Equazioni integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni Seconda Università degli Studi di Napoli Dipartimento di Ingegneria Civile Aversa (CE) SULLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI MULTIDOMINIO MEDIANTE EQUAZIONI INTEGRALI T. Colella, V. Minutolo Equazioni integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni 27-28 SETTEMBRE 2007 PARMA

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni CONTENUTI T. Colella, V. Minutolo ATTIVITA’ DI RICERCA PROCEDURA MULTIREGIONE LE EQUAZIONI AUSILIARI ESEMPI NUMERICI CONCLUSIONI 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

MATERIALI A PROPRIETA’ VARIABILI FUNZIONALMENTE T. Colella, V. Minutolo MATERIALI A PROPRIETA’ VARIABILI FUNZIONALMENTE 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni FGM T. Colella, V. Minutolo 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni FGM T. Colella, V. Minutolo 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

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Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni FBEM T. Colella, V. Minutolo Constitutive relation Equilibrium equation of the structure Field Boundary Integral Equation Sistem of Equations 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Confronto con il FEM RECTANGULAR PLATE WITH HOLE, ISOTROPIC AND HETEROGENEOUS MATERIAL, EXPONENTIAL MATERIAL VARIATION ALONG X DIRECTION , UNIFORM LOAD CONDITION, VERTICAL DISPLACEMENT DEPENDING ON THE NUMBER OF DIVISION OF THE CONSTRAINED BOTTOM SIDE. FBEM vs FEM 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Applicazione alla frattura elastica per materiali FGM T. Colella, V. Minutolo Applicazione alla frattura elastica per materiali FGM . The displacement at crack tip is extrapolated by means of radial expansion: where is the Mode I displacement and is the distance from crack tip. The numerical value of SIF is calculated assuming, that within a small neighbourhood of the crack tip, the elastic modulus of the material is Et and can be assumed to be constant. 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Alcuni Risultati T. Colella, V. Minutolo A quarter of the plate where solution is sought, geometry, load, and modulus variation 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Alcuni Risultati Mode I Stress Intensity Factor, KI, Vs Young modules ratio for different crack length, a. 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Alcuni Risultati 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Alcuni Risultati 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Tecnica multidominio Tale formulazione è utilizzata di consuetudine quando il dominio è omogeneo a tratti ma essa risulta utile in altri casi al fine di evitare problemi numerici o migliorare l’efficienza computazionale. Nella meccanica della frattura le difficoltà numeriche che nascono a causa della vicinanza dei nodi della cricca scompaiono nel caso in cui si decida di utilizzare la tecnica di decomposizione del dominio. Nell’analisi elasto plastica si rivela opportuno separare le zone soggette a deformazioni plastiche, che necessitano quindi di discretizzazione sul dominio, dalla restante zona elastica. Per problemi con un elevato numero di incognite la suddivisione permette di ottenere matrici risolutive bandate, computazionalmente più agevoli da trattare. In tali casi l’incremento del numero delle incognite incide lievemente sui vantaggi legati all’utilizzo di tale procedura. Per gli FGM permette di trattare separatamente le zone gradate e quelle omogenee. 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Tecnica multidominio La procedura di base consiste nell’applicare la formulazione integrale in ogni singola regione, imporre le condizioni al contorno in forma locale ed ottenere il sistema risolutivo finale mediante un insieme di equazioni d’interfaccia. Particolare attenzione va rivolta però nella scrittura di tali equazioni per le interfacce sul contorno e per gli spigoli ed i bordi interni. Nascono infatti singolarità a causa della discontinuità dei flussi su contorni non regolari e della dipendenza tra le equazioni d’interfaccia tra le variabili di campo. Un semplice modo per evitare il problema è quello di regolarizzare i contorni (Jaswon e Symm, 1977) ma evidentemente ciò non è sempre possibile per problemi multi regione. Alternativamente, è possibile assumere un unico valore della traction, cioè imporre che le tensioni superficiali sono uguali su superfici contigue (Cruse, 1974), ciò però viola la condizione di equilibrio. Alcuni autori propongono di introdurre nodi addizionali e quindi sviluppare equazioni ausiliari che permettono la risoluzione del problema in esame. Per l’elasticità bidimensionale, Chaudonneret (1978) derivò equazioni ausiliari, basate sulla simmetria del tensore delle tensioni e sull’invarianza della traccia del tensore di deformazione. Wardle and Mustoe (1980) usarono un’interpolazione polinomiale per stabilire relazioni tra le tensioni superficiali e gli spostamenti. Rudolphi (1983) descrisse un implementazione per problemi con sottodomini usando elementi quadratici, includendo discontinuità sulle componenti di tensione. Zang e Mukherjee (1991) generarono equazioni ausiliari, per stati piani di deformazione, esprimendo le tensioni agli spigoli come una combinazione lineare delle traction e delle derivate tangenziali degli spostamenti. Alcuni autori assumono un unico valore dello stato di tensione agli spigoli, cosa non valida in generale (Zang e Mukherjee, 1991). Eliminare tali problematiche con l’utilizzo di “elementi discontinui”, comporta significanti svantaggi in termini di stabilità della soluzione, sforzo computazionale e accuratezza (Wilde 1998). 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Esempio di dominio multiregione bidimensionale T. Colella, V. Minutolo Formulazione multi dominio in elastostatica bidimensionale Esempio di dominio multiregione bidimensionale 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Nodo interno d’intersezione tra tre regioni T. Colella, V. Minutolo Le equazioni ausiliari per i nodi interni Nell’elastostatica bidimensionale l’applicazione di una procedura multidominio può creare problemi quando c’è la presenza di nodi interni in cui convergono più di due regioni. Alle intersezione infatti, gli spostamenti sono univocamente definiti ma le tensioni superficiali hanno in generale più valori in funzione delle differenti normali. In tal caso due delle equazioni d’interfaccia sulla congruenza degli spostamenti diventano linearmente dipendenti e non è più possibile risolvere il problema con tecniche standard. Nodo interno d’intersezione tra tre regioni 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Le equazioni ausiliari per i nodi interni T. Colella, V. Minutolo Le equazioni ausiliari per i nodi interni E’ possibile costruire altre due equazioni cosiddette “ausiliari” da semplici considerazioni di equilibrio dell’intorno del nodo d’interfaccia. Definito un cerchio di raggio r con centro nel punto d‘intersezione e scelto un verso positivo di percorrenza, traslando i contorni di ogni singola regione e possibile costruire un intorno del punto in esame. Al limite per il raggio del cerchio che tende a zero i contorni di tale intorno vanno a coincidere con gli originali contorni delle regioni in esame. Scrivendo l’equilibrio alla traslazione dell’intorno così costruito lungo le due direzioni coordinate, si ottengono le seguenti due equazioni ausiliarie che eliminano la singolarità del sistema risolutivo finale: Intorno del nodo d’interfaccia 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni .

Lastra quadrata soggetta a trazione, modello analizzato T. Colella, V. Minutolo Esempi numerici Lastra quadrata soggetta a trazione, modello analizzato 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Esempi numerici Il problema è stato analizzato prima mediante una formulazione a dominio singolo successivamente mediante una serie di schemi multiregione al fine di testare le suddette equazioni ausiliari e di mostrare la sensibilità del metodo nei confronti della suddivisione interna. Schemi analizzati SCHEMA 1 2 3 4 5 UP 1.13E-03 1.12E-03 1.46E-03 1.24E-03 1.19E-03 VP 2.63E-03 2.64E-03 2.62E-03 2.75E-03 2.66E-03 Spostamento del punto P al variare dello schema Si nota come nella maggior parte dei casi la variazione sul risultato rispetto alla formulazione standard riguarda la terza cifra significativa. In particolare i risultati sono fortemente influenzati dalla differenza degli angoli concorrenti nel nodo. Ciò è dovuto all’irregolarità del risultante intorno del nodo interno. Da notare che l’equazioni in esame divergono quando un angolo tende a , cioè nel caso che uno dei contorni sia regolare. 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni T. Colella, V. Minutolo Conclusioni Si è proposta una metodologia per la scrittura di equazioni ausiliari per la risoluzione di problemi multiregione nell’ambito del metodo agli elementi di contorno. Essa presuppone solo la condizione di equilibrio e non dipende né dalla legge costitutiva né dal campo di spostamenti. Il concetto di equilibrio dell’intorno del punto d’interfaccia è stato applicato per l’elastostatica bidimensionale di materiali omogenei, ulteriori sviluppi potranno riguardare problemi tridimensionali, analisi non lineari e materiali eterogenei. 27-28 Settembre Parma Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE Seconda Università degli Studi di Napoli Dipartimento di Ingegneria Civile Aversa (CE) GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE Equazioni integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni 27-28 SETTEMBRE 2007 PARMA