Corso di Laurea in Scienze e tecniche psicologiche Esame di Psicometria L’anova fattoriale between A cura di Matteo Forgiarini Matteo.forgiarini@unimib.it

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il test anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Spesso per scopi di ricerca siamo interessati a stabilire se due popolazioni indipendenti in media mostrano valori statisticamente diversi per la stessa variabile osservata – misurata su scala ordinale. Nelle precedenti analisi abbiamo affrontato e risolto questo problema mediante il t-test: abbiamo confrontato le due medie osservate sui due differenti campioni e analizzando la significatività del valore t sperimentale, abbiamo potuto decidere se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla di uguaglianza delle due medie. Ma... Se si volessero confrontare contemporaneamente i valori medi di più di due campioni? Ad esempio, in riferimento al file “competenze.sav”, è possibile domandarsi se i soggetti nati prima del 1948, tra il 1948 e il 1954 e i dopo il 1954, abbiano in media la stessa pressione massima. È un tipo di domanda frequente in molte ricerche: di fatto stiamo cercando di capire se il fattore “età” influisce sulla variabile “pressione massima”; ovvero se nelle 3 differenti fasce di età i soggetti hanno in media la stessa pressione o se le medie differiscono significativamente. In questo caso non è possibile utilizzare i modelli di regressione perché la V.I. non è quantitativa. Per rispondere a questo tipo di domande occorre utilizzare il test anova.

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il test anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Occorre utilizzare l’anova ogni volta che: Si vuole sapere se una V.D. (misurata su scala a rapporto o a intervallo) presenta valori medi uguali nei diversi livelli di un a V.I. (misurata su scala qualsiasi). Cioè: Si vuole sapere se una variabile categoriale influisce su una variabile quantitativa. Ogni livello della V.I. forma un gruppo di soggetti: dunque ogni livello della V.I. ha un proprio valore medio della V.D. La V.I. ha più di due livelli: dunque occorre confrontare contemporaneamente più di due medie. Se la V.I. ha 2 livelli, è indifferente utilizzare l’anova o il t-test (cfr. diapositive successive). Indicando con µ1, µ2, … µk le medie della V.D. nei k livelli della V.I., l’ipotesi nulla del test anova risulta: H0: µ1= µ2=…= µk H1: µ i≠ µj per almeno una coppia di livelli della V.I. (i e j indicano 2 generici livelli della V.I.)

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il t-test e l’anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Se la V.I. presenta due livelli, il t-test e l’anova permettono di rispondere allo stesso tipo di domanda, infatti: In riferimento al file “competenze.sav” ipotizziamo di dividere in due grandi classi di età (di uguale numerosità) i soggetti e di chiederci se i soggetti giovani in media hanno la stessa pressione massima dei soggetti più anziani. Abbiamo selezionato l’opzione per ottenere il valore – ovvero la mediana - della variabile “anno di nascita” che divide il campione totale in due sotto-campioni di uguale numerosità. Possiamo quindi costruire una nuova variabile per eseguire il t-test e l’anova.

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il t-test e l’anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Con “ricodifica in una nuova variabile” a partire dalla variabile “nascita” creiamo la variabile “nasc_2f”, creiamo cioè una variabile che indica le due fasce di età dei soggetti: la nuova variabile assume valore 1 per soggetti nati prima del 1951 e assume valore 2 per tutti gli altri soggetti più giovani. Ipotizziamo di volere sapere se la variabile pressione sanguigna assume in media lo stesso valore nei due livelli della variabile nasc_2f. Ovvero ci stiamo chiedendo se la variabile età influisce sulla variabile pressione sanguigna. Per rispondere a questa domanda possiamo usare sia il t-test sia l’anova, perché? Perché stiamo confrontando contemporaneamente i valori medi di 2 livelli della V.I. H0: µ1= µ2 H1: µ1≠ µ2

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il t-test e l’anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Eseguiamo il t-test per campioni indipendenti utilizzando come variabile di gruppo “nasc_2f” e come variabile dipendente “pressione massima”. Il t-test risulta significativo, è possibile rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che la pressione sanguigna nelle persone “più giovani” è significativamente maggiore che negli “anziani”.

Esercitazione N° 4 – L’anova between Il t-test e l’anova Esercitazione N° 4 – L’anova between Il test dell’anova risulta significativo (p-value<0,05): come per il t-test, possiamo concludere che in media la pressione sanguigna nei soggetti “più giovani” è statisticamente maggiore rispetto ai soggetti “più anziani”. È interessante notare che il livello di significatività ottenuto è il medesimo che abbiamo ottenuto con il t-test. È importante notare però che l’anova si basa sul test F: infatti vengono confrontate le varianze tra i gruppi (between) ed entro i gruppi (within).

Partizione della varianza Tra gruppi (SSM) Varianza totale (SST) = Entro i gruppi (SSR) Come decido se la variazione legata al trattamento (variabilità osservata tra i gruppi) è superiore a quella non legata al trattamento? Al test statistico è associato un valore di significatività = un valore di probabilità di ottenere quel risultato – o risultati più estremi – per effetto del caso

Rappresentazione grafica B B B W W W

Alcuni esempi B F1=B/W W B=, W> F2<F1 B>, W= F3>F1

Esercitazione N° 4 – L’anova between Come ipotizzato all’inizio, dividiamo ora i soggetti in tre grandi fasce di età di numerosità omogenea. Dagli output notiamo che un terzo dei soggetti è nato prima del 1948, un terzo tra il ’48 e il ’54 e il restante 33% è nato dopo il 1954.

Esercitazione N° 4 – L’anova between Possiamo quindi costruire una nuova variabile “nasc_3f” che divide i soggetti in tre grandi fasce di età e che assume: Valore 1 se i soggetti sono nati prima del 1948, Valore 2 se i soggetti sono nati dal 1948 al 1954 Valore 3 se i soggetti sono nati dopo il 1954. Possiamo quindi eseguire il test dell’anova e confrontare le medie della variabile “pressione massima” all’interno dei tre livelli di età che abbiamo creato.

Esercitazione N° 4 – L’anova between H0: µ1= µ2= µ3 H1: esiste almeno una coppia di livelli in cui le medie della “pressione sanguigna” hanno una differenza statisticamente significativa. Il test risulta significativo (p-value<0,05). Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che la variabile età ha influenza sulla variablile pressione sanguigna: in altri termini esiste una coppia di livelli della V.I. per i quali le due medie di gruppo hanno una differenza significativa. Ma... Con 3 livelli della V.I. esistono 3 coppie di medie, qual è la coppia che rende significativo l’anova? Ne esiste più di una? Andiamo a scoprirlo... Gradi di libertà Varianza within Varianza between

Esercitazione N° 4– L’anova between Per capire quale coppia di fasce di età ha reso significativo l’anova, occorre eseguire i test post hoc. I test post hoc confrontano contemporaneamente le n*(n-1)/2 coppie di medie della V.D. (con n pari al numero di livelli della V.I.). Ma... Il confronto contemporaneo altera il livello di significatività dei test: il livello alfa (generalmente pari a 0,05) viene “gonfiato” rendendo quindi più elevato il rischio di commettere l’errore di I tipo. Occorre quindi mettere in atto strategie che permettano di controllare il valore di alfa: negli esempi proposti verrà usata la correzione di Tukey. I problemi che si incontrano confrontando contemporaneamente più di 2 medie, sono gli stessi problemi che impediscono di usare il t-test quando la V.I. ha più di 2 livelli: anche in questo caso il livello alfa si gonfierebbe e aumenterebbe dunque il rischio di commettere l’errore di I tipo.

Esercitazione N° 4 – L’anova between Notiamo che la media 2 risulta significativamente diversa dalla media 3. Gli scarti tra media 1 e media 2 e tra media 1 e 3 non risultano invece significativi. Dagli output possiamo notare che il test anova è risultato significativo poiché una coppia di medie presenta uno scarto statisticamente significativo e rende quindi falsa l’ipotesi nulla di uguaglianza delle 3 medie.