Olimpiadi di Informatica 2010 Giornate preparatorie Dipartimento di Informatica Università di Torino marzo 2010 9 – Grafi e algoritmi sui grafi: introduzione. (versione 14/04/2017) 4/14/2017 E. Giovannetti -- OI09.

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Eulero: il problema dei ponti di Königsberg (la città del filosofo Kant, in Prussia; oggi Kaliningrad, in Russia) 1 6 3 4 2 7 5 A B C D È possibile partire da A e ritornare in A attraversando tutti i ponti esattamente una volta? Eulero dimostrò che no, dando con ciò inizio alla Teoria dei Grafi. A B C D 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizioni preliminari 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Che cos'è un grafo ? Definizioni. Un grafo (semplice) G = (V, E) è costituito da: un insieme V di nodi (o vertici, ingl. vertices, sing. vertex); un insieme E di archi (o spigoli, ingl. edges), ognuno dei quali è (costituito da) una coppia di nodi distinti, detti estremi dell’arco. Vi sono due generi di grafi: non orientati (undirected): gli archi non hanno un verso, cioè, formalmente, sono coppie non ordinate; orientati (directed): gli archi hanno ciascuno un verso, cioè sono coppie ordinate; i due estremi sono detti: nodo uscente o coda: è il primo elemento della coppia; nodo entrante o testa: è il secondo elemento della coppia. 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Esempio: grafo non orientato (B, C) e (C, B) denotano lo stesso arco, che in realtà è l'insieme {B, C}  {C, B} V = {A, B, C, D, E, F} E = {{A,B}, {A,D}, {B,C}, {C,D}, {C,E}, {D,E}} A B C D E F 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Esempio: multigrafo. non possono esistere archi distinti con gli stessi estremi un “grafo” in cui sono permessi archi distinti con gli stessi estremi è un multigrafo A B C D E F NO ! 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Esempio: grafo orientato (B,C) e (C,B) denotano due archi fra loro distinti V = {A, B, C, D, E, F} E ={(A,B), (A,D), (B,C), (C,B), (D,C), (E,C), (D,E)} B C A coda F D A è la coda dell’arco (A,D) D è la testa dell’arco (A,D) D è la coda dell’arco (D,E) ecc. testa E coda testa 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Esempio: multi-grafo orientato ma non possono esistere archi distinti con la stessa coda e la stessa testa un “grafo orientato” in cui sono permessi archi distinti con la stessa coda e la stessa testa è un multigrafo orientato. A B C D E F NO ! 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi non orientati: terminologia. B l'arco {A, B} è incidente sui nodi A e B; i nodi A e B sono adiacenti: A è adiacente a B, B è adiacente ad A; i nodi adiacenti a un nodo A si chiamano anche i vicini di A; grado di un nodo = numero degli archi incidenti sul nodo; esempio: il nodo B ha grado (B) = 3; B 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi orientati: terminologia. B l'arco {A, B} è: incidente sui nodi A e B, uscente da A, entrante in B; il nodo B è adiacente ad A, ma A non è adiacente a B. i nodi adiacenti a un nodo A si chiamano anche i vicini di A; grado di un nodo = numero degli archi incidenti sul nodo; grado uscente = numero degli archi uscenti dal nodo; grado entrante = numero degli archi entranti nel nodo; esempio: il nodo B ha: grado uscente out(B) = 1, grado entrante in(B) = 2, grado totale (B) = out(B) + in(B) = 3, 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi: terminologia (sommario) sottografo di un grafo G = grafo che si ottiene da G non considerando degli archi, e/o non considerando dei nodi né gli archi incidenti su di essi. B B C C A A F F D D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi: terminologia (sommario) sottografo di un grafo G = grafo che si ottiene da G non considerando degli archi, e/o non considerando dei nodi né gli archi incidenti su di essi. C C A A D D 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi: terminologia (sommario) sottografo indotto da un insieme di nodi: dato un grafo G, il sottografo indotto da un sottoinsieme V' di nodi di G è il sottografo di G costituito dai nodi di V' e dagli archi di G che connettono tali nodi. Esempio: nel grafo sottostante, il sottografo indotto dall'insieme di nodi {A, C, D} è: B B C C A A F F D D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Grafi: terminologia (sommario) sottografo indotto da un insieme di nodi: dato un grafo G, il sottografo indotto da un sottoinsieme V' di nodi di G è il sottografo di G costituito dai nodi di V' e dagli archi di G che connettono tali nodi. Esempio: nel grafo sottostante, il sottografo indotto dall'insieme di nodi {A, C, D} è: C C A A D D 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio Sia G = (V, E) un grafo. Un cammino nel grafo è una sequenza di nodi <w1, w2, ..., wn> tale che (wi, wi+1)  E per 1 i  n–1. Es.  A, B, C, E  è un cammino nel grafo A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Il cammino <w1, w2, ..., wn> contiene i vertici w1, w2,…, wn e gli archi (w1,w2) (w2,w3) ...(wn-1,wn). La lunghezza del cammino è il numero totale di archi che collegano i vertici della sequenza (uno in meno del numero di vertici). A B C F D E Es. la lunghezza del cammino  A, B, C, E è 3. 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio Se esiste un cammino p tra i vertici v e w, si dice che w è raggiungibile da v tramite p Es.: A è raggiungibile da D e viceversa A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Es.: D è raggiungibile da A ma non viceversa B C A F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio Se G è un grafo non orientato, definiamo G connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. Ad es. questo grafo non orientato è connesso. A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Esempio Questo grafo non orientato NON è connesso. A B C F D E B G C A F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio Se G è un grafo orientato, definiamo G fortemente connesso se esiste un cammino da ogni vertice ad ogni altro vertice. Ad es. questo grafo orientato è fortemente connesso. A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Esempio Ad es. questo grafo orientato NON è fortemente connesso. Infatti, non esiste cammino da C a B, né da E ad A, ecc. Tuttavia è debolmente connesso. B B C C A A F F D D E E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Definizione Un ciclo in un grafo è un cammino  w1, w2, …, wn  di lunghezza almeno 1, tale che w1 = wn. A B C F D E il cammino  A, B, C, E, D, A  è un ciclo; 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio grafo aciclico = grafo senza cicli Ad es. questo grafo orientato non è aciclico, … A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Un grafo orientato aciclico è spesso chiamato DAG (Directed Acyclic Graph). A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Definizione con esempio. grafo pesato: ad ogni arco è associato un peso, costituito da un numero reale. – 2.3 3 4 7.5 1.2 4.5 A B C F D E 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Rappresentazione La rappresentazione più comoda è tramite liste di adiacenza: per ogni nodo si tiene la lista dei nodi ad esso adiacenti. Se gli N nodi di un grafo sono rappresentati dagli interi da 0 a N-1, il grafo può essere realizzato come un vettore di vettori, ad esempio: 2 1 3 4 5 grado 1 2 5 3 4 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Rappresentazione In molti esercizi la struttura-grafo è data implicitamente dalla struttura-dati caratteristica del problema e non deve essere costruita esplicitamente. 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Visita di grafi e algoritmi sui grafi (sommario) visita in ampiezza (iterativa con uso di coda); su grafi pesati: cammini minimi da un nodo: algoritmo di Dijkstra (uso di coda con priorità); minimo albero di copertura: algoritmo di Prim (uso di coda con priorità); minimo albero di copertura: algoritmo di Kruskal (uso di struttura union-find); visita in profondità (iterativa con uso di pila, o ricorsiva); ordinamento topologico; componenti fortemente connesse. 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.41

E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40 Albero di visita Durante la visita di un grafo si costruisce implicitamente un albero, detto albero di visita. Se richiesto dall’applicazione, tale costruzione può essere effettuata esplicitamente (nei problemi olimpici di solito non è necessaria). 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40

Visita in profondità ricorsiva. Come negli alberi, la visita in profondità si può realizzare molto semplicemente in modo ricorsivo. Occorre però marcare i nodi che vengono visitati. visitaInProfondità (il grafo G a partire dal nodo s) { marca tutti i nodi di G come non visitati; T = albero vuoto; visitaRic(s); } // la procedura visita il sottografo di G connesso con s. visitaRic (dal nodo u) { inizia_visita(u); marca u come visitato; for each (nodo v adiacente a u) if (v è non visitato) { aggiungi v come figlio di u nell’albero T; visitaRic(v); } termina_visita(u); 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.41

Visita di tutto il grafo Se il grafo non è connesso, la procedura precedente non visita i sottografi non connessi con il nodo di partenza. La visita di tutto il grafo si ottiene semplicemente iterando la visita ricorsiva sui nodi di partenza non ancora visitati: visitaTutti(grafo G) { marca tutti i nodi di G come non visitati; T = foresta vuota; for each (nodo u del grafo G) if (u è non visitato) visit(G, u); } 14/04/2017 14:18 E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.40