Epistemologia delle scienze naturali (II Sem.) La natura del Tempo e la teoria della relatività di Einstein Francesco Orilia

Lez. 18 & 19 29/3/10

Vi ricordo il recupero previsto per oggi, h Dovremmo decidere a quando rinviare il recupero che era stato previsto per il 31 Marzo

Distanza spazio-temporale d =  (  x 2 - c 2  t 2 ) d 2 =  x 2 - c 2  t 2 Va notato che d 2 è un (analogo) di una distanza e quindi ci interessa come quantità indipendentemente dal segno algebrico possibilmente negativo Seguendo le convenzione tradizionalmente usate, possiamo allora mettere le cose in questo modo: d =  (c 2  t 2 -  x 2 ) d 2 = c 2  t 2 -  x 2 Infatti, in questo modo al massimo cambia il segno algebrico, ma il valore assoluto di d 2 rimane immutato in generale. Vediamo perché

in generale, se (a - b) = c, allora (b - a) = - c. Per es., 3 = 6 - 3; -3 = Ossia |a - b| = |b - a| Quindi (  x 2 - c 2  t 2 ) e (c 2  t 2 -  x 2 ) al massimo differiscono per il segno algebrico Consideriamo ora due radici di numeri che differiscono solo per il segno algebrico:  d 2 e  - d 2

 d 2 =  d (  d) 2 = d 2  - d 2 è un numero immaginario, ossia di, dove i =  -1 (di) 2 = d 2 i 2 = d 2 (-1) = - d 2 In altri termini, elevando al quadrato  x o  -x, a parte il segno algebrico otteniamo lo stesso risultato

Abbiamo visto che (  x 2 - c 2  t 2 ) e (c 2  t 2 -  x 2 ) al massimo differiscono per il segno algebrico Quindi (  (  x 2 - c 2  t 2 )) 2 e (  (c 2  t 2 -  x 2 )) 2 al massimo differiscono per il segno algebrico Visto che ci interessa il valore assoluto, scegliamo di lavorare con (  (c 2  t 2 -  x 2 )) 2 Questo è preferibile perché nei "casi tipici" in cui la distanza spaziale non è enorme (sicché c 2  t 2 >  x 2 ) lavoriamo con un numero reale positivo Ponendo d =  (c 2  t 2 -  x 2 ), abbiamo d 2 = c 2  t 2 -  x 2

differenza spazio-temporale d 2 = c 2  t 2 -  x 2 d è chiamata differenza spazio-temporale tra due eventi. E' lo stesso valore per tutti i sistemi di riferimento, è assoluto. Seguendo Bourne (p. 151), possiamo esplicitamente indicare, con "e" ed "e*", i due eventi in questione per poi usare queste convenzioni:  t e, e* = differenza temporale tra e ed e*  x e, e* = differenza spaziale tra e ed e*  S(e, e*) = differenza spazio-temporale tra e ed e* Otteniamo così:  S(e, e*) 2 = c 2 (  t e, e* ) 2 - (  x e, e* ) 2

Cono del passato e del futuro Vogliamo rappresentare il percorso nello spazio-tempo di un segnale luminoso che si emana in tutte le direzione da un evento localizzato in un certo istante in un singolo punto. Considerando due dimensioni spaziali (+ quella del tempo) otteniamo dei coni e considerandone 3 (+ quella del tempo) abbiamo degli "iperconi" (Toraldo di Francia p. 182). Si parla quindi di coni di luce ed in particolare di cono del passato e cono del futuro.

Per comodità, consideriamo solo una dimensione spaziale. E quindi lavoreremo con due assi cartesiani, una per il tempo ed una per lo spazio

Equazione della retta Continuiamo ad assumere ct come asse temporale ed x come asse spaziale e consideriamo un segnale luminoso che si espande dall'origine (0,0). Dal momento che ad ogni unità di tempo ct il segnale luminoso percorre lo spazio ct, abbiamo in pratica l'equazione della retta, x = y. Nel nostro caso x = ct.

Cono del passato e cono del futuro Consideriamo x = ct (es. x = ct = 1) inviando un segnale luminoso nella direzione opposta, abbiamo -x = ct (es., ct = 1, x = -1, -x = 1, ct = -x). Questo ci dà il cono del futuro. Analogamente considerando x = -ct e -x = -ct abbiamo il cono del passato.

Eventi light-like separated un evento E le cui coordinate identificano un punto che giace su una delle rette ha coordinate ct and x tali che |ct| = |x|, ossia c 2 t 2 - x 2 = 0 E è chiamato light-like separated dall'evento origine O con coordinate (0,0)  S(E, O) 2 = c 2 (  t E, O ) 2 - (  x E, O ) 2 = 0

Eventi light-like separated Prendiamo due qualsiasi eventi E1 ed E2 le cui coordinate identificano punti che giacciono in una delle rette che delimitano i coni. La loro distanza spazio-temporale deve essere zero, sulla base dell'equazione  S 2 = c 2  t 2 -  x 2 In questi casi gli eventi sono "light-like separated".

light-like separated Possiamo pensare ad E1 come ad un segnale luminoso partito dal punto 0 prima del nostro segnale "origine" (segnale all'origine del sistema di riferimento) che raggiunge il luogo x1 (prima del segnale origine). Analogamente pensiamo a E2 come a un segnale che dal punto 0 raggiunge il luogo x2 (prima del segnale origine) (assumendo che x2 è più lontano dal punto 0 di x1, E2 parte prima di E1) Per es., E1 accade nell'istante ct (dopo la prima unità di tempo) e quindi, per E1, x = ct, mentre E2 accade nell'istante 2ct (dopo la seconda unità di tempo) e quindi, per E2, x = 2 ct

La distanza temporale,  t, tra E1 ed E2 è quindi 2ct - ct = ct. Ovviamente otteniamo lo stesso valore per la distanza spaziale Quindi  S(E1, E2) 2 = c 2 (  t E1, E2 ) 2 - (  x E1, E2 ) 2 = (2ct - ct ) 2 - (2ct - ct ) 2 = 0  0 = 0 e quindi in questo caso la distanza spazio-temporale è nulla NB: abbiamo detto che E1 ed E2 avvengono in due località diverse in due istanti diversi Eppure diciamo che la loro "distanza" spazio-temporale è nulla Evidentemente stiamo usando "distanza" in un senso che non coincide esattamente con quello del senso comune

Eventi time-like separated Un evento E dentro il cono di luce è time-like separated dall'evento origine O. E ha coordinate x e ct tali che c 2 t 2 - x 2 > 0. Per E vale:  S(E, O) 2 = c 2 (  t E, O ) 2 - (  x E, O ) 2 > 0 La distanza temporale di E da O è maggiore di quella spaziale(lo spazio che la luce percorre nell'unità di tempo è maggiore dello spazio che li separa)

In generale, per eventi E1 ed E2 entro i coni di luce abbiamo  S(E1, E2) 2 = c 2 (  t E1, E2 ) 2 - (  x E1, E2 ) 2 > 0 in questo caso sono "time-like separated" Chiaramente la distanza temporale deve essere maggiore di quella spaziale

Per es., E1 ha cordinate t = ct, x = 1/2ct, mentre, per E2, t = 2ct, x = ct Insomma, la loro distanza TEMPORALE è il doppio di quella SPAZIALE Possiamo pensare a E1 come ad un oggetto che trovandosi a distanza 1/2c (circa km) dall'origine viene illuminato dal segnale origine 1/2 sec. dopo la partenza di quest'ultimo (essendo c = km/s)km/s Possiamo pensare a E2 come ad un oggetto che trovandosi a distanza c (circa km) dall'origine viene illuminato dal segnale origine 1 sec. dopo la partenza di quest'ultimo

gli eventi nel cono superiori sono quelli che il nostro evento origine influenza o può in linea di principio influenzare causalmente Analogamente, gli eventi nel cono inferiore sono quelli che in linea di principio hanno influenzato o avrebbero potuto influenzare l'evento origine Possiamo pensare a un evento E nel cono inferiore come a un segnale luminoso che trovandosi a distanza 1/2c ( km CHECK) dall'origine illumina il nostro punto origine 1/2 sec. prima che da quest'ultimo parte il segnale origine

Eventi space-like separated Un evento E fuori dal cono di luce E è space-like separated dall'evento origine O. E ha coordinate x e ct tali che c 2 t 2 - x 2 < 0. Per E vale:  S(E, O) 2 = c 2 (  t E, O ) 2 - (  x E, O ) 2 < 0 La distanza temporale di E da O è minore di quella spaziale (lo spazio che la luce percorre nell'unità di tempo è minore dello spazio che li separa)

Eventi space-like separated Per eventiE1 ed E2 al di fuori coni di luce abbiamo  S(E1, E2) 2 = c 2 (  t E1, E2 ) 2 - (  x E1, E2 ) 2 < 0 in questo caso sono "space-like separated".

Per eventi space-like separated, la loro distanza spaziale dal segnale origine è troppo grande perché il segnale origine possa influenzarli causalmente Pensiamo ad E1 come ad un segnale inviato da un punto distante dall'origine più dello spazio che la luce percorre in un secondo Da E1 si diparte un segnale che dopo un attimo influenza una regione vicina (evento E2) Chiaramente, il nostro segnale origine non può arrivare in tempo per influire su questo rapporto causale tra E1 ed E2

NB: gli eventi che sono "space-like separated" hanno come valore della distanza spazio-temporale un numero immaginario, ossia tale valore è il risultato dell'estrazione della radice quadrata di un numero negativo Ecco perché preferiamo rappresentare la distanza spazio- temporale c 2 (  t E1, E2 ) 2 - (  x E1, E2 ) 2 piuttosto che come (  x E1, E2 ) 2 - c 2 (  t E1, E2 ) 2. E' difficile pensare ad un numero immaginario come ad una grandezza fisica e ne riserviamo l'uso alla trattazione di eventi causalmente separati. Però, anche per questo motivo (oltre a ciò che abbiamo visto per "light-like separated events") l'uso di "distanza" in "distanza spazio-temporale" non rispecchia l'uso comune

Seguendo Dorato, p. 130, Consideriamo un certo evento p in un certo istante t nel luogo L. Nella figura 3 di p. 130, i due lati del triangolo sotto p rappresentano due raggi luminosi lanciati prima di p verso L. I lati del triangolo sopra p rappresentano due raggi luminosi lanciati da p. L'interno del triangolo superiore rappresenta il futuro di p. Contiene tutti gli eventi che p può in linea di principio influenzare causalmente, quelli a cui potrebbe partecipare se viaggiasse alla velocità della luce L'interno del triangolo inferiore rappresenta il passato di p. Contiene tutti gli eventi che potrebbero in linea di principio influenzare causalmente p, quelli a cui p avrebbe potuto partecipare se avesse viaggiato alla velocità della luce

Seguendo Toraldo Di Francia, p. 182 Al posto di p abbiamo l'evento "io-ora", il luogo in cui mi trovo in questo momento e lo rappresentiamo con l'origine 0 degli assi cartesiani dove le ascisse rappresentano una dimensione spaziale (lungo la quale mi muovo) e le ordinate, che indichiamo, con ct, il tempo moltiplicato velocità della luce. Si prendono le due rette x = ct e x = -ct per ottenere i due triangoli. Risulta chiaro quindi che i punti, più sono all'interno del triangolo superiore più rappresentano luoghi spazialmente vicini a io-ora. E analogamente per il triangolo inferiore.

Terminologia italiana (da Dorato) Tutti i punti fuori dai triangoli rappresentato luoghi o eventi con i quali io-ora non posso essere in linea di principio causalmente connesso. L'insieme di questi punti viene chiamato la regione di genere spazio di io-ora (o di p). Tale regione contiene eventi del genere spazio, che non possono essere né possibili cause né possibili effetti di io- ora. I due triangoli (coni) sono invece il futuro assoluto e il passato assoluto di io-ora (di p). Sono la regione del genere tempo. Contengono eventi del genere tempo (relativamente a io- ora), sono possibili cause o effetti di io-ora.

Assolutezza delle distinzioni appena viste Il valore (  S) 2 (e dunque la distanza spazio-temporale) è lo stesso per tutti i sistemi di riferimento, è assoluto. Quindi tale è la classificazione in "light- like separated", "time-like separated" e "space-like separated" (Lorentz invariant). Inoltre, indicando con N l'evento all'origine, tutti gli osservatori giudicheranno gli eventi nel cono superiore nel "futuro assoluto di N" e quelli nel cono inferiore nel "passato assoluto di N". Inoltre gli eventi al di fuori dei coni sono per tutti gli osservatori nell' "assoluto altrove di N". Solo gli eventi nel cono inferiore possono causalmente influenzare N e solo quelli nel cono superiore possono essere causalmente influenzati da N (Bourne p. 153). Data l'invarianza della velocità della luce se un evento è del genere tempo per N, allora che esso sia nel passato o nel futuro di N è un fatto oggettivo, ossia indipendente dall'osservatore inerziale che formula il giudizio e dalla sua velocità (Dorato 131, che usa "p" invece di "N").

Dati due eventi p e q, esistono sistemi di riferimento (osservatori inerziali) per i quali un certo evento p è prima di un altro evento q, altri per i quali p è dopo q, e altri per i quali p è simultaneo con q ?

Risposta: sì, se i due eventi p e q sono separati da un intervallo spazio-temporale del genere spazio (Dorato p. 132), ossia se la loro distanza spaziale è superiore a quella temporale, ossia se la loro distanza spaziale è maggiore della distanza che la luce può coprire nel tempo tp - tq (Toraldo di Francia, p. 181)

Per un sistema K, E2 viene dopo E1 se tE2 - tE1 > 0 Supponiamo che per K, tE2 - tE1 > 0 Possiamo avere un sistema K' tale che t'E2 - t'E1 = 0 oppure t'E2 - t'E1 < 0 (ordine temporale invertito)? Risposta. No, se gli eventi sono time-like separated. Sì, se sono space-like separated Sembra seguirne che non solo le A-proprietà, ma anche le B-relazioni sono soggettive

Lez /3/10

ANNUNCIO L'esame intermedio, erroneamente fissato per il 7 Aprile si svolgerà invece il 14 APRILE ORE 12 (il 7 Aprile infatti cade nel periodo di sospensione delle lezioni, ossia 1 Aprile - 11 Aprile

Dorato, pp I coni di luce superiore e inferiore ci dicono cosa è futuro e cosa è passato rispetto ad un certo evento (dal quale si diramano le rette che danno vita al cono) Le distinzioni temporali che possiamo fare da questo punto di vista sono invarianti, assolute Ciò è dovuto al fatto che sono basate su un singolo evento (punto dello spazio tempo) Gli eventi al di fuori dei coni di luce sono tagliati fuori da questo ordinamento temporale Se vogliamo un ordinamento temporale totale dobbiamo considerare tutti gli eventi simultanei con un "qui-ora", ma questo lo possiamo fare relativamente ad un certo sistema di riferimento

Il mazzo di carte Ogni osservatore con il suo sistema inerziale si può pensare situato in un certo punto in un certo istante, il suo qui-ora. Dal suo punto di vista c'è un piano di simultaneità (una carta del mazzo), che comprende tutti gli eventi simultanei con tale qui-ora (possiamo immaginarci che un osservatore determina il piano di simultaneità con il metodo di sincronizzazione degli orologi (Craig, p 74)) Gli eventi nelle carte che stanno sotto sono passati rispetto a tale qui-ora Quelli nelle carte superiori sono futuri Le carte ce le immaginiamo infilzate in un asse temporale Relativamente a tale osservatore TUTTI gli eventi sono ordinati temporalmente Il prezzo da pagare per tale ordinamento totale è che è relativo: cambia da un sistema all'altro (come vedremo)

In particolare, come abbiamo detto la volta scorsa, l'ordinamento temporale varia da un osservatore K a ad un altro K', se si considerano eventi del genere spazio dal punto di vista di K

Inversione temporale Consideriamo due eventi A ed B che sono space-like separated. Per essi vale, cioè  S(A, B) 2 = c 2 (  t A, B ) 2 - (  x A, B ) 2 < 0. Insomma dal punto di vista di un generico sistema K, vale c 2 (t B -t A ) 2 - (x B - x A ) 2 < 0 Supponiamo che dal punto di vista di K, A viene prima di B, ossia t B - t A > 0. Date queste condizioni, (i) esiste un sistema di riferimento K' tale che, per K', B viene prima di A, ossia t' B - t' A < 0, (ii) esiste un sistema di riferimento K' tale che, per K', B ed A sono simultanei, ossia t' B - t' A = 0,.

Esempio di Penrose Illustriamo (i) esiste un sistema di riferimento K' tale che, per K', B viene prima di A, ossia t' B - t' A < 0, con un esempio tratto da Penrose, The emperor's new mind (1989) Consideriamo due eventi. L'evento A, sulla terra, è l'incrociarsi di due persone P1 e P2, P1 fermo e P2 che si muove verso l'altro con V = 2 (km/s). L'evento B, nella costellazione di Andromeda (distante km dalla terra, abbreviamo con G questo valore), è la partenza di una spedizione contro la terra.

Supponiamo che all'accadere di A, per P1, B deve ancora avvenire (è successivo relativamente al suo piano di simultaneità) Assumendo che P2 si muove nella direzione DA Andromeda verso P1, allora per P2 l'evento B è già passato.

Prova Poniamo (per P1) t A = 0 (orologio fissato a zero quando c'è l'incrocio con P2) e t B = 1, ossia t' B - t' A > 0 = 1 (per P1 la spedizione da Andromeda è futura). Assumiamo che 0 è il valore della coordinata spaziale per P1 dell'evento A e che G è il valore della coordinata spaziale per P1 dell'evento B Notiamo che in questo caso abbiamo c 2 (t B -t A ) 2 - (x B - x A ) 2 = c 2 (1 - 0) 2 - (G - 0) 2 = c 2 - G 2 < 0, perché G è un valore molto superiore a c; ossia i due eventi sono per l'appunto space-like separated. Applichiamo le trasformazioni di Lorentz per vedere cosa succede dal punto di vista di P2

t' A = (0 - (2/c 2 )0)/  ( /c 2 ) = 0 t' B = (1 - (2/c 2 )G)/  ( /c 2 )  ( /c 2 ) è un numero positivo molto piccolo (tra 0 e 1) (1 - (2/c 2 )G) è un numero negativo perché (2/c 2 )G >1 Quindi, t' B è un numero negativo Quindi, t' B < t' A, ossia t'B - t'A < 0 Insomma, per P2, la spedizione da Andromeda è già partita, quando avviene l'incontro con P1. Questa inversione viene considerata accettabile perché non ci può essere rapporto causale (assumendo che non c'è segnale più veloce della luce)

simultaneità per K' Abbiamo visto che t' A = 0 t' B = (1 - (2/c 2 )G)/  ( /c 2 ) Quindi, per un valore di G che soddisfa l'equazione (2/c 2 )G = 1, otteniamo t' B = 0/  ( /c 2 ) = 0 = t' A Per avere (2/c 2 )G = 1, ci vuole 2G = c 2 Ossia, G = (1/2) c 2 Insomma, Andromeda dovrebbe essere un po' più vicina alla Terra

illustrazione grafica da wikipedia Event B is simultaneous with A in the green reference frame, but it occurred before in the blue frame, and will occur later in the red frame. L'idea è di restringere l'angolo degli assi cartesiani in proporzione alla velocità con cui il sistema blu o rosso si muove rispetto a quello verde L'asse temporale va piegato verso sinistra (blu) se il sistema si muove verso l'evento (che quindi occorre prima)

Sinceriamoci che, finché consideriamo eventi del genere tempo, l'ordinamento temporale non cambia

Consideriamo due eventi A ed B che sono time-like separated. Per essi vale  S(A, B) 2 = c 2 (  t A, B ) 2 - (  x A, B ) 2 > 0. Insomma dal punto di vista di un generico sistema K, vale c 2 (t B -t A ) 2 - (x B - x A ) 2 > 0 Supponiamo inoltre che dal punto di vista di K, A viene prima di B, ossia t B - t A > 0. Date queste condizioni, non esiste un sistema di riferimento K' tale che, per K', B viene prima di A, ossia t' B - t' A < 0.

Esempio Se dall'origine del sistema K si diparte un cono di luce, questi eventi, A e B, sono all'interno di uno dei coni, supponiamo nel cono del futuro dell'evento origine O con coordinata (0,0). L'evento A, supponiamo, è il raggiungimento da parte di un segnale A, partito al momento 0 e la cui velocità è 1/2c, di un punto a km dall'origine. Quindi, x A = e t A = = c. L'evento B, supponiamo, è il raggiungimento da parte di un segnale B, partito al momento 0 e la cui velocità è 1/2c, di un punto a km dall'origine. Quindi, x B = e t B = = 2c.