Lezione 1: La matematica che serve Sandro Gronchi Modelli di welfare a confronto AA 2012-2013 Lezione 1: La matematica che serve

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1. Tassi di crescita unitari e percentuali Nel linguaggio parlato, i tassi di crescita si esprimono normalmente in termini percentuali. Ad esempio, si usa dire che una grandezza cresce al 10% per significare che cresce di un’unità per ogni 100 che ne fanno parte. In matematica, i tassi di crescita si esprimono invece in termini unitari. Ad esempio, un tasso pari a 0,1 fa crescere la grandezza di un decimo per ogni unità che ne fa parte. Dal tasso unitario si passa all’equivalente tasso percentuale moltiplicandolo per 100. Per ottenere la crescita, basta moltiplicare la grandezza per il tasso unitario. Ad esempio, moltiplicando una grandezza che vale 200 unità per un tasso unitario che vale 0,1 (10%) si ottiene una crescita di 200 x 0,1 = 20 unità.

2.Montante di una grandezza k che cresce al tasso r montante (valore raggiunto da k) al tempo ‘1’ montante al tempo ‘3’ tempo montante al tempo ‘2’ Se k è un capitale, il tasso di crescita è un tasso d’interesse e il fattore di crescita un fattore di interesse valore di k iniziale k0 è moltiplicato per la potenza n.esima del fattore di crescita

3. Montante a tasso variabile tempo k0 è moltiplicato per il prodotto di n fattori di crescita (anziché per la potenza n.esima di un unico fattore)

4. Sconto di una grandezza in crescita al tasso r Lo sconto serve a rispondere a domande del tipo: quale capitale occorre investire al tempo ‘0’ in un titolo che rende il 10% per ottenere 11.000 euro al tempo ‘1’, oppure 12.100 al tempo 2, oppure 13.310 al tempo 3? Lo sconto del valore k1 che k assume al tempo ‘1’ è il valore che k aveva al tempo ‘0’ (prima della crescita) ... la frazione (reciproco del fattore d’interesse) si chiama fattore di sconto

5. Sconto a tasso variabile

6. Come si trova il tasso di crescita Una grandezza k passa dal valore k0 (ad esempio, 100.000) nell’anno ‘0’ al valore kn nell’anno ‘n’ (ad esempio, 133.100 dopo 3 anni). Per sapere a quale tasso annuo è cresciuta, basterà risolvere l’equazione nell’incognita r:

7. Il tasso ‘somma’ 100 γ = 0,32 (32%) γ (?) 0,1 (10%) 0,2 (20%) Si consideri una grandezza che cresce del 10% per una prima concausa e del 20% per una seconda. I due tassi ‘si compongono’ (sono composti) nel senso che l’uno agisce non solo sul valore iniziale della grandezza ma anche sulla crescita generata dall’altro. Ad esempio, se il valore iniziale è 100, il 20% agisce anche sulle 10 unità aggiuntive generate dal 10%. A quale tasso ‘somma’ (complessivo) cresce la grandezza? 0,1 (10%) 0,2 (20%) 100 γ (?) γ = 0,32 (32%)

8. Un esempio di somma ? 100 132 γ = 0,32 (32%) γ (?) In base a un contratto di lavoro, ai nuovi assunti spetta un ‘salario d’ingresso’ di 100 euro che deve crescere in base al tasso d’inflazione (per reintegrare il potere d’acquisto) e al 20% per accrescere il potere d’acquisto di tale percentuale ? γ (?) 100 Qual è il tasso γ che ottempera al contratto nel caso l’inflazione sia del 10%? 132 γ = 0,32 (32%) Pertanto la corretta applicazione del contratto deve prevedere l’uso del tasso composto

salario che garantirebbe la sola invarianza del potere d’acquisto 9. Il tasso ‘differenza’ Un contratto di lavoro prevede una crescita del salario d’ingresso a un tasso γ=32% all’anno. Se l’inflazione è del 10%, a quale tasso β cresce il potere d’acquisto? 100 γ= 0,32 α = 0,1 β salario che garantirebbe la sola invarianza del potere d’acquisto

10. Il grafico della differenza il tasso β tende a -1 per α che tende all’infinito il fattore 1+ β tende a zero per α che tende all’infinito

11. Il grafico della differenza (continua) 1+β = 1+γ il fattore 1+β tende a 0 per α che tende all’infinito α 1+β β β = γ β=0 per α=γ la differenza β tende a -1 per α che tende all’infinito α A prescindere dall’esempio, in generale il grafico della differenza è di questo tipo -1

12. Il tasso interno di rendimento (TIR) Si risponde ‘per tentativi’ verificando, per cominciare, un’ipotesi qualsiasi, ad esempio che sia TIR = 9% ...mentre l’amico promette di saldarvi con 110.000 €. Perciò vi siete sbagliati: dovrà essere TIR > 9% in tale ipotesi, il debito dell’amico (v/s credito) è di 318.000 € al tempo 1 ... ... 94.620 € al tempo 2 ... ... 103.135,8 € al tempo 3 ... Un amico vi chiede prestiti (v/s pagamenti) per 200.000 € al tempo 0 (quest’anno) e 100.000 al tempo 1 (l’anno prossimo). Vi propone altresì rimborsi (v/s incassi) per 252.000 € al tempo 2 (fra 2 anni) e 110.000 € al tempo 3 (fra 3 anni). Vi chiedete: a quale Tasso Interno di Rendimento (tasso d’interesse implicito) investite i vostri soldi se accettate il ‘progetto’ (la proposta) ?

13. Il tasso interno di rendimento (continua) Sebbene fallito, il primo tentativo vi ha permesso di escludere che il TIR sia inferiore o uguale al 9% 11% Testiamo ora un TIR > 9%, ad esempio testiamo TIR = 11% in tale ipotesi, il vostro amico vi deve 322.000 € al tempo 1 ... ... 117.016,2 € al tempo 3 ... ... 105.420 € al tempo 2 ... ...mentre promette di saldarvi con 110.000 €. Perciò vi siete di nuovo sbagliati. Dovrà essere TIR < 11%

14. Il tasso interno di rendimento (continua) Sebbene falliti, i primi due tentativi vi hanno permesso di stabilire che il TIR è compreso fra il 9% e l’11% Testiamo ora un TIR intermedio,. Ad esempio, testiamo TIR = 10% in tale ipotesi, il vostro amico vi deve 320.000 € al tempo 1 ... ... 100.000 € al tempo 2 ... ... 110.000 € al tempo 3 ... Poiché vi salderà proprio con 110.000 €, avete finalmente scoperto il vostro TIR !!!

15. Il tasso interno di rendimento (continua) A ben vedere, avete trovato il TIR come incognita dell’equazione: Svolgendo i prodotti, l’equazione diventa: Portando il secondo rimborso al primo membro e dividendo per (1+TIR) l’equazione diventa infine: Avete quindi trovato il TIR risolvendo (per tentativi) l’equazione che azzera il valore attuale del progetto

16. Il tasso interno di rendimento (continua) In generale, dato un progetto così articolato in pagamenti (ai<0) e incassi (bi>0), 1 2 3 n n+1 n+2 n+m tempo ... ... pagamenti incassi Il suo TIR si trova come incognita dell’equazione: che azzera lo sconto del progetto stesso