CORSO DI PROGRAMMAZIONE II Lezione 10 Merge sort prof. E. Burattini a.a. 2010-2011

MERGE - SORT Un algoritmo di sort classico ha in genere una complessità di calcolo pari a O(N2). Vediamo un algoritmo che, fondato sul criterio del DIVIDE ET IMPERA, ha una complessità più bassa. Il merge-sort è fondato sul principio ricorsivo di ridurre il problema di partenza di un fattore 2 e nessun processo ricorsivo attivato viene fatto più di una volta.

Merge-sort. Dato un array A di dimensioni N, che si vuole ordinare, lo si suddivide in due sub-array ciascuno di dimensioni N/2. I due sub-array così ottenuti vengono a loro volta divisi a metà. Il processo termina quando ogni sub-array prodotto contiene un solo elemento. Si consideri l’esempio seguente:

3 5 2 6 4 1 7 3 5 2 6 4 1 7 1 2 3 5 6 4 7 1 2 3 5 6 4 7 5 3 6 2 1 4 7 5 3 6 2 1 4 7 4 7 5 6 2 3 1 4 7 5 6 2 3 1

Si parte con la richiesta di ordinare gli elementi dell’array compresi tra 0 e N, si riduce poi questo intervallo attraverso due variabili Lo e Hi fino a quando nel subarray non resta che un elemento. Questo è ovviamente ordinato e quindi si attiva la catena pop. Per dividere i Subarrays usiamo una variabile locale Mid. Questi Subarrays saranno prima ordinati (sorted) o poi fusi (merged). CASO BASE si ha quando i due subarrays sono ridotti ad una sola variabile cioè sono banalmente ordinati. Quando si arriva al Caso Base allora si attiva il processo di Merge tra i due arrays adiacenti rimasti. Se invece siamo in presenza di subarrays con più di un elemento questo implica che il subarray deve essere ordinato.

Lo pseudo codice per l’algoritmo di sort è il seguente: void SortIt(int Lo, Hi, int AnArray[]); usa i valori degli indici in input (Lo,Hi) per dividere AnArray in due subarray (inferiore e superiore) if gli indici del subarray inferiore implicano un array ordinabile SortIt(usa come indici quelli del subarray inferiore ,AnArray) if gli indici del subarray superiore implicano un array ordinabile SortIt(usa come indici quelli del subarray superiore ,AnArray) Inizialmete avremo: SortIt(0, N-1, AnArray) Di seguito si mostra l’albero ricorsivo per un array di 8 elementi

7 6 3 1 2 4 5 3 5 2 6 4 1 7 Sort(0,7) Sort(0,3) Sort(4,7) Sort(0,1)

// Mergesort #include <iostream> #include <cstdlib> #include "InsertArray.h" using namespace std; // PROTOTIPI void SortIt(int, int, int [], int); void Update(int [],int &, int &); void Merge(int, int, int, int [], int); // DEFINIZIONI void SortIt(int Lo, int Hi,int AnArray[], int N) { int Mid; Mid=(Lo+Hi)/2; if (Lo < Mid) { SortIt(Lo,Mid,AnArray, N); } if ((Mid+1) < Hi) { SortIt(Mid+1,Hi,AnArray, N); Merge(Lo,Mid,Hi,AnArray, N); }; int main() { int Lo=0; int Hi,N; cout<<" Quanti numeri vuoi ordinare? "; cin>>Hi; N=Hi; int AnArray[Hi]; int I, Mid; cout<<"VETTORE DA ORDINARE "<<endl; for (I=0;I<Hi;I++) AnArray[I]=rand()%10; cout<<endl; StampaVettore (AnArray, N, 'A'); SortIt(Lo,Hi-1,AnArray, N); cout<<" VETTORE ORDINATO\n"<<endl; system("pause"); }

Inserisci l’elemento più piccolo e incrementa opportunamente l’indice void Merge(int Lo,int Mid,int Hi, int AnArray[], int N) { int Temp[N]; int Index, I1, I2; I1=Lo; I2=Mid+1; for (Index=Lo;Index<=Hi;Index++) { if (I1 > Mid ) { Temp[Index]=AnArray[I2]; I2=I2+1; } else { if (I2 > Hi) { Temp[Index]=AnArray[I1]; I1=I1+1; } else { if (AnArray[I1] < AnArray[I2]) { I1=I1+1; } I2=I2+1; } } Se è stata controllata tutta la prima metà allora aggiungi direttamente la seconda Se è stata controllata tutta la seconda metà allora aggiungi direttamente la prima Inserisci l’elemento più piccolo e incrementa opportunamente l’indice for (Index=Lo; Index<=Hi; Index++) AnArray[Index]=Temp[Index]; } Allegato mergesort

Sort(0,7) 1 2 3 4 5 6 7 Sort(4,5) 5 7 6 2 5 4 3 1 1 2 3 4 5 6 7 Sort(0,3) Sort(0,1) merge 5 7 2 5 6 7 Sort(2,3) 5 7 2 6 Sort(4,7) Sort(6,7) 2 5 6 7 1 3 4 2 5 6 7 4 2 5 6 7 4 1 3 1 2 3 4 5 6 7 void SortIt(int Lo, int Hi,int AnArray[]) { int Mid; Mid=(Lo+Hi)/2; if (Lo < Mid) { SortIt(Lo,Mid,AnArray); } if ((Mid+1) < Hi) { SortIt(Mid+1,Hi,AnArray); } Merge(Lo,Mid,Hi,AnArray); }; 3 4 7 7 Stack della ricorsione

Svantaggi del Merge-Sort Necessita di un vettore di appoggio Effettua gli spostamenti anche se il vettore di partenza è già ordinato

Complessità del MERGE-SORT I livelli dell’albero di sort sono log N. Ad ogni livello dell’albero si fa un merge di N elementi, quindi in totale la complessità è data da N*log2 N 3 5 2 6 4 1 7 Livello N° Array   1 20 2 21 …… …….. …. K N 2k N° passi = K*N dove K=log2N

Scrivere un programma che con due funzioni ricorsive dica: Esercizio Dato un Array del tipo Scrivere un programma che con due funzioni ricorsive dica: 1 - Dato X chi è il padre e la madre di X 2 - Dato X determini chi è il nonno e la nonna di Y FIGLIO PADRE MADRE M U R A G C N B P I

// PROTOTIPI void leggi_dati(char[ ][3],int,int); void scrivi_dati(char[ ][3],int,int); char CercaPadre(char [ ][3], char , int ,int ,int ); char CercaNonno(char [ ][3], char , int ,int ,int ); // MAIN int main () { int rig=5; int col=3; char mat[5][3]; char X; cout<<"FIGLIO PADRE MADRE"<<endl; leggi_dati(mat,rig,col); scrivi_dati(mat,rig,col); cout<<"Dammi figlio ";cin>>X; cout<<"Il padre di "<<X<<" e' "<<CercaPadre(mat,X, rig,0,1)<<endl;; cout<<"La madre di "<<X<<" e' "<<CercaPadre(mat,X, rig,0,2)<<endl; cout<<"Il padre del padre di "<<X<<" e' "<<CercaNonno(mat,X, rig,0,1)<<endl; cout<<"La madre della madre di "<<X<<" e' "<<CercaNonno(mat,X, rig,0,2)<<endl; system("pause"); }

char CercaPadre(char a[][3], char x, int Nfam,int i,int j) // DEFINIZIONI char CercaPadre(char a[][3], char x, int Nfam,int i,int j) // determina chi è il padre di X} { if (i>Nfam ) return 'i'; else if (a[i][0]==x) return a[i][j]; return CercaPadre(a,x, Nfam,i+1,j); } char CercaNonno(char a[][3], char x, int Nfam,int i,int j) // determina chi è il genitore di X} return CercaPadre(a,a[i][j], Nfam,0,j); return CercaNonno(a,x, Nfam,i+1,j); Allegato: eserAvi

Data una matrice di interi NxN scrivere una funzione ricorsiva che valga TRUE se la somma degli elementi di ogni riga è minore della riga precedente e la somma degli elementi di ogni colonna è maggiore della somma della colonna precedente, FALSE altrimenti. 1 3 2 5 8 4 7 9 6 FALSE 2 3 6 5 1 4 TRUE

Data una matrice di interi NxN scrivere una funzione ricorsiva che valga TRUE se la somma degli elementi di ogni riga è minore della riga precedente e la somma degli elementi di ogni colonna è maggiore della somma della colonna precedente, FALSE altrimenti. FALSE TRUE 1 3 2 5 8 4 7 9 6 2 3 5 6 1 4 bool verifica (int a[][N], int N1, int &sr1,int &sr2,int &sc1,int &sc2,int i,int j) { if (i>=N1-1) {cout<<"CONDIZIONI SODDISFATTE"<<endl; return true; } else if (j<N1) { sr1=sr1+a[i][j]; sr2=sr2+a[i+1][j]; sc1=sc1+a[j][i]; sc2=sc2+a[j][i+1]; verifica2(a,N1,sr1,sr2,sc1,sc2,i,j+1); } if ((sr2<sr1)&&(sc2>sc1)) { sr1=0;sr2=0;sc1=0;sc2=0; verifica2(a,N1,sr1,sr2,sc1,sc2,i+1,0); {cout<<"CONDIZIONI NON SODDISFATTE"<<endl; return false;}

Se Sl=‘Smacchiare’ e S2=‘Macchia’ allora la funzione vale TRUE. ESERCIZIO Scrivere un algoritmo ricorsivo per il calcolo della funzione booleana tale che assegnati due array di caratteri Sl e S2 restituisca TRUE se il secondo è contenuto tutto o in parte nel primo. FALSE altrimenti. Esempio: Se Sl=‘Smacchiare’ e S2=‘Macchia’ allora la funzione vale TRUE. Se Sl='Mentecatto' e S2=’tatto' allora la funzione vale FALSE stud ok

ESERCIZIO Date due matrici A(nxn) e B(nxn) di interi scrivere una funzione ricorsiva booleana che calcoli la somma di tutti i numeri contenuti in A sottratti a quelli contenuti in B e dica se la differenza è negativa .