Capitolo 8 Code con priorità Algoritmi e Strutture Dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano

Algoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 Una coda con priorità è un tipo di dato che permette di mantenere il minimo (o il massimo) in un insieme di chiavi su cui è definita una relazione d’ordine totale. Coda con priorità

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Heap A={ 128, 64, 72, 8, 7, 12, 30, 1, 6, 3 } A(6) = 12

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Memorizzazione di un heap in un vettore

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Struttura dati heap Se le foglie nell’ultimo livello sono compattate a sinistra, il vettore posizionale ha esattamente dimensione n Rappresentazione ad albero e con vettore posizionale sin(i) = 2i des(i) = 2i+1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Memorizzazione di un heap in un vettore Radice posizione 1 Per ogni nodo in posizione i: left-child(i) posizione 2i right-child(i) posizione 2i+1 Parent(i) =  i/2 

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Proprietà salienti degli heap 1) Il massimo è contenuto nella radice 2) L’albero ha altezza O(log n) 3) Gli heap con struttura rafforzata possono essere rappresentati in un array di dimensione pari a n

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 fixHeap(nodo v, heap H) if (v è una foglia) then return else sia u il figlio di v con chiave massima if ( chiave(v) < chiave(u) ) then scambia chiave(v) e chiave(u) fixHeap(u,H) La procedura fixHeap Se tutti i nodi di H tranne v soddisfano la proprietà di ordinamento a heap, possiamo ripristinarla come segue: Tempo di esecuzione: O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Copia nella radice la chiave contenuta nella la foglia più a destra dell’ultimo livello Rimuovi la foglia Ripristina la proprietà di ordinamento a heap richiamando fixHeap sulla radice Estrazione del massimo Tempo di esecuzione: O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 heapify(heap H) if (H è vuoto) then return else heapify(sottoalbero sinistro di H) heapify(sottoalbero destro di H) fixHeap(radice di H,H) Costruzione dell’heap Algoritmo ricorsivo basato sul divide et impera Tempo di esecuzione: T(n)= 2T(n/2)+O(log n) T(n) = O(n) dal Teorema Master

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 PQ implementate con Heap 1.Extract-max(A) 2.if heap-size(A)<1 then "error" 3.max=A[1] 4.A[1]=A[heapsize(A)] 5.heapsize(A)=heapsize(A)-1 6.HeapFix(1,A) 7.return max O(log(n))

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 PQ implementate con Heap max = max = ?? max = Heapify( )

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 13 PQ implementate con Heap 1.Insert(A,x) 2.heap-size(A)=heap-size(A)+1 3.i=heap-size(A) 4.while i>1 and A[padre(i)]<x 5.do A[i]=A[padre(i)] 6. i=parent(i) 7.A[i]=x O(log(n))

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Tipo di dato CodaPriorità (1/2)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 15 Tipo di dato CodaPriorità (2/2)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 Tre implementazioni d-heap: generalizzazione degli heap binari visti per l’ordinamento heap binomiali heap di Fibonacci

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 17 d-heap

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 18 Definizione Un d-heap è un albero radicato d-ario con le seguenti proprietà: 1.Struttura: è completo almeno fino al penultimo livello 2.Contenuto informativo: ogni nodo v contiene un elemento elem(v) ed una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato 3.Ordinamento a heap: chiave(v) ≥ chiave(parent(v)) per ogni nodo v diverso dalla radice

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 19 Esempio Heap d-ario con 18 nodi e d=3

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 20 Proprietà 1.Un d-heap con n nodi ha altezza O(log d n) 2.La radice contiene l’elemento con chiave minima (per via della proprietà di ordinamento a heap) 3.Può essere rappresentato implicitamente tramite vettore posizionale grazie alla proprietà di struttura

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 21 Procedure ausiliarie Utili per ripristinare la proprietà di ordinamento a heap su un nodo v che non la soddisfi T(n)=O(log d n) T(n)=O(d log d n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 22 findMin T(n)=O(1)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 23 insert(elem e, chiave k) T(n)=O(log d n) per l’esecuzione di muoviAlto

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 24 delete(elem e) e deleteMin T(n)=O(d log d n) per l’esecuzione di muoviBasso Può essere usata anche per implementare la cancellazione del minimo

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 25 decreaseKey(elem e, chiave d) T(n)=O(log d n) per l’esecuzione di muoviAlto

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 26 increaseKey(elem e, chiave d) T(n)=O(d log d n) per l’esecuzione di muoviBasso

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 27 Heap binomiali

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 28 Alberi binomiali Un albero binomiale B h è definito ricorsivamente come segue: 1.B 0 consiste di un unico nodo 2.Per i≥0, B i+1 è ottenuto fondendo due alberi binomiali B i con la radice dell’uno come figlia della radice dell’altro

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 29 Proprietà strutturali

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 30 Definizione di heap binomiale Un heap binomiale è una foresta di alberi binomiali con le seguenti proprietà: 1.Struttura: ogni albero B i nella foresta è un albero binomiale 2.Unicità: per ogni i, esiste al più un B i nella foresta 3.Contenuto informativo: ogni nodo v contiene un elemento elem(v) ed una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato 4.Ordinamento a heap: chiave(v) ≥ chiave(parent(v)) per ogni nodo v diverso da una delle radici

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 31 Proprietà In un heap binomiale con n nodi, vi sono al più log 2 n alberi binomiali, ciascuno con grado ed altezza O(log n)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 32 Procedura ausiliaria Utile per ripristinare la proprietà di unicità in un heap binomiale T(n) è proporzionale al numero di alberi binomiali in input

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 33 Realizzazione (1/3)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 34 Realizzazione (2/3)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 35 Realizzazione (3/3) Tutte le operazioni richiedono tempo T(n) = O(log n) Durante l’esecuzione della procedura ristruttura esistono infatti al più tre B i, per ogni i ≥ 0

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 36 Heap di Fibonacci

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 37 Heap di Fibonacci Heap binomiale rilassato: si ottiene da un heap binomiale rilassando la proprietà di unicità dei B i ed utilizzando un atteggimento più “pigro” durante l’operazione insert (perché ristrutturare subito la foresta quando potremmo farlo dopo?) Heap di Fibonacci: si ottiene da un heap binomiale rilassato rilassando la proprietà di struttura dei B i che non sono più necessariamente alberi binomiali Analisi sofisticata: i tempi di esecuzione sono ammortizzati su sequenze di operazioni

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 38 Conclusioni: tabella riassuntiva L’analisi di dHeap e HeapBinomiale è nel caso peggiore, mentre quella per HeapBinomialeRilassato e HeapFibonacci è ammortizzata