Corso di Laurea in Scienze e Tecniche psicologiche Esame di Psicometria La regressione lineare semplice A cura di Matteo Forgiarini Matteo.forgiarini@unimib.it

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Relazioni tra variabili Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Quando siamo interessati a studiare la relazione tra due variabili, occorre prendere in considerazione 3 caratteristiche principali: La forma che assume la relazione. La sua direzione. L’entità osservata. In questo contesto verranno analizzate solo relazioni lineari: il modello matematico utilizzato è la retta di regressione, quindi si ipotizza una forma lineare. L’entità della relazione fa riferimento alla quantificazione della relazione stessa: la relazione può essere molto forte o modesta; oppure può essere pari a zero, in questo caso si parla di relazione nulla, le variabili sono dunque indipendenti. La direzione della relazione può essere positiva (i valori delle due variabili crescono in modo concorde) o negativa (al crescere dei valori di una variabile diminuiscono i valori dell’altra).

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Varianza e correlazione Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Per analizzare la relazione tra le variabili occorre fare riferimento ai concetti di varianza e di correlazione. La correlazione può variare solo tra -1 ed 1; l’entità della relazione è quindi agevole da comprendere ed è possibile confrontare 2 o più valori fra loro. La direzione della relazione è indicata dal segno del valore della correlazione: una correlazione positiva indica che le variabili si “muovono” in modo concorde; una correlazione negativa indica che quando i valori di una variabile crescono, i valori dell’altra mininuiscono.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Scatter plot Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Menù:grafici->scatter plot Spesso è utile costruire una matrice di grafici che permette di visualizzare la natura delle relazioni tra due o più variabili; ogni cerchietto rappresenta un “caso” che viene posizionato sul grafico usando i valori delle due variabili come coordinate cartesiane. Con questo strumento è possibile studiare la forma della relazione tra le coppie di variabili. Per quantificare la relazione tra due variabili occorre calcolare la loro correlazione.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La correlazione Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La correlazione risulta significativa (p-value<0,001); Possiamo quindi rifiutare l’ipose nulla H0: corr(peso,lunghezza)=0 ed accettare H1: corr(peso,lunghezza)≠0 Si noti che la matrice di correlazione prodotta è quadrata e simmetrica: infatti corr(x,y)=corr(y,x).

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice I punteggi z Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Costruiamo 2 nuove variabili con i valori z delle variabili “lunghezza” e “peso”; Ora calcoliamo la varianza e la correlazione tra queste due nuove variabili.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La varianza dei punteggi z Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Come ci si attendeva la deviazione standard delle due variabili è 1; la correlazione calcolata è pari a quella tra le due variabili non standardizzate (cfr. slide 4); la varianza tra le due variabili è pari alla correlazione: le variabili sono infatti standardizzate.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La retta di regressione semplice Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Se esiste una correlazione significativa tra due variabili, è possibile ipotizzare che una variabile sia causa dell’altra. Chiamiamo variabile indipendente la variabile che predice un cambiamento dei valori dell’altra che per tanto è dipendente dalla prima variabile. Se si ipotizza che vi sia una relazione funzionale diretta tra le due variabili e che tale relazione abbia forma lineare, è possibile stimare i parametri della equazione di regressione semplice tra la variabile indipendente e la dipendente. Y=a + b*x a=intercetta; b=pendenza della retta L’intercetta viene calcolata con la formula: Nella regressione lineare semplice, se le due variabili sono standardizzate b corrisponde alla correlazione tra x e y Se x e y non sono standardizzate, b corrisponde alla covarianza tra x e y divisa per la varianza di x

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La retta di regressione semplice Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Intercetta (a) e pendenza (b) risultano significativamente diversi da zero: entrambi i p-values<0.05 Si noti che la pendenza standardizzata corrisponde alla corr(x,y). La proporzione di varianza della y spiegata dalla x corrisponde al quadrato della corr(x.y).

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La retta di regressione semplice Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Chiediamo a spss di costruire il grafico della retta di regressione semplice con x=lunghezza e y=peso.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La retta di regressione semplice Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice a= -927.67; b= +4.87; la proporzione di varianza della y spiegata dalla x è=0.58 (58%). Le due variabili non sono standardizzate: risulta interessante verificare che le stime di a e b siano coerenti alle formule teoriche.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La retta di regressione semplice Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice X= punteggi z:lunghezza; y=punteggi z:peso Le variabili sono standardizzate: la retta di regressione passa per l’origine degli assi, infatti a=0. La pendenza (b)=corr(x,y).

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Correlazione e causazione Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice La matrice di correlazione delle 6 variabili mostra che la correlazione tra “capienza del serbatoio” e “prezzo” è significativamente diversa da 0. Sembra dunque possibile ipotizzare un legame causale tra queste variabili.

Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice Correlazione e causazione Esercitazione N° 2 – La regressione lineare semplice I due parametri della retta risultano significativamente diversi da 0; sembra possibile costruire la retta di regressione. Ma ha davvero senso il modello proposto? È davvero ipotizzabile che la capienza del serbatoio sia una causa diretta del prezzo dell’auto? Occorre riflettere: una correlazione significativa tra due variabili non è mai una condizione sufficiente perché vi sia un legame causale diretto tra le due variabili. Non sempre se due variabili correlano in modo significativo è possibile ipotizzare un legame causale diretto; può succedere che vi siano altre variabili che intervengono nella relazione e rendono più complesso il legame: in questi casi un modello di causalità lineare non è sufficiente a spiegare la correlazione osservata.