5]) = 0.13 Pr ([1,5]) = 1 Pr ([6]) = 0 R N.B. : le parentesi quadre indicano gli intervalli

V2 Pr([9]) =0.57 Pr([5]) = 0.43 Prv 0.57 0.43 { [9] [5] B R

esercizio 8: rappresentare: DISTRIBUZIONE CUMULATIVA:è quella funzione che soddisfa le seguenti condizioni: 1.MONOTONA NON DECRESCENTE 2.CONTINUA DA DESTRA 3.CONVERGENTE A 0 VERSO -∞ E A 1 VERSO +∞ 1 0.84 0.41 0.17 0.04 1 2 3 4 5

esercizio 8: rappresentare: FUNZIONE DI MASSA: è quella funzione che è positiva solo su un numero finito di punti (punti di Massa) e la somma delle sue probabilità vale 1. 0.43 0.24 0.13 0.04 1 2 3 4 5

DISTRIBUZIONE CUMULATIVA FUNZIONE DI MASSA di V2 1 0.43 0.57 0.43 5 9 5 9

FINE